苏科版九年级下册第6章 图形的相似综合与测试课后测评

这是一份苏科版九年级下册第6章 图形的相似综合与测试课后测评，共35页。
2021-2022学年第2单元：《图形的相似》高频易错题一、单选题1．（2021秋•市中区期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为（　　）A．2米 B．3米 C．米 D．米2．（2021秋•椒江区期末）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且满足△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则CE的长是（　　）A．2 B．3 C．4 D．53．（2021秋•吴兴区期末）如图△ACB，∠ACB＝90°，点O是AB的中点，CD平分∠BCO交AB于点D，作AE⊥CD分别交CO、BC于点G，E．记△AGO的面积为S1，△AEB的面积为S2，当＝时，则的值是（　　）A． B． C． D．4．（2021秋•阜宁县期末）如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）A． B．∠ADC＝∠ACB C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB5．（2021秋•常州期末）如图，在▱ABCD中，E是AB上一点，且BE＝2AE，连接DE交AC于点F，已知S△AFE＝1，则S△ADC的值是（　　）A．9 B．10 C．12 D．146．（2021秋•永春县期末）如果两个三角形相似且相似比9：16，那么这两个三角形对应边上的高的比是（　　）A．81：256 B．9：16 C．3：4 D．16：97．（2021秋•合肥期末）如图，在△ABC中，点D、E和点F、G分别是边AB、AC的三等分点，△ABC的面积为18，则四边形DEGF的面积为（　　）A．2 B．3 C．6 D．98．（2021秋•潜山市期末）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC＝（　　）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：59．（2021秋•浦东新区校级期末）如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（　　）A．EF•BF＝DF•CF B．BE•CD＝BF•CF C．AE•AB＝AD•AC D．AE•BE＝AD•DC10．（2021秋•庐阳区期末）如图，△ABC中，点D是边BC上一点，下列条件中，不能判定△ABC与△ABD相似的是（　　）A．AB2＝BD•BC B．∠BDA＝∠BAC C．∠ADC＝∠C+∠B D．AD•BC＝AB•AC11．（2021•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，正方形CDEF的顶点E在线段AD上，G是边EF上一点，连接AG，记△AEG面积为S1，△CBD面积为S2，若EG＝BD，S1+S2＝16，则DE的长为（　　）A． B． C．4 D．812．（2021春•安徽期末）如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，延长BG交CD于点F，延长CG交BD于点H，交AB于N下列结论：①DE＝CN；②＝；③S△DEC＝3S△BNH；④∠BGN＝45°；⑤GN+EG＝BG；其中正确结论的个数有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题13．（2021秋•秦都区期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F在AD上，且AF：AD＝1：3，EF交AC于G．若AC＝40，则AG＝　   　．14．（2022•南岗区模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D为AB边上一点，AD＝3BD，CD＝2，点E在直线AC上，∠CDE＝45°，则AE＝　   　．15．（2021秋•九江期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，O为AC的中点，点P是射线BO上的一个动点，当△ACP为直角三角形时，则BP的长为 　   　．16．（2021秋•靖江市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，△OCD是以点O为位似中心，且与△OAB的相似比为的位似图形．