专题13 【精品】圆之弧中点的应用-2022年中考数学几何模型解题策略研究（课件+讲义）

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专题13 圆之弧中点的应用一．方法突破1．与垂径定理相关若点P是中点，连接OP，则OP⊥AB．若过点P作MN∥AB，则MN是圆O的切线．变换条件：连接BP、AP，若∠BPN=∠A，则MN是圆O切线．2．与圆周角定理相关若点P是中点，点C是圆上一点，则∠PCA=∠PCB．特别地，若点P是半圆中点，则∠PCA=∠PCB=45°．若连接PA、PB，则∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB．可得：△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC．可得：△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB． 
3．垂径定理与圆周角定理结合如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，则△ADP∽△APC．以下作图可证明：∠PAC=∠APH，即可得△PAD是等腰三角形．
二、中考真题演练1．（2019·达州）如图，是的外接圆，的平分线交于点，交于点，过点作直线．（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，，，求的长．【分析】（1）相切．∵AD平分∠BAC，∴点D是弧BC中点，连接OD，则OD⊥BC，又∵DF∥BC，∴OD⊥DF，∴DF是圆O的切线．（2）连接CD，易证△AEB∽△CED，∴，代入得：，解得：，∴故BD的长为． 
2．（2018·潍坊）如图，为外接圆的直径，且．（1）求证：与相切于点；（2）若，，，求的长．【分析】（1）如图，连接OA交BC于点H，∵BD是直径，∴∠BAD=90°，∵∠BAC=∠D=∠OAD，且∠OAD+∠OAB=90°，∴∠BAE+∠OAB=90°，∴∠OAE=90°，∴OA⊥AE，∴AE与圆O相切于点A．（2）∵AE∥BC，∴OA⊥BC，∴点A是弧BC中点，∴，，勾股定理得：，设半径为r，则OB=r，，在Rt△OHB中，，代入得：，解得：r=4，∴BD=2r=8，在Rt△ABD中，勾股定理可得：．故AD的长为． 3．
（2018·大连）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且．（1）求证：是的切线；（2）若，当，时，求的长．【分析】（1）如图，连接BD，∵∠BAD=90°，∴BD是直径，∵∠BAC=∠BDC，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠BAC+∠CBD=90°，又∠DEC=∠BAC，∴∠DEC+∠CBD=90°，∴∠BDE=90°，即BD⊥DE，∴DE是圆O的切线．（2）∵BD⊥DE，AC∥DE，∴BD⊥AC，∴点D是弧AC中点，易证△BAD≌△BCD，∴AC=AB=8，记BD与AC交点为H，射影定理可得：，代入可得：，∴，易证△DHC∽△DCB，可得：，代入得：，解得：，∴．故AC的 长为．4．（2018·德阳）如图，在直角三角形中，，点是的内心，的延长线和三角形的外接圆相交于点，连结．（1）求证：；（2）过点作的平行线交、的延长线分别于点、，已知，圆的直径为5．①求证：为圆的切线；②求的长．【分析】（1）连接BH，易证，∴∠BHD=45°，又∠BDH=90°，∴△BDH是等腰直角三角形，∴DH=DB．（2）①连接OD，∵AD平分∠BAC，∴点D是弧BC中点，∴OD⊥BC，∵EF∥BC，∴OD⊥EF，∴EF是圆O的切线．②记BC与OD交点为M点，则DM=CE=1，∵AB=5，∴OD=OB=，∴OM=，BM=2，∴，∵BC∥EF，∴∠F=∠ABC，∴，∴，∴DF的长为．  
5．（2018·阿坝州）如图，是的外接圆的直径，点在延长线上，且满足．（1）求证：是的切线；（2）弦交于点，若，求的长．【分析】（1）∵∠B=∠D，且∠ADC+∠CAD=90°，∴∠PAC+∠CAD=90°，即AD⊥AP，∴PA是圆O的切线．（2）易证△AFE∽△AEB，∴，即∴，又AC=AE，∴．
6．（2018·宁夏）已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，且AC＝CP．（1）求∠P的度数；（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且，求⊙O的面积．（π取3.14）【分析】（1）连接OC，则∠OAC=∠OCA，∵AC=CP，∴∠CAP=∠CPA，又CP是圆O的切线，则OC⊥CP，∴∠OAC+∠OCA+∠P=90°，∴∠P=30°．故∠P的度数是30°．（2）连接BC，易证△DEB∽△DBC，∴，即，∴，∴，，
7．（2019·锦州）如图，，是以为直径的上的点，且，弦交于点，平分，于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．【分析】（1）连接OM，则OM=OB，∴∠OBM=∠OMB，∵MB平分∠ABD，∴∠OBM=∠FBM，∴∠OMB=∠FBM，∵∠BMF+∠FBM=90°，∴∠FMB+∠OMB=90°，即∠OMF=90°，∴MF是圆O的切线．（2）∵点N是弧AB中点，∴∠ABN=45°=∠BMN，易证△NCB∽△NBM，∴，代入得：，解得：，∴．故CM的长为．8.（2019·广东）如图1，在中，，是的外接圆，过点作交于点，连接交于点，延长至点，使，连接．（1）求证：；（2）求证：是的切线；（3）如图2，若点是的内心，，求的长．【分析】（1）易证∠EDC=∠ECD，∴ED=EC．（2）连接OA，则OA⊥BC，∵∠BAD=∠ADC，∴AB∥CD，又CF=AC=AB，∴四边形ABCF是平行四边形．∴AF∥BC，∴OA⊥AF，∴AF是圆O的切线．（3）易证△BEA∽△BAC，∴，∴，连接AG，∠BAG=∠BAE+∠DAG，∠BGA=∠BCA+∠CAG，又∠BAE=∠BCA，∠DAG=∠CAG，∴∠BAG=∠BGA，∴BA=BG，∴BG=5． 
9.（2018·成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；（3）若BE＝8，，求DG的长，【分析】（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，又OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴AC∥OD，∵AC⊥BC，∴OD⊥BC，∴BC是圆O的切线．（2）连接DF、EF，∠DFE=∠DAE=∠ODA，∴∠AFD=90°+∠DFE=90°+∠ODA=∠ADB，∴△AFD∽△ADB，∴，∴，∴．（3），解得：r=5，∴OA=OD=OE=5，AB=13+5=18，AC=，，∴，易证△OGD∽△FGA，∴，∴．故DG的长为． 
10.（2019·绵阳）如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若，求的长．【分析】（1）由题意可得：∠CDB=∠CFB，∠CGD=∠BGF，连接BC，∵点C是弧BD中点，∴CD=BC，又BC=BF，∴CD=BF，∴△BFG≌△CDG（AAS）．（2）考虑到，∴BD=CF，设半径为r，则，，，故，解得：r=1（舍）或3，，∴．