高中北师大版 (2019)1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台优秀课堂检测

1.3弧度制北师大版（   2019）高中数学必修第二册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 掷铁饼者取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为       参考数据：

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

2. 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 电影长津湖中，炮兵雷公牺牲的一幕看哭全网，他的原型是济南英雄孔庆三因为前沿观察所距敌方阵地较远，需要派出侦察兵利用观测仪器标定目标，再经过测量和计算指挥火炮实施射击为了提高测量和计算的精度，军事上通常使用密位制来度量角度，将一个圆周分为等份，每一等份的弧所对的圆心角叫做密位已知我方迫击炮连在占领阵地后，测得敌人两地堡之间的距离是米，两地堡到我方迫击炮阵地的距离均是米，则我炮兵战士在摧毁敌方一个地堡后，为了快速准确地摧毁敌方另一个地堡，需要立即将迫击炮转动的角度．(    )注：(ⅰ)当扇形的圆心角小于密位时，扇形的弦长和弧长近似相等
   (ⅱ)取等于进行计算．

A. 密位 B. 密位 C. 密位 D. 密位

4. 小明出国旅游，因当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针拨慢小时，则时针转过的角的弧度数是(    )

A.   B.  C.  D.

5. 十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式，其中，，，，现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 弧度化为角度是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列转化结果错误的是(    )

A. 化成弧度是 B. 化成弧度是
C. 化成角度是 D. 化成角度是

8. 如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形无阴影部分面积之和为，正八边形外侧八个扇形阴影部分面积之和为，则(    )

A.
B.
C.
D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列说法错误的是(    )

A. 若角，则角为第二象限角；
B. 将表的分针拨快分钟，则分针转过的角度是；
C. 若角为第一象限角，则角也是第一象限角；
D. 若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形面积为．

10. 【多选题】扇形的半径变为原来的倍，而弧长也增加为原来的两倍，则(    )

A. 扇形圆心角不变 B. 扇形圆心角增大到原来的倍
C. 扇形面积增大到原来的倍 D. 扇形面积增大到原来的倍

11. 下列说法正确的是(    )

A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B. 度的角是圆周的所对的圆心角，弧度的角是圆周的所对的圆心角
C. 根据弧度的定义知，度一定等于
D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径的长短有关

12. 下列说法正确的是(    )

A. 将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数为
B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
C. 终边经过点的角的集合是
D. 为了得到函数的图象，只要把上所有的点向左平移个单位

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 时钟走过了分钟，时针所转过的弧度数是________．
14. 一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是          弧度．
15. 已知半径为的扇形面积为，则此扇形的周长为          ．
16. 已知扇形的圆心角为，其面积是则该扇形的周长是__________

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知半径为的圆上的一条弧长为，求此弧所对圆心角的弧度数与角度数．

18. 本小题分

已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．

若，，求扇形的弧长；

已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；

若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

19. 本小题分

已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．

若，，求扇形的弧长；

已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；

若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

20. 本小题分

已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为．

若，，求扇形的面积；

若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．

21. 本小题分

已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为．

   若，，求扇形的弧长；

   若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？

22. 本小题分

已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为．

若，，求扇形的弧长；

若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查圆心角、弧长以及半径之间的基本关系，属于中档题．
利用弧长公式求出这段弓所对的圆心角，则掷铁饼者双手之间的距离即弦长，即可求出．

【解答】

解：因为“弓”所在圆的半径约为米，
手臂所对的圆心角度数为，肩宽所对的圆心角度数为，
所以双手之间的弦所对的圆心角为，
所以掷铁饼者双手之间的距离约为米，
故选B．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了圆的内接正三角形的边长与半径的关系及弧长公式，属于中档题．
画出图形，由条件可得，设圆弧所对圆心角的弧度数为，可得，即可得出．

【解答】

解：如图所示，

是半径为的的内接正三角形，
则，
设圆弧所对圆心角的弧度数为，

则，解得．
故选A．

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了与弧长有关的新定义问题，属于基础题．
先求出密位对应的弧度，进而求出转过的密位．
【解答】
解：根据题意，将一个圆周分为等份，每一等份的弧所对的圆心角叫做密位，
即密位，则弧度密位，
两地堡到我方迫击炮阵地的距离均是米，
即两个地堡在以迫击炮阵地为圆心，半径为米的圆上，
又由两地堡之间的距离是米，易得密位，
故弧度密位，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了正角与负角的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
依题意可知，他需要将表的时针逆时针旋转周角的，即可转过的角的弧度数．

【解答】

解：依题意，小明需要将表的时针拨慢小时，
即他需要将表的时针逆时针旋转周角的，
则转过的角的弧度数是，
故选B．

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了导数的运算，三角函数的诱导公式，弧度制与角度制的互化，属于中档题．
由题意两边求导，把代入，则所求的值为，利用诱导公式以及弧度制与角度制的互化得出选项．
【解答】
解：因为，
两边求导得：，
当时，有，
，
将弧度化为角度为．
故最接近的是．
故选B．  

6.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：
利用弧度，弧度即可求得答案．
本题考查弧度与角度的互化，关键在于掌握二者的互化公式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了角度制与弧度制的互化，属于基础题．
由，逐一转化判断即可得出结论．

【解答】

 
解：、，正确；
B、，错误；
C、，正确；
D、，正确．
故选B．

8.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查角度制与弧度制的互化以及扇形的面积公式．
分别求出正八边形的内角和与外侧阴影部分的扇形内角和，然后利用扇形面积公式可以求出结果．
【解答】