若点A的坐标为（3，2），则点C的坐标为 　   　．17．（2021秋•通州区期末）如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到大楼顶部．如果王青眼睛与地面的距离KL＝1.6m，同时量得LM＝0.4m，MS＝5m，则楼高TS＝　   　m．18．（2021秋•南京期末）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为 　   　．19．（2021秋•崇川区期末）在我国古代数学专著《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意为：如图，Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为5步和12步，则它的内接正方形CDEF的边长为 　   　步．20．（2021秋•南京期末）如图，在Rt△ABC中，P是斜边AB边上一点，且BP＝2AP，分别过点A、B作l1、l2平行于CP，若CP＝4，则l1与l2之间的最大距离为 　   　．三、解答题21．（2021秋•包河区校级期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为2：1，并写出点A1的坐标；（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C．22．（2021秋•高邮市期末）如图，将△ABC绕点A旋转至△AB'C'的位置，点B'恰好在BC上，AC与B'C'交于点E，连接CC'．（1）求证：；（2）求证：△ABB'∽△ACC'．23．（2021秋•包河区期末）已知，如图，AB∥DC，∠ABC+∠ADB＝180°．（1）求证：△ABD∽△BDC；（2）若AE平分∠DAB，BF平分∠DBC，且BF＝2AE，S△ABD＝3，求S△BDC．24．（2021秋•南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．25．（2021秋•蜀山区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D为边BC上一动点（不与B、C重合），BD和AD的垂直平分线交于点E，连接AD、AE、DE和BE，ED与AB相交于点F，设∠BAE＝α．（1）请用含α的代数式表示∠BED的度数；（2）求证：△ACB∽△AED；（3）若α＝30°，求的值．26．（2021秋•玄武区期末）在△ABC与△A'B'C'中，点D与D'分别在边BC，B'C'上，∠B＝∠B'，．（1）如图1，当∠BAD＝∠B'A'D'时，求证△ABC∽△A'B'C'；（2）当∠CAD＝∠C'A'D'时，△ABC与△A'B'C'相似吗？小明发现：△ABC与△A'B'C'不一定相似．小明先画出了△ABC∽△A'B'C'的示意图，如图2所示，请你利用直尺和圆规在小明所画的图②中，作出△ABC与△A'B'C'不相似的反例．（3）小明进一步探索：当∠B＝∠B'＝30°，∠CAD＝∠C'A'D'＝60°时，设＝k（0＜k＜1），如果存在△ABC∽△A'B'C'，那么k的取值范围为 　   　．          参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：由题意知：AB∥CD，则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴＝，∴＝，∴CD＝3米，故选：B．2．【解答】解：∵△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，∴＝，∴＝，∴AE＝5，∴CE＝AC﹣AE＝3，故选：B．3．【解答】解：如图，连接BG，过点O作OT∥AE交BC于点T．∵AO＝OB，∴S△AOG＝S△OBG，∵＝，∴＝，∴＝，∵OT∥AE，AO＝OB，∴ET＝TB，∴OT＝AE，∴＝，∵AE⊥CD，CD平分∠BCO，∴∠DCG＝∠DCE，∴∠CGE+∠DCG＝90°，∠CEG+∠DCB＝90°，∴∠CGE＝∠CEG，∴CG＝CE，∵∠CGE＝∠COT，∠CEG＝∠CTD，∴∠COT＝∠CTD，∴CO＝CT，∴OG＝ET，∵GE∥OT，∴＝＝，∴＝，∴＝．故选：D．4．