高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台课后作业题

6.1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台

1.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(　　)

A.一个球体

B.一个球体中间挖去一个圆柱

C.一个圆柱

D.一个球体中间挖去一个长方体

【解析】圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱.故选B.

【答案】B

2.(多选)下列命题中正确的是(　　)

A.过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径

B.母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等

C.圆台中所有平行于底面的截面都是圆面

D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形

【答案】ACD

3.若圆柱的母线长为10，则其高等于(　　)

A.5 B.10

C.20 D.不确定

【解析】圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.

【答案】B

4.已知圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为(　　)

A.10 cm B.20 cm

C.20 cm D.10 cm

【解析】圆锥的高即为经过轴的截面截得的等腰三角形的高，设为h cm.

这个等腰三角形的腰长为20 cm，顶角的一半为30°.

故h=20cos 30°=10(cm).

【答案】A

5.已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积为36π cm2，则球心与截面圆圆心的距离是　　　　cm. 

【解析】如

图，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R.

由题意知，R=10 cm，由πr2=36π，得r=6 cm，所以d==8(cm).

【答案】8

6.用一张4 cm×8 cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，接头忽略不计，则圆柱的轴截面面积是　　　　　. 

【解析】若圆柱的高为8 cm，则2πr=4，2r=(cm)，轴截面面积S=8×(cm2);

若圆柱的高为4 cm，则2πr=8，2r=(cm)，轴截面面积S=4×(cm2).

综上可知，圆柱的轴截面面积为 cm2.

【答案】 cm2

7.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为　　　　　. 

【解析】由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以母线长为l=2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr=2π，所以底面圆半径为r=1，所以该圆锥的高为h=.

【答案】

8.已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm，2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，求圆台的母线长.

解如

图是圆台的轴截面，由题意知AO=2 cm，A'O'=1 cm，SA=12 cm.

由，得SA'=·SA=×12=6(cm).

所以AA'=SA-SA'=12-6=6(cm).

所以圆台的母线长为6 cm.

1.上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为(　　)

A.4 B.3 C.2 D.2

【解析】圆台的母线长l，高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2=h2+(R-r)2，由题意知l=5，R=7，r=6，得h=2，即两底面之间的距离为2.

【答案】D

2.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，则这个球的半径是              (　　)

A.4 B.3 C.2 D.1

【解析】如

图所示，设球的半径为R，两截面圆的半径分别为r1，r2，则π=5π，π=8π，解得r1=，r2=2.

又O1O2=1，设OO2=x，则R2=5+(x+1)2，R2=8+x2，

故5+(x+1)2=8+x2，解得x=1，从而R=3.

【答案】B

3.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是　　　　　.(填序号) 

【解析】由于截面平行于圆锥的轴或过圆锥的轴，故只能是①⑤.

【答案】①⑤

4.圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，求这个截面的面积.

解圆

台的轴截面如图，O1，O2，O3分别为上底面、下底面、截面圆心.

过点D作DF⊥AB于点F，交GH于点E.由题意知DO1=1，AO2=4，

所以AF=3.

因为DE=2EF，所以DF=3EF，

所以，所以GE=2.所以☉O3的半径为3.

所以这个截面面积为9π.