解：正八边形的内角和为，

正八边形外侧八个扇形阴影部分的内角和为，

．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查任意角的概念，角的弧度制，象限角，扇形的面积，属于基础题．
由于任意角的概念，角的弧度制，象限角，扇形的面积逐项进行判断．

【解答】

解：若角，，
则角为第二象限角，正确；
B.将表的分针拨快分钟，则分针转过的角度是，故错误；
C.若角为第一象限角，，
则，
当，时，，
即角是第一象限角；
当，时，，
即角是第三象限角；
则角是第一或第三象限角，故错误；
D.扇形面积为，故错误．
故选BCD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了弧度制的概念及弧长和扇形面积公式，属于基础题．
根据扇形的相关概念以及圆心角的相关概念，列出等式，并半径变为原来的倍，而弧长也增加为原来的两倍，根据变化前后的比值求出正确答案．
【解答】
解：因为，所以，所以，因为，所以
因为，故当半径变为原来的倍，而弧长也增加为原来的两倍，面积增加了倍；
故选AD．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题综合考查弧度制与角度制，属于中档题．
根据性质逐一判断即可．
【解答】

解：由题意，对于中，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，所以是正确的
对于中，周角为，所以的角是周角的，周角为弧度，
所以的角是周角的，是正确的
对于中，根据弧度制与角度制的互化，可得，所以是正确
对于中，用角度制和弧度制度量角时，角的大小与圆的半径无关，所以项是错误的．
故选ABC．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查角度制与弧度制，弧长公式与扇形的面积公式，考查终边相同的角及正弦型函数的图象变换，属于中档题．
对选项一一判断即可．

【解答】

解：将表的分针拨慢分钟，则分针逆时针转过，
即分针转过的角的弧度数是，故A正确；
若圆心角为的扇形半径为，由弧长为，则半径，
所以该扇形面积为，故B正确；
当在第一象限时，
当在第三象限时，，故C错误；
上所有的点向左平移个单位
可得函数的图象，故D错误；
故选AB．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数中的时钟问题，利用钟表表盘的特征解答．时针每分钟走，即时针每分钟走过的弧度数是，即可计算得解．

【解答】

解：时针每分钟走，经过分钟，那么它转过的角度是．
所以，经过分钟，时针转过的角的弧度数．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查弧度制概念及其应用．
直接利用半径长的弦长与两条半径构造等边三角形，求出圆心角即可．

【解答】

解：因为一条长度等于半径的弦与两条半径构造等边三角形，
等边三角形的每一个内角为，即弧度，
所以，所对的圆心角为弧度．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了扇形的弧长与面积的计算问题，是一般题．
根据题意，设出扇形的圆心角，根据扇形的面积公式求出圆心角，再求扇形的周长．

【解答】解：设扇形的圆心角为，则扇形的弧长为；
扇形的面积为，解得；
弧长为，
扇形的周长为．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查扇形面积公式，关键在于掌握弧长公式，扇形面积公式及其应用，属于一般题．
设扇形的弧长为，半径为，利用弧长公式，扇形的面积公式可求，即可得解周长的值．

【解答】

解：设扇形的弧长为，半径为，
扇形圆心角的弧度数是，
，
，
，则，
，则，
该扇形的周长．
故答案为．

17.【答案】解：由弧长公式可得：，
解得用弧度制表示：，用角度制表示 

【解析】本题考查了弧长公式，弧度制与角度制，属于基础题．
利用弧长公式即可得出角大小，再用弧度制与角度制表示即可．
 

18.【答案】解：，
 ．
由题意得，
解得 舍去，，
故扇形圆心角为．
由已知得，．
所以 ，
所以当时，取得最大值，此时，． 

【解析】本题主要考查角度制与弧度制的互化，扇形的弧长公式和面积公式的应用，根据相应的弧长公式和面积公式建立方程关系是解决本题的关键．
根据扇形的弧长公式进行计算即可
根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解
根据扇形的面积公式和二次函数的性质进行求解即可．
 

19.【答案】解：，
 ．
由题意得，
解得 舍去或，
故扇形圆心角为．
由已知得，．
所以 ，
所以当时，取得最大值，此时，． 

【解析】本题主要考查角度制与弧度制的互化，扇形的弧长公式和面积公式的应用，根据相应的弧长公式和面积公式建立方程关系是解决本题的关键．
根据扇形的弧长公式进行计算即可
根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解
根据扇形的面积公式进行求解即可．
 

20.【答案】解：因为，所以．
由题意知，，即，故，
当时，的最大值为，此时． 

【解析】本题考查扇形面积公式及运用二次函数求最值．
直接运用角度与弧度的互化和扇形面积公式求解．
由扇形面积公式和二次函数的性质求解．
 

21.【答案】解：，

扇形的弧长．

由已知得，，   

所以，，   

所以当时，面积取得最大值，

此时，圆心角．

【解析】

【分析】本题主要考查扇形的弧长公式，考查扇形的面积，考查二次函数的最值，考查角度制与弧度制的互化，属于中档题．
由题知，即可求出弧长；
由已知得，，求出扇形的面积，即可求出最大值．  

22.【答案】解：，

．

由已知得，，   

所以，，   

所以当时，面积取得最大值，

此时，，．

【解析】本题主要考查了弧长公式，二次函数的图象和性质，扇形面积．
把角度化为弧度，利用弧长公式即可计算得解；

由已知得，可求得，利用二次函数的图象和性质即可得解．