2020-2021学年第一章 数列1 数列的概念及其函数特性1.1 数列的概念导学案

这是一份2020-2021学年第一章 数列1 数列的概念及其函数特性1.1 数列的概念导学案，共11页。学案主要包含了数列的概念与分类，求数列的通项公式，数列通项公式的应用等内容，欢迎下载使用。

1．1 数列的概念
学习目标 1.了解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．
导语
(1)“人口问题”是我国最大的社会问题之一，对人口数量的估计和发展趋势的预测是我们制定一系列相关政策的基础．新中国成立后，我国已进行了七次全国人口普查，历次全国人口普查公报数据资料见下表：
七次普查人口数量(百万)依次排列为601.93,723.07,1 031.88,1 160.02,1 295.33,1 370.54,
1 405.97.
(2)2020年1～3季度我国城市GDP亿元排行前六名数据依次为
27 301.99,25 759.5,19 786.98,17 707.1,17 475.86,14 208.19.
以上两组数据有什么共同特点？
一、数列的概念与分类
问题1 下面三列数字有什么联系与区别？
(1)1,2,3,4；
(2)4,3,2,1；
(3)3,4,1,2.
提示 联系：数字相同，区别：排列次序不同．
知识梳理
1．数列的概念
(1)按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．
(2)数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，或简记为数列{an}，其中a1是数列的第1项，也叫数列的首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项．
2．数列的分类
根据数列的项数可以将数列分为两类：
(1)有穷数列——项数有限的数列．
(2)无穷数列——项数无限的数列．
注意点：
(1)数列概念中“按一定次序排列”是关键，数字相同，排列顺序不同的两列数不是同一数列．
(2)有穷数列与无穷数列的分类标准是数列项数的有限还是无限．
例1 下列说法正确的是( )
A．数列1,2,3,4,5,6与数列1,2,5,6,3,4是同一个数列
B．数列1,2,3,4,5,6可以表示为{1,2,3,4,5,6}
C．0,2,4,6,8，…，2n是无穷数列
D．1,1,1,1,1，…是一个数列
答案 D
解析 两个数列只有元素相同，排列顺序也相同时，才是同一个数列，故A不正确；数列与集合不同，数列不能表示成集合的形式，故B不正确；当n确定后，数列0,2,4,6,8，…，2n的项数就确定了，所以该数列是有穷数列，故C错误；根据数列定义知D正确．
反思感悟 数列概念的三个注意点
(1)数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别．
(2)如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列．
(3)同一个数在数列中可以重复出现．
跟踪训练1 下列说法正确的是( )
A．－4,5,2，eq \f(1,2)，eq \r(3)不是数列
B．数列{an}的前4项为1,2,3,4，则第5项一定是5
C．－1,1,3,5，…是数列
D．数列0,2,4,6,8，…是有穷数列
答案 C
解析 A中，－4,5,2，eq \f(1,2)，eq \r(3)是数列；B中，数列的第5项不一定为5；D中，数列应为无穷数列；很明显C正确．
二、求数列的通项公式
问题2 若数列{an}的前5项为1,3,5,7,9，能否用一个式子表示数列中的每一项？这个式子是什么？
提示 能，an＝2n－1，n∈N＋.
知识梳理
数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．
注意点：
(1)数列的通项公式是一个函数关系式，它的定义域是N＋(或它的有限子集)．
(2)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②判断某数是不是该数列中的一项．
例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前5项分别是下列各数：
(1)eq \r(3)，3，eq \r(15)，eq \r(21)，3eq \r(3)，…；
(2)2，－eq \f(4,5)，eq \f(1,2)，－eq \f(4,11)，eq \f(2,7)，…；
(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9,0.999 99，…；
(4)2,22,222,2 222,22 222，….
解 (1)数列可化为eq \r(3)，eq \r(9)，eq \r(15)，eq \r(21)，eq \r(27)，…，
即eq \r(3×1)，eq \r(3×3)，eq \r(3×5)，eq \r(3×7)，eq \r(3×9)，….
每个根号里面可分解成两个数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝eq \r(32n－1)＝eq \r(6n－3)，n∈N＋.
(2)使各项分子都为4，即eq \f(4,2)，－eq \f(4,5)，eq \f(4,8)，－eq \f(4,11)，eq \f(4,14)，…，再给分母分别加1，又变为eq \f(4,3)，－eq \f(4,6)，eq \f(4,9)，－eq \f(4,12)，eq \f(4,15)，…，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1·eq \f(4,3n－1)，n∈N＋.
