2022年苏科版中考数学几何模型专题+中点模型+讲义

中考数学几何模型专题 中点模型

【模型解读】

在初中几何证明中，常会遇到与中点有关的问题。不少同学遇到这类问题时，不清楚应该怎样去作辅助线。实际上这类问题是有章可循的，其策略是:明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。能做到这三点，就能在解题时得心应手。

【模型一】三线合一，构造全等三角形  



【模型分析】

等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”。

【模型实例】

例1．如图，在△ABC中，AB＝AC=5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，

    求MN的长度。

【模型二】平行线夹中点

如图，AB//CD，点E是BC的中点．

【模型分析】

如图①，延长DE交AB于点F，易证：△DCE≌△FBE（AAS）。

如图②，延长AE交CD延长线于点F，易证：△ABE≌△FCE（AAS）

【模型实例】——深圳中考

例2．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝CD，AD＝为CD中点，连接AE，且AE＝＝30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF＝（　　）

A．1 B． C． D．

【模型三】倍长中线，构造全等三角形

【模型分析】

如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE＝AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）。

如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE＝FD，易证：△FDB≌△FDC（SAS）。

如图③，D是BC中点，作CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，易证：△CDE≌△BDF（SAS）。

当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。

【模型实例】

例3．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F．

求证：∠AEF＝∠EAF．

问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：________；

(2)AD的取值范围是________；

方法运用：

（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC．

（4）如图3，在矩形ABCD中＝在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且＝点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．

【模型四】构造中位线

【模型分析】多个中点出现或平行 +中点（中点在平行线上）时，常考虑或构造三角形中位线三角形中位线的性质定理：DE∥BC，且来解题，中位线定理既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决相等，线段之间的倍半、相等及平行问题。

【模型实例】错位中点问题

例4．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝．

【模型五】直角三角形斜边上的中点 

【模型分析】在直角三角形中，当遇见斜边中点或斜边为定值时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ABD和△BDC，该模型经常会与中位线定理一起综合应用。

【模型实例】

例5．如图，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE＝过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F，若BF＝8，则AB的长为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．10

如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，点E，F分别是AB，BC边上的两个动点，且EF＝10，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH、GH，则GH＋CH的最小值为________．

【模型六】反比例与中点问题 

若，的中点为M，则.

【模型分析】结合反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识.

【模型实例】

例6．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝的图象经过矩形对角线的交点E．若点A(2，0)、D(0，4)，则反比例函数的解析式为________．

【模型七】“圆”背景下的中点问题 

点P是优弧AB上一动点，点C是的中点，则有以下结论：

①       AC＝BC

②       OC⊥AB

③       PC平分∠APB

④       (即)

【模型分析】“弧中点”作为条件时往往与与垂径定理结合

【模型实例】——2021湖南中考

例7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．

（1）求证：直线DE与⊙O相切；

（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．

角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”。

【模型实例】

例1．如图，在△ABC中，AB＝AC=5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，

    求MN的长度。

【分析】连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．

【解答】解：连接AM，

∵AB＝AC，点M为BC中点，

∴AM⊥CM(三线合一)，BM＝CM，

∵AB＝AC＝5，BC＝6，

∴BM＝CM＝3，

在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，

∴根据勾股定理得：AM＝＝＝4，

又＝＝ ∴MN＝＝＝2．4．

【模型实例】——深圳中考

例2．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝CD，AD＝为CD中点，连接AE，且AE＝＝30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF＝（　　）

A．1 B． C． D．

【解答】解：如图，延长AE交BC的延长线于G，

∵E为CD中点，

∴CE＝DE，

∵AD∥BC，

∴∠DAE＝∠G＝30°，

在△ADE和△GCE中，

，

∴△ADE≌△GCE(AAS)，

∴CG＝AD＝＝EG＝

∴AG＝AE＋EG＝＝

∵AE⊥AF，

∴AF＝AGtan30°＝＝4，

GF＝AG÷cos30°＝＝8，

过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，

则MN＝AD＝

∵四边形ABCD为等腰梯形，

∴BM＝CN，

∵MG＝AG﹒cos30°＝＝6，

∴CN＝MG－MN－CG＝＝

∵AF⊥AE，AM⊥BC，

∴∠FAM＝∠G＝30°，

∴FM＝AF﹒sin30°＝＝2，

∴BF＝BM－MF＝＝．

故选：D．

【模型实例】

例3．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F．

求证：∠AEF＝∠EAF．

证明：如图，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM

∵D是BC边的中点

∴BD＝CD

在△ADC和△MDB中

∴△ADC≌△MDB（SAS）

∴∠1＝∠M，AC＝MB

∵BE＝AC

∴BE＝MB

∴∠M＝∠3

∴∠1＝∠3

∵∠3＝∠2

∴∠1＝∠2

即∠AEF＝∠EAF

问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：________；

(2)AD的取值范围是________；

方法运用：

（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC．

（4）如图3，在矩形ABCD中＝在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且＝点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．

（1）由"SAS"可证△BED≌△CAD；

（2）由全等三角形的性质可得AC＝BE＝4，由三角形的三边关系可求解；

（3）延长AD至H，使AD＝DH，连接BH，由"SAS"可证△BHD≌△CAD，可得AC＝BH，∠CAD＝∠H，由等腰三角形的性质可得∠H＝∠BFH，可得BF＝BH＝AC；

