初中数学鲁教版 (五四制)八年级下册1 一元二次方程一课一练

第八章  一元二次方程

6  一元二次方程的应用

第4课时  利用一元二次方程解决与直角三角形有关的问题

知识梳理

在解决有关直角三角形的问题时，常常利用___________建立方程，进而解决问题.

基础练习

1.小明用一根长为30 cm的铁丝围成一个直角三角形，使斜边长为13 cm，则该三角形的面积为(   )

A.15cm²         B.30cm²         C.45cm²       

2.如图，有一块等腰直角三角形绿地，面积为18 km2，甲、乙两人分别从顶点C，A处同时骑车出发，甲由C处向B处运动，速度为1 km/min，乙由A处向C处运动，速度是2 km/min，则_______ min后，两人相距km.                                                                      

3.《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短.横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等，则门高为＿＿＿___尺，门宽为＿＿＿＿＿尺.

4.如图，在△ABC中，AB=6 cm，BC=7 cm，∠B=30°.点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿AB运动到点B时停止；点Q从点B出发，以2 cm/s的速度沿BC运动到点C时停止.如果P，Q两点同时出发，那么经过多少秒时△PBQ的面积为4 cm2?

5.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5 cm，BC=6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动.点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动.设移动时间为t s.

(1)填空：BQ=______ cm，PB=_______ cm(用含t的代数式表示).

(2)当t为何值时，PQ的长为5 cm?

(3)是否存在t的值，使得△PBQ的面积为4 cm²?若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由.

巩固提高

6.如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为（   ）                                                                        

                          D.-2

                     第6题图         第7题图

7.如图，在矩形ABCD中，AB=5 cm，AD=3 cm，G为边AB上一点，GB=1 cm，动点E，F同时从点D出发，点F沿DG—GB—BC运动到点C时停止，点E沿DC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1 cm/s.若点E，F同时运动t s时，△DEF的面积为5 cm²，则t的值为____________.

8.如图，一轮船以40 km/h的速度由西向东航行，在途中点C处接到台风警报，台风中心点B正以20 km/h的速度由南向北移动.已知距台风中心200 km的区域(包括边界)都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报时，测得BC=500 km，AB=300 km(假定轮船不改变航向).

(1)如果这艘轮船不改变航向，那么经过11 h，轮船与台风中心相距多远？此时轮船是否受到台风影响？

(2)如果这艘轮船受到台风影响，请求出轮船受到台风影响一共经历了多少小时.

9.如图，在矩形ABCD中，AB=10 cm，AD=8 cm，点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1 cm/s的速度向终点C运动，它们到达终点后停止运动.

(1)几秒时，PD的长是PQ的2倍?

(2)几秒时，△DPQ的面积是24 cm²?

10.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，BC=16，CD=12，AD=21.动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线

段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动.点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？

参考答案

［知识梳理］

勾股定理

[基础练习]

1.B     2.2或1     3.8  6

4.如图，过点Q作QE⊥PB于点E，则∠QEB=90°. ∵∠B=30°, ∴2QE . 设经过ts时△PBQ的面积为4 cm2，则PB=(6-t) cm，QB=2tcm，QE=tcm.根据题意，得   整理，得  8=0，解得   当t=4时，2t=8，8＞7，不合题意，舍去. ∴t=2.当点Q到达点C时， .解得t=26. ∴经过2 s或 s时△PBQ的面积为4cm2.

5.(1)2t  (5-t)      

(2)在Rt△PBQ中，由勾股定理，得解得   （不合题意，舍去）  当t=2时，PQ的长为5 cm .  

(3)存在由题意，得  4，解得t1=1，t2=4(不合题意，舍去). ∴当t=1时，△PBQ的面积为4cm².

[巩固提高]

6.A  解析：根据已知条件可以证明△ABE≌△ADF，再根据全等三角形的性质得到BE=DF.设BE=x，则  在Rt△ABE和Rt△CEF中利用勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出BE=

 或7  解析：分三种情况讨论：①点F在DG上；②点F在GB上；③点F在BC上.根据△DEF的面积为5cm,列出方程求解即可.

 （1）∵ ∴400 km. ∴经过11 h，轮船与台风中心相距

200，∴此时轮船受到台风影响.

(2)设轮船恰好受到台风影响的时间为t h.由题意，得  解得 轮船受到台风影响的时间为15―7=8(h). ∴轮船受到台风影响一共经历了8 h .

9.(1)设t s时，PD的长是PQ的2倍，即PD=2PQ. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°. ∵易得  

  解得  =7. ∵当t=7时，10-2t＜0，不合题意，舍去，∴t=3. ∴3s时，PD的长是PQ的2倍.

(2)设x s时，△DPQ的面积是24 cm².由题意，得 整理，得解得   ∴4s时，△DPQ的面积是24 cm2.

10.如图①，当PB=PQ时，过点P作PE⊥BC于点E.∴ ∵易得PD=EC，∴2t=，解得  

如图②，当PQ=BQ时，过点Q作QE⊥AD于E. ∴∠PEQ=∠DEQ=90°. ∵∠C=∠D=90°，∴四边形DEQC是矩形. ∴DE=QC=t.∴12.在Rt△PEQ中，由勾股定理，得  解得 当BP=BQ时，过点P作PE⊥BC于点E. ∵CQ=t，∴BP=BQ=16-t. ∵PD=2t，∴易得CE=2t. ∴BE=16-2t.在Rt△BEP中，由勾股定理，得 整理，得  3 方程无实数根.综上所述，当 或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形.