(3)原数列可变形为1－eq \f(1,10)，1－eq \f(1,102)，1－eq \f(1,103)，1－eq \f(1,104)，…，故所给数列的一个通项公式为an＝1－eq \f(1,10n)，n∈N＋.
(4)数列各项可化为eq \f(2,9)×9，eq \f(2,9)×99，eq \f(2,9)×999，…，所以通项公式为an＝eq \f(2,9)(10n－1)，n∈N＋.
反思感悟 根据数列的前几项求通项公式的解题思路
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等．
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．
(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号．
(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－eq \f(1,1×2)，eq \f(1,2×3)，－eq \f(1,3×4)，eq \f(1,4×5)；
(2)eq \f(22－1,2)，eq \f(32－1,3)，eq \f(42－1,4)，eq \f(52－1,5)；
(3)7,77,777,7 777.
解 (1)这个数列前4项的绝对值的分母都是序号乘以比序号大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，
所以它的一个通项公式为an＝eq \f(－1n,n×n＋1)，n∈N＋.
(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，
所以它的一个通项公式为an＝eq \f(n＋12－1,n＋1)，n∈N＋.
(3)这个数列的前4项可以变为eq \f(7,9)×9，eq \f(7,9)×99，eq \f(7,9)×999，eq \f(7,9)×9 999，
即eq \f(7,9)×(10－1)，eq \f(7,9)×(100－1)，eq \f(7,9)×(1 000－1)，
eq \f(7,9)×(10 000－1)，
即eq \f(7,9)×(10－1)，eq \f(7,9)×(102－1)，eq \f(7,9)×(103－1)，
eq \f(7,9)×(104－1)，
所以它的一个通项公式为an＝eq \f(7,9)×(10n－1)，n∈N＋.
三、数列通项公式的应用
例3 已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(n＋6,n)，n∈N＋.
(1)求a10；
(2)eq \f(53,50)是不是这个数列中的项？
(3)这个数列中有多少项是整数？
(4)该数列中是否有等于项数的项？若有，求出该项；若没有，说明理由．
解 (1)a10＝eq \f(10＋6,10)＝eq \f(8,5).
(2)令eq \f(n＋6,n)＝eq \f(53,50)，得n＝100，故eq \f(53,50)是这个数列中的项．
(3)易知an＝1＋eq \f(6,n)，若an是整数，则n＝1,2,3,6，故这个数列中共有4项是整数．
(4)令eq \f(n＋6,n)＝n，得n2－n－6＝0，解得n＝3或n＝－2(舍)．
故该数列中有等于项数的项，该项为a3＝3.
反思感悟 通项公式应用的常见题型及其解法
(1)由通项公式写出数列的某项．就是把n的值代入通项公式进行计算，相当于函数中，已知函数解析式和自变量求函数值．
(2)判断一个数是否为该数列中的项．由an等于这个数解出n，根据n是否为正整数便可确定这个数是否为数列中的项．
跟踪训练3 已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(4,n2＋3n).
(1)写出数列第4项及第6项；
(2)判断eq \f(1,10)和eq \f(16,27)是不是它的项？如果是，是第几项？
解 (1)因为an＝eq \f(4,n2＋3n)，
所以a4＝eq \f(4,42＋3×4)＝eq \f(1,7)，a6＝eq \f(4,62＋3×6)＝eq \f(2,27).
(2)令eq \f(4,n2＋3n)＝eq \f(1,10)，则n2＋3n－40＝0，
解得n＝5或n＝－8，
因为n∈N＋，故将n＝－8舍去，
所以eq \f(1,10)是该数列的第5项．
令eq \f(4,n2＋3n)＝eq \f(16,27)，则4n2＋12n－27＝0，
解得n＝eq \f(3,2)或n＝－eq \f(9,2)，
又n∈N＋，所以eq \f(16,27)不是此数列中的项．
1.知识清单：
(1)数列及其有关的概念．
(2)数列的分类．
(3)数列的通项公式及应用．
2．方法归纳：观察、归纳、猜想．
3．常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系．
1．下列说法中，正确的是( )
A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B．1，－1,1，－1,1，－1，…是有穷数列
C．数列中的项可以相等
D．数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列
答案 C
解析 {1,3,5,7}不表示数列，故A错误；数列1，－1,1，－1,1，－1，…是无穷数列，故B错误；D中，当a＝c时，数列a，b，c和数列c，b，a表示同一数列，故D错误；数列中的项可以相等，故C正确．
2．已知数列{n(n－2)}，那么下列各数中是该数列项的是( )
A．1 B．36 C．－48 D．－1
答案 D
解析 分别令n(n－2)＝1,36，－48，－1验证．
当n(n－2)＝－1时，n＝1.其他均不合适．
3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于( )
A．11 B．12 C．13 D．14
答案 C
解析 由前6项，可知从第3项起，每一项都是它前面两项的和，所以x＝13.