【解答】解：若＝，不能判定△ACD与△ABC相似，当＝，结合∠A＝∠A可判定△ACD与△ABC相似，故A选项符合题意；若∠ADC＝∠ACB，结合∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，故B选项不符合题意；若∠ACD＝∠B，结合∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC；故C选项不符合题意；若AC2＝AD•AB，即＝，结合∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC；故D选项不符合题意；故选：A．5．【解答】解：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴＝（）2，∵BE＝2AE，∴AB＝CD＝3AE，∴＝（）2＝（）2＝，∵S△AFE＝1，∴S△CDF＝9，∵△AEF∽△CDF，∴＝＝，∴＝，∴S△ADF＝3，∴S△ADC＝S△CDF+S△ADF＝9+3＝12．故选：C．6．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为9：16，∴这两个三角形对应边上的高之比为9：16，故选：B．7．【解答】解：∵点D、E、F、G分别是边AB、AC的三等分点，∴DF∥EG∥BC，AD：AE：AB＝1：2：3，∴△ADF∽△AEG∽△ABC，∴S△ADF：S△AEG：S△ABC＝1：4：9，∵△ABC的面积为18，∴S△ADF＝2，S△AEG＝8，∴四边形DEGF的面积为8﹣2＝6．故选：C．8．【解答】解：作DH∥AC交BF于H，如图，∵DH∥AF，∴∠EDH＝∠EAF，∠EHD＝∠EFA，∵DE＝AE，∴△EDH≌△EAF（AAS），∴DH＝AF，∵点D为BC的中点，DH∥CF，∴DH为△BCF的中位线，∴CF＝2DH＝2AF，∴AF：FC＝1：2，故选：A．9．【解答】解：∵∠BEC＝∠CDB，∠EFB＝∠DFC，∴△EFB∽△DFC，∴＝，∴EF•FC＝DF•FB，故A不符合题意：∵△EFB∽△DFC，∴＝，∴BE•CF＝CD•BF，故B不符合题意；∵∠BEC＝∠CDB，∠BEC+∠AEC＝180°，∠BDC+∠ADB＝180°，∴∠AEC＝∠ADB，∴△ABD∽△ACE，∴＝，∴AB•AE＝AD•AC，故C符合题意；因为：AE，BE，AD，CD组不成三角形，也不存在比例关系，故D不符合题意；故选：C．10．【解答】解：A．∵AB2＝BD•BC，∴＝，∵∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，故A不符合题意；B．∵∠BDA＝∠BAC，∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，故B不符合题意；C．∵∠ADC＝∠C+∠B，∠ADC＝∠BAD+∠B，∴∠C＝∠BAD，∵∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，故C不符合题意；D．∵AD•BC＝AB•AC，∴＝，∵∠B≠∠BAD，∴不能判定△ABC与△ABD相似，故选：D．11．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴CD2＝AD•BD，∵四边形CDEF是正方形，∴CD＝DE，∵△AEG面积＝S1＝AE•EG，△CBD面积＝S2＝BD•CD，且EG＝BD，∴S1+S2＝AE•EG+BD•CD＝BD•（AE+CD）＝BD•（AE+ED）＝BD•AD＝CD2＝16，∴CD2＝32，∴CD＝4．∴DE＝CD＝4．故选：A．12．【解答】解：①∵在正方形ABCD中，∠NBC＝∠ECD＝90°，∴BC＝CD，∠BCN+∠GCD＝90°，∵CG⊥DE，∴∠CDG+∠GCD＝90°，∴∠BCN＝∠CDG，∴△NBC≌△ECD（ASA），∴DE＝CN，故①正确；②∵在正方形ABCD中，AB∥CD，∴△NBH∽△CDH，∴＝，∵△NBC≌△ECD（ASA），E为BC的中点，四边形ABCD是正方形，∴NB＝BC＝CD，∴＝＝，故②正确；③如下图所示，过H点作IJ∥AD，∵△NBH∽△CDH，∴I③J＝HJ，∴HI＝IJ＝DC，∴S△DEC＝EC•DC，S△BNH＝BN•HI＝EC×DC＝×（×EC×DC），∴S△DEC＝3 S△BNH，故③正确；④过点B作BP⊥CN于点P，BQ⊥DG交DE的延长线上于点Q，∴∠BPC＝∠BQD＝∠PGQ＝90°，∴四边形PBQG是矩形，∴∠PBQ＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠NBP＝∠QBE，由①得△NBC≌△ECD，∴EC＝BN，∵E是BC的中点，∴BE＝EC，∴BE＝BN，∵∠BPN＝∠BQE＝90°，∴△BPN≌△BQE（AAS），∴BP＝BQ，∴四边形PBQG是正方形，∴∠BGE＝45°，故④正确；⑤如图所示，连接N，E，设BN＝x，则BE＝EC＝x，BC＝2x，∵CG⊥DE，∠NBC＝90°，∴CN＝＝＝，EN＝＝＝，由△ECN面积可得CN•GE＝EC•BN，∴GE＝，∴GN＝＝，∴GN+GE＝+＝，∴GC＝CN﹣GN＝﹣＝，∵AB∥CD，∴△NGB∽△CGF，∴，∴BG＝FG，∴BG＝BF，FC＝BN＝x，∴BG＝×＝，∴GN+GE＝BG，故⑤正确；综上所述，故选：D．