第5讲 函数及其表示 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

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第5讲   函数及其表示思维导图  知识梳理1．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示法 解析法图象法列表法就是把变量x，y之间的关系用一个关系式y＝f(x)来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值.就是把x，y之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值.就是将变量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 核心素养分析本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系。重点提升数学抽象、逻辑推理、数学运算素养。 题型归纳题型1    函数的定义域【例1-1】（2020•东城区一模）函数的定义域为（　　）A．（﹣1，2] B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出解集即可．【解答】解：函数，令0，得x﹣2≥0，解得x≥2，所以f（x）的定义域为[2，+∞）．故选：B．【例1-2】（2020春•邯山区校级月考）函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，则函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为（　　）A．[﹣1，3] B．[0，2] C．[﹣1，1] D．[﹣2，2]【分析】由已知可得，求解不等式组得答案．【解答】解：∵函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，∴由，解得﹣1≤x≤1．∴函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为[﹣1，1]．故选：C．【例1-3】（2019秋•武邑县校级期中）若函数的定义域为R，则实数m取值范围是　         　．【分析】根据题意知不等式mx2﹣mx+2＞0恒成立，讨论m＝0和m≠0时，分别求出满足条件的m取值范围即可．【解答】解：函数的定义域为R，则mx2﹣mx+2＞0恒成立，当m＝0时，不等式为2＞0，满足题意；当m≠0时，应满足，解得0＜m＜8；综上，实数m的取值范围是[0，8）．故答案为：[0，8）．【跟踪训练1-1】（2020•北京）函数f （x）lnx的定义域是　       　．【分析】根据函数成立的条件建立不等式组，解不等式即可．【解答】解：要使函数有意义，则，得，即x＞0且x≠﹣1，即函数的定义域为{x|x＞0}，故答案为：{x|x＞0}．【跟踪训练1-2】 （2019秋•椒江区校级月考）已知的定义域为R，则实数m的取值范围是　               　．【分析】根据f（x）的定义域为R即可得出，不等式﹣mx2+6mx+m+10＞0的解集为R，容易看出m＝0时满足题意，m≠0时，得出m需满足，解出m的范围即可．【解答】解：∵f（x）的定义域为R，∴﹣mx2+6mx+m+10＞0的解集为R，①m＝0时，10＞0恒成立；②m≠0时，，解得﹣1＜m＜0；∴实数m的取值范围是{m|﹣1＜m≤0}．故答案为：{m|﹣1＜m≤0}．【名师指导】1.常见函数的定义域2.求抽象函数定义域的方法 题型2    求函数的解析式【例2-1】（2020春•郑州期中）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且，则f（x）＝（　　）A． B． C． D．【分析】在已知函数解析式中，以替换x，得到，与已知等式联立即可求得f（x）的解析式．【解答】解：由，①以替换x，得，②把②代入①，可得，即．∴f（x）（x＞0）．故选：B．【跟踪训练2-1】（2020春•莲湖区校级期中）已知y＝f（x）是一次函数，且有f[f（x）]＝16x﹣15，则f（x）的解析式为　                       　．【分析】由题意设f（x）＝ax+b，代入f（f（x））＝16x﹣15，化简后列出方程组，解出a，b的值即可．【解答】解：由题意设f（x）＝ax+b，∴f（f（x））＝a（ax+b）+b＝a2x+ab+b＝16x﹣15，则，解得或，∴f（x）＝4x﹣3或f（x）＝﹣4x+5，故答案为：f（x）＝4x﹣3或f（x）＝﹣4x+5．【名师指导】求函数解析式的方法(1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，令t＝g(x)，从中求出x＝φ(t)，然后代入表达式求出f(t)，再将t换成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．(4)解方程组法已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 题型3    分段函数【例3-1】（2020•汉中二模）设f（x），则f（5）的值为（　　）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】欲求f（5）的值，根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值即可求出其值．【解答】解析：∵f（x），∴f（5）＝f[f（11）]＝f（9）＝f[f（15）]＝f（13）＝11．故选：B．【例3-2】（2019秋•连云港期末）已知函数，若，则m＝　         　．【分析】由于函数f（x）为分段函数，故方程可转化为不等式组，分别解得方程的解即可【解答】解：⇔或解得m或m＝﹣1故答案为或﹣1【跟踪训练3-1】（2020•宝鸡二模）若f（x），则f[f（3）]＝．【分析】先求出f（3）来，再求f[f（3）]，一定要注意定义域选择好解析式．【解答】解：f（3）＝1﹣2×3＝﹣5f[f（3）]＝f（﹣5）＝sin（）故答案为．【跟踪训练3-2】（2020春•和平区期末）设函数f（x），若f（x0）＝8，则x0＝　    　．【分析】按照x0≤2与x0＞2两种情况，分别得到关于x0的方程，解之并结合大前提可得到方程的解，最后综合即可．【解答】解：由题意，得①当x0≤2时，有x02+2＝8，解之得x0＝±，而2不符合，所以x0；②当x0＞2时，有2x0＝8，解之得x0＝4．综上所述，得x0＝4或．故答案为：4或．【名师指导】1.求分段函数的函数值的步骤(1)先确定要求值的自变量属于哪一个区间．(2)然后代入相应的函数解析式求值，直到求出具体值为止．2.求参数或自变量的值(范围)的解题思路(1)解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．