4．数列eq \f(1,4)，eq \f(1,2)，eq \f(3,4)，1，eq \f(5,4)，eq \f(3,2)，…的一个通项公式为an＝______.
答案 eq \f(n,4)
解析 将原数列变形为eq \f(1,4)，eq \f(2,4)，eq \f(3,4)，eq \f(4,4)，eq \f(5,4)，eq \f(6,4)，…，所以an＝eq \f(n,4).
课时对点练
1．(多选)下列叙述不正确的是( )
A．同一个数在数列中可能重复出现
B．数列的通项公式是定义域为正整数集N＋的函数
C．任何数列的通项公式都存在
D．数列的通项公式是唯一的
答案 BCD
解析 数列的通项公式的定义域是正整数集N＋或它的有限子集，选项B错误；并不是所有数列都有通项公式，选项C错误；数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝(－1)n＋2，选项D错误．
2．已知数列1，eq \r(3)，eq \r(5)，eq \r(7)，…，eq \r(2n－1)，…，则3eq \r(5)是它的( )
A．第22项 B．第23项
C．第24项 D．第28项
答案 B
解析 令eq \r(2n－1)＝3eq \r(5)＝eq \r(45)，即2n－1＝45，解得n＝23.
3．数列eq \f(2,3)，eq \f(4,5)，eq \f(6,7)，eq \f(8,9)，…的第10项是( )
A.eq \f(16,17) B.eq \f(18,19) C.eq \f(20,21) D.eq \f(22,23)
答案 C
解析 由题意知数列的通项公式是an＝eq \f(2n,2n＋1)(n∈N＋)，
所以a10＝eq \f(2×10,2×10＋1)＝eq \f(20,21).
4．已知数列的通项公式是an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3n＋1，n是奇数，,2n－2，n是偶数，))则a2·a3等于( )
A．70 B．28 C．20 D．8
答案 C
解析 因为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3n＋1，n是奇数，,2n－2，n是偶数，))
所以a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，
所以a2·a3＝20.
5．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于( )
A.eq \f(－1n＋1,2) B．cs eq \f(nπ,2)
C．cs eq \f(n＋1,2)π D．cs eq \f(n＋2,2)π
答案 D
解析 A项，展开可得数列为0,1,0,1，…，不符合题意；B项，展开可得数列为0，－1,0,1，…，不符合题意；C项，展开可得数列为－1,0,1,0，…，不符合题意；D项，展开可得数列为0,1,0，－1，…，符合题意．
6．数列{an}的通项公式an＝lg(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是( )
A.eq \f(1,5) B．5
C．6 D.eq \f(lg23＋lg3132,5)
答案 B
解析 a1a2…a30＝lg23×lg34×…×lg3132＝eq \f(lg 3,lg 2)×eq \f(lg 4,lg 3)×…×eq \f(lg 32,lg 31)＝lg232＝lg225＝5.
7．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝________，eq \f(a2,a3)＝________.
答案 3－4n eq \f(1,5)
解析 因为an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n，
eq \f(a2,a3)＝eq \f(3－22,3－23)＝eq \f(1,5).
8．已知数列{an}的通项公式是an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－n，n是奇数，,\f(1,1＋2－n)，n是偶数，))则a3＋eq \f(1,a4)＝________.
答案 eq \f(19,16)
解析 a3＝2－3＝eq \f(1,8)，a4＝eq \f(1,1＋2－4)＝eq \f(16,17)，
∴eq \f(1,a4)＝eq \f(17,16)，∴a3＋eq \f(1,a4)＝eq \f(19,16).
9．写出下列数列的一个通项公式：
(1)eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，－eq \f(1,16)，…；
(2)1eq \f(1,2)，2eq \f(2,3)，3eq \f(3,4)，4eq \f(4,5)，…；
(3)1,11,111,1 111，….