二．填空题13．【解答】解：设AC的中点为O，连接EO，∴AO＝AC＝20，∵E是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝BC，OE∥BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD∥OE，∴∠FAG＝∠AOE，∠AFG＝∠OEG，∴△AFG∽△OEG，∴＝，∵AF：AD＝1：3，∴＝，∴＝＝，∴＝，∴AG＝8，故答案为：8．14．【解答】解：①如图，点E在AC上时，在△ABC，∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠EAD＝∠CBA＝45°，∵∠CDE＝45°，∠CDA＝∠CDE+∠ADE＝∠B+∠BCD，∴∠ADE＝∠BCD，∴△ADE∽△BCD，∴，∴AD＝，BD＝，∴，∴AE＝，∵∠CDE＝∠A＝45°，∴△CED∽△CDA，∴，∵CD＝2，∴AC•CE＝40，∴，即AE•CE＝15，∵AE+CE＝AC，即AE+CE＝，∴CE＝，∴AE，∴AE＝3；②如图，点E在AC的延长线上，∵∠CDE＝45°，∠DCM＝∠BCD，∴△CDE∽△BCD，∴，∵CD＝2，CB＝AC，∴BC•CM＝40，即AC•CM＝40，∵∠EDB＝∠A+∠E，∠DCA＝∠E+∠CDE，∠A＝∠CDE＝45°，∴∠EDB＝∠DCA，∵∠A＝∠B＝45°，∴△BDM∽△ACD，∴，∵AC＝BC，AB＝AC，AD＝3BD，∴AD＝，BD＝，，∴BM＝，∵BM+CM＝AC，∴CM＝，∴AC＝8，作DN∥BC，∴，∴DN＝BC×＝8×＝6，AN＝AC×＝8×＝6，∴CN＝8﹣6＝2，∵CM＝，∴，∴，∴CE＝10，∴AE＝AC+CE＝8+10＝18，综上，AE＝3或18，故答案为：3或18．15．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，O为AC的中点，∴AO＝1，BO＝＝，①若∠ACP＝90°时，∵∠OCP＝∠OAB＝90°，CO＝AO，∠COP＝∠AOB，∴△OCP≌△OAB（ASA），∴OP＝BO，∴BP＝OP+BO＝2；②若∠APC＝90°，且点P在BO延长线上时，∵O为AC的中点，∴OP＝，∴BP＝OP+BO＝1+；③若∠APC＝90°，且点P在线段BO上时，∵O为AC的中点，∴OP＝，∴BP＝BO﹣OP＝﹣1，若∠CAP＝90°，则点P与B重合，此时BP＝0，综上所述，线段BP的长为：2或+1或﹣1或0．故答案为：2或+1或﹣1或0．16．【解答】解：△OCD是以点O为位似中心，且与△OAB的相似比为的位似图形，∵点A的坐标为（3，2），∴点C的坐标为（3×（±），2×（±）），即点C的坐标为（1，）或（﹣1，﹣），故答案为：（1，）或（﹣1，﹣）．17．【解答】解：根据题意，∵∠KLM＝∠TSM＝90°，∠KML＝∠TMS，∴△KLM∽△TSM，∴＝，即＝．∴TS＝20．故答案是：20．18．【解答】解：根据题意可知：AB＝3，AC∥BD，AC＝2，BD＝3，∴△AEC∽△BED，∴＝，∴＝，解得AE＝．故答案为：．19．【解答】解：∵四边形CDEF是正方形，∴DE∥CF，DE＝DC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，∴＝，∴DE＝，∴正方形CDEF的边长为：步，故答案为：．20．【解答】解：如图，过点A作AG⊥l2于点G，延长CP交AG于点F，∴PF∥BG，∴△APF∽△ABG，∴＝＝，∵BP＝2AP，设BP＝2x，AP＝x，PF＝a，（a≥0），∴BG＝3a，AG＝3AF，过点C作CD⊥l1于点D，∵l1∥l2，∴CE⊥l2，得矩形CEGF，∴EG＝CF＝CP+PF＝4+a，∴BE＝EG﹣BG＝4+a﹣3a＝4﹣2a，在Rt△APF中，根据勾股定理，得AF＝＝，∴FG＝2AF＝2，∴CE＝FG＝2，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠CCB＝90°，∴∠CAD＝∠ECB，∴△CAD∽△ECB，∴＝，∵AD＝EG＝4+a，CE＝2，BE＝4﹣2a，CD＝AF＝，∴＝，∴（）2＝（2﹣a）（4+a）＝﹣a2﹣2a+8，∴AF2＝﹣a2﹣2a+8，因为二次函数开口向下，当对称轴a＝﹣1时，AF取最大值，∵a≥0，∴a＝﹣1时不符合题意舍去，∴a＝0时，AF2取得最大值为8，∴AF＝2，∴AG＝3AF＝6，∴l1与l2之间的最大距离为6．