（4）延长CG至N，使NG＝CG，连接EN，CE，NF，由"SAS"可证△NGF≌△CGD，可得CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，通过证明△BEC∽△FEN，可得∠BEC＝∠FEN，可得∠BEF＝∠NEC＝90°，由直角三角形的性质可得结论．

【解答】解：（1）∵AD是中线，

∴BD＝CD，

又∵∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，

∴△BED≌△CAD(SAS)，

故答案为：SAS；

（2）∵△BED≌△CAD，

∴AC＝BE＝4，

在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB＋BE，

∴2＜2AD＜10，

∴1＜AD＜5，

故答案为：1＜AD＜5；

（3）如图2，延长AD至H，使AD＝DH，连接BH，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD，

又∵∠ADC＝∠BDH，AD＝DH，

∴△ADC≌△HDB(SAS)，

∴AC＝BH，∠CAD＝∠H，

∵AE＝EF，

∴∠EAF＝∠AFE，

∴∠H＝∠BFH，

∴BF＝BH，

∴AC＝BF；

（4）如图3，延长CG至N，使NG＝CG，连接EN，CE，NF，

∵点G是DF的中点，

∴DG＝GF，

又∵∠NGF＝∠DGC，CG＝NG，

∴△NGF≌△CGD(SAS)，

∴CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，

∵＝＝＝

∴tan∠ADB＝＝

∴∠ADB＝∠EBF，

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBC，

∴∠EBF＝∠DBC，

∴∠EBC＝2∠DBC，

∵∠EBF＋∠EFB＝90°，∠DBC＋∠BDC＝90°，

∴∠EFB＝∠BDC＝∠NFG，∠EBF＋∠EFB＋∠DBC＋∠BDC＝180°，

∴2∠DBC＋∠EFB＋∠NFG＝180°，

又∵∠NFG＋∠BFE＋∠EFN＝180°，

∴∠EFN＝2∠DBC，

∴∠EBC＝∠EFN，

∵＝＝＝且CD＝NF，

∴＝

∴△BEC∽△FEN，

∴∠BEC＝∠FEN，

∴∠BEF＝∠NEC＝90°，

又∵CG＝NG，

∴EG＝

∴EG＝GC．

【模型实例】错位中点问题

例4．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝．

（法一）构造中位线

（法二）特殊值法

（法三）倍长中线——构造全等的同时也构造了中位线

【模型五】直角三角形斜边上的中点 

【模型分析】在直角三角形中，当遇见斜边中点或斜边为定值时，经常会作斜边上的中线，利用直

角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ABD和△BDC，该模型经常会与中位线定理一起综合应用。

【模型实例】

例5．如图，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE＝过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F，若BF＝8，则AB的长为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．10

【解答】解：∵D为AB的中点，BF∥DE，

∴E为AF的中点，

∴DE＝＝＝4，

∵CE＝

∴CD＝3，

∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，

∴AB＝2CD＝6，

故选：A．

如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，点E，F分别是AB，BC边上的两个动点，且EF＝10，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH、GH，则GH＋CH的最小值为________．

【解答】解：由已知，点G在以B圆心，5为半径的圆在与长方形重合的弧上运动．

作C关于AD的对称点C′，连接C′B，交AD于H，交以B为圆心，以5为半径的圆于G

由两点之间线段最短，此时C′B的值最小

最小值为＝＝50，

则GH＋CH的最小值＝50－5＝45，

故答案为：45．

【模型六】反比例与中点问题  

若，的中点为M，则.

【模型分析】结合反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识.

【模型实例】

例6．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝的图象经过矩形对角线的交点E．若点A(2，0)、D(0，4)，则反比例函数的解析式为________．

【解答】解：∵BD∥x轴，D(0，4)，

∴B、D两点纵坐标相同，都为4，

∴可设B(x，4)．

∵矩形ABCD的对角线的交点为E，

∴E为BD中点，∠DAB＝90°．

∵∠DAB＝90°，

∵A(2，0)，D(0，4)，B(x，4)，

解得x＝10，

∴E(5，4)．

∵反比例函数y＝的图象经过点E，

∴k＝5×4＝20，

∴反比例函数的解析式为y＝，故答案为y＝．

【模型七】“圆”背景下的中点问题 

点P是优弧AB上一动点，点C是的中点，则有以下结论：

⑤       AC＝BC

⑥       OC⊥AB

⑦       PC平分∠APB

⑧       (即)

【模型分析】“弧中点”作为条件时往往与与垂径定理结合

【模型实例】——2021湖南中考

例7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．

（1）求证：直线DE与⊙O相切；

（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．

【解答】（1）证明：连接OD，如图，

∵点D是的中点，

∴OD⊥BC，

∵DE∥BC，

∴OD⊥DE，

∴直线DE与⊙O相切；

（2）解：∵AC是⊙O的直径，

∴∠B＝90°，

∵∠A＝45°，

∴∠ACB＝45°，

∵BC∥DE，

∴∠E＝45°，

而∠ODE＝90°，

∴△ODE为等腰直角三角形，

∴OE＝＝

∴CE＝OE－OC＝