解 (1)由已知数列eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，－eq \f(1,16)，…可得数列各项的分母的绝对值为2n，又数列所有的奇数项为正，偶数项为负，故可用(－1)n－1来控制各项的符号，故所求数列的一个通项公式为an＝(－1)n－1eq \f(1,2n)，n∈N＋.
(2)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为eq \f(n,n＋1)，
故所求数列的一个通项公式为an＝n＋eq \f(n,n＋1)＝eq \f(n2＋2n,n＋1)，n∈N＋.
(3)原数列的各项可变为eq \f(1,9)×9，eq \f(1,9)×99，eq \f(1,9)×999，eq \f(1,9)×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为an＝eq \f(1,9)(10n－1)，n∈N＋.
10．已知数列{an}，a1＝3，a10＝21，an是项数n的一次函数．
(1)求{an}的通项公式，并求a2 021；
(2)若数列{bn}是由a2，a4，a6，a8，…组成，试归纳{bn}的一个通项公式．
解 (1)设an＝kn＋b，k≠0，则有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＋b＝3，,10k＋b＝21，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝2，,b＝1，))
∴{an}的通项公式为an＝2n＋1，n∈N＋，
∴a2 021＝2×2 021＋1＝4 043.
(2)由题意可知，b1＝a2＝5，
b2＝a4＝9，
b3＝a6＝13，
b4＝a8＝17，
…
归纳可知，{bn}的一个通项公式为bn＝4n＋1，n∈N＋.
11．如图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点之间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图有化学键( )
A．6n个 B．(4n＋2)个
C．(5n－1)个 D．(5n＋1)个
答案 D
解析 由题中图形知，各图中“短线”个数依次为6,6＋5,6＋5＋5，…，若把6看作1＋5，则上述数列为1＋5,1＋2×5,1＋3×5，…，于是第n个图形有(5n＋1)个化学键．
12．图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为( )
A．an＝n，n∈N＋ B．an＝eq \r(n＋1)，n∈N＋
C．an＝eq \r(n)，n∈N＋ D．an＝n2，n∈N＋
答案 C
解析 ∵OA1＝1，OA2＝eq \r(2)，OA3＝eq \r(3)，…，OAn＝eq \r(n)，…，
∴a1＝1，a2＝eq \r(2)，a3＝eq \r(3)，…，an＝eq \r(n).
13．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝－eq \f(1,1＋an)，n∈N＋，则a2 021＝________.
答案 －eq \f(1,2)
解析 根据题干表达式得，a1＝1，a2＝－eq \f(1,1＋a1)＝－eq \f(1,2)，a3＝－eq \f(1,1＋a2)＝－2，a4＝－eq \f(1,1＋a3)＝1，a5＝－eq \f(1,1＋a4)＝－eq \f(1,2)，a6＝－eq \f(1,1＋a5)＝－2，a7＝－eq \f(1,1＋a6)＝1，…，所以数列具有周期性，周期为3，又2 021＝3×673＋2，故a2 021＝－eq \f(1,2).
14．将正偶数按下表排列：
则2 010在第________行第________列．
答案 252 4
解析 由题意可知，2 010是第1 005个正偶数，因为1 005÷4＝251…1，所以2 010在第252行．观察表格知，第偶数行的四个数字从第4列开始从右至左排列，所以2 010在第252行，第4列．
15．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…这样的数称为正方形数．写出一个既是三角形数又是正方形数的数________．(答案不唯一，写出一个即可)
答案 1 225
解析 由图形可得三角形数构成的数列通项an＝eq \f(nn＋1,2)，同理可得正方形数构成的数列的通项为bn＝n2，因为1 225＝352＝eq \f(49×50,2)，故1 225既是三角形数又是正方形数．
16．数列{an}的通项公式是an＝eq \f(n2－21n,2)，n∈N＋.
(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？
解 (1)令an＝eq \f(n2－21n,2)＝0，解得n＝21，n＝0(舍)，
所以0是{an}中的第21项，
令an＝eq \f(n2－21n,2)＝1，解得n＝eq \f(21±\r(212＋8),2)∉N＋，
所以1不是{an}中的项．
(2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，
则am＝am＋1，即eq \f(m2－21m,2)＝eq \f(m＋12－21m＋1,2)，解得m＝10.
所以数列{an}中存在连续的两项，第10项与第11项相等．
年份
1953
1964
1982
1990
2000
2010
2020
人口数/百万
601.93
720.37
1 031.88
1 160.02
1 295.33
1 370.54
1 411.78
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
2
4
6
8
第2行
16
14
12
10
第3行
18
20
22
24
…
…
28
26