故答案为：6．三．解答题21．【解答】解：（1）如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；（2）如图，△A2B2C为所作；22．【解答】证明：（1）由旋转的性质可知，∠ECB′＝∠AC′E，∵∠CEB′＝∠AEC′，∴△CEB′∽△C′EA，∴＝； （2）∵∠BAC＝∠B′AC′，∴∠BAB′＝∠CAC′，∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴＝，∴△ABB′∽△ACC′．23．【解答】（1）证明：∵AB∥DC，∴∠ABD＝BDC，∠ABC+∠C＝180°，∵∠ABC+∠ADB＝180°，∴∠C＝∠ADB，∴△ABD∽△BDC；（2）解：∵△ABD∽△BDC，AE平分∠DAB，BF平分∠DBC，BF＝2AE，∴＝（）2＝（）2＝（）2＝，∵S△ABD＝3，∴S△BDC＝4S△ABD＝12；24．【解答】（1）证明：∵＝，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴∠ACD＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠BDC，∵∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴＝，∴CD＝．25．【解答】（1）解：∵BD和AD的垂直平分线交于点E，∴AE＝DE，DE＝BE，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠EAB＝α，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∴∠DBE＝45°+α，∴∠BDE＝∠DBE＝45°+α，∴∠BED＝180°﹣2∠DBE＝90°﹣2α；（2）证明：∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠3+∠DAB＝∠CAB＝∠ABC＝45°，∵BD和AD的垂直平分线交于点E，∴AE＝ED＝BE，∴∠1＝∠2，∠1+∠CBA＝∠EDB，∴∠CAB+∠2＝∠1+∠CBA，即∠EDB＝∠CAE，∵∠EDB+∠CDE＝180°，∴∠CAE+∠CDE＝180°，∵∠CAE+∠C+∠CDE+∠A ED＝360°，∴∠C+∠AED＝180°，∵∠C＝90°，∴∠AED＝90°，∴∠C＝∠AED＝90°，∵AC：BC＝AE：ED＝1，∴△ACB∽△AED；（3）解：当α＝30°时，∠BED＝90°﹣60°＝30°，∴∠AED＝∠AEB﹣∠BED＝120°﹣30°＝90°，∵AE＝ED，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∵DE＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝75°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADE﹣∠BDE＝60°，设EF＝x，则AE＝x，∴AD＝AE＝x，∴CD＝x，∴＝．26．【解答】（1）证明：∵∠B＝∠B'，∠BAD＝∠B'A'D'，∴△ABD∽△A′B′D′，∴＝，∵．∴＝，∴＝，∵＝，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A'B'C'；（2）如图，作△A′C′D′的外接圆交A′B′于点A″，连接A″D′，则∠C′A″D′＝∠C′A′D′，∵∠CAD＝∠C'A'D'，∴∠CAD＝∠C'A″D'，但△ABC与△A″B'C'不相似，故图②中的△A″B′C′为所求作的反例；（3）如图③，当∠C＝45°时，最大，作DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝105°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝105°﹣60°＝45°，不妨设DE＝1，∴AD＝＝，∵∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2，在Rt△ADF中，∠DAC＝60°，∴DF＝AD•sin60°＝＝，在Rt△DCF中，∠C＝45°，∴CD＝＝，∴＝4﹣2，故答案是：0＜k≤4﹣2．