2022届陕西省西安中学高三第四次模拟考试数学（理）试题(含答案)

陕西省西安中学高2022届高三第四次模拟考试

理科数学试题

第Ⅰ卷(选择题  共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A．    B．    C．    D．

2．已知（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点一定在（    ）

A. 实轴上 B. 虚轴上

C. 第一､三象限的角平分线上 D. 第二､四象限的角平分线上

3．质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，利用系统抽样的方法从编号为1~120的该商品中抽8件进行质检，若所抽样本中含有编号67的商品，则下列编号没有被抽到的是（    ）

A．112                 B．37               C．22             D．9

4.溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，已知胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的pH约为（    ）（参考数据：lg2≈0.301）

A. 0.398 B. 1.301 C. 1.398 D. 1.602

5. 由组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是奇数的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

6.圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为（    ）

A.  B. 15cm C.  D. 20cm

7．一个二元码是由0和1组成的数字串，其中称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）.已知某种二元码的码元满足如下校验方程组：，其中运算⊕定义为：现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于

A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

8. 已知函数，将图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像.若，且，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

9 .数列为等差数列，且，则（    ）

A．1    B．3    C．6    D．12

10. 已知点F是双曲线的左焦点，过点F且斜率为1的直线与双曲线的右支交于点M，与y轴交于点N，若点N为的中点，则该双曲线的离心率为（    ）

A．         B．          C．        D．

11．哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段和两个圆弧，弧围成，其中一个圆弧的圆心为，另一个圆弧的圆心为，圆与线段及两个圆弧均相切，则的值是（    ）

A．    B．   C．    D．

12．已知函数有两个极值点，，且，，则的取值范围为　　

A．，        B．，        C．，   D．，

第Ⅱ卷(非选择题  共90分)

二、填空题 (本题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知向量，，若与共线，则实数_______．

14．已知，则_______．

15．下列说法中，正确命题的序号是________．

①若命题“”为真命题，则，恰有一个为真命题；

②命题“，”的否定是“，”；

③设，为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的充要条件；

④命题“函数仅有一个零点”的逆否命题是真命题．

16．已知等差数列的前n项和为，若，则的取值范围      ．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

（1）求B；

（2）设D为边上一点，，且________，求面积的最小值．

从①，②这两个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答.（注：如果选择①和②两个条件分别作答，则按第一个解答计分）

18．（本小题满分12分）

某慈善机构举办一次募捐演出,有一万人参加,每人一张门票,每张100元. 在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取10张,其持有者获得价值1000元的奖品,并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮,电脑随机产生两个数,若满足，电脑显示”中奖”,则抽奖者获得9000元奖金;若不满足电脑显示”谢谢”,则不中奖．

(1)已知小曹在第一轮抽奖中被抽中, 求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率;

(2)若小叶参加了此次活动,求小叶参加此次活动收益的期望;

(3)若此次募捐除奖品和奖金外,不计其它支出,该机构想获得96万元慈善款．问该慈善机构此次募捐是否能达到预期目标．

19．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥的底面是矩形，平面，，点E是棱上的一点，且，点F是棱上的一点，且．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，右焦点为F，过F的直线l与C交于P，Q两点．

（1）设和的面积分别为，若，求直线l的方程；

（2）当直线l绕F点旋转时，求证：四边形的对边与所在直线的斜率的比值恒为常数．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）讨论函数的极值；

（2）设，若有三个零点，求实数的取值范围．

选做题：请考生在第22、23二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数），设原点O在圆C的内部，直线l与圆C交于M，N两点：以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线l和圆C的极坐标方程，并求a的取值范围；

（2）求证：为定值．

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时，，求的取值范围.

陕西省西安中学高2022届高三第四次模拟考试

                  理科数学答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分． 

13．1或；  14． ；     15．① ④；    16．

三、解答题

17．（本小题满分12分）

解：（1）因为，由正弦定理，得，          .……………2分

即，

所以．         .……………4分

由，得，所以，即，

因为，所以．         .……………6分

（2）选①．

由，得，化简得．    .…………… 8分

由余弦定理，得，即，

解得（当且仅当时取等号），             .……………10分

所以的面积．

故面积的最小值为．          .……………12分

选②．

由，

得，

即，化简得．       .……………8分

由，得（当且仅当时取等号），…………10分

所以的面积．

故面积的最小值为．           .……………12分

18．（本小题满分12分）

（1）从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有

共9个，

设“小曹在第二轮抽奖中获奖”为事件，且事件所包含的基本事件有共2个，

∴.                                            .……………3分

（2）设小叶参加此次活动的收益为，的可能取值为

，，．

∴的分布列为

∴．     .……………9分

（3）由（2）可知，购票者每人收益期望为.

∵有一万人购票，除奖金和奖品外，不计其它支出，

∴该机构此次收益期望为元=万元，

∵，

∴该慈善机构此次募捐能达到预期目标                             .……………12分

19．（本小题满分12分）

（1）证明：在棱上取一点G，使得，连接，

在中，，所以，且．………… 1分

又，

所以，所以四边形是平行四边形．        .……………2分

所以，           .……………3分

又平面，平面，

所以平面．           .……………6分

（2）解：如图，以D为原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．

不妨设，易得．所以，，．，，．所以，，． 7分

设平面的一个法向量是，可得

令，解得，所以．           .……………9分

设直线与平面所成角为，

所以，

即直线与平面所成角的正弦值是．         .……………12分

20．（本小题满分12分）

（1）解：由，得，

                                                         .……………2分

因为，所以，         .……………4分

根据对称性，得轴，

故直线l的方程为．         .……………6分

（2）证明：．

设，由题意，得．

设直线l的方程为，代入并消去x，得，

则．（※）         .……………8分

因为，

所以       10分

将（※）代入，得出，

故四边形的对边与所在直线的斜率的比值恒为常数．    .……………12分

21．（本小题满分12分）

解：（1）定义域为，，

当时，，，则，则，

故在上单调递减，无极值；

当时，令，得；令，得，

故在上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极大值，无极小值．     ……………4分

（2）由题意

的定义域为，．……………6分

①若，则当时，，则在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

所以至多有两个零点，不合题意；                            ……………7分

②若，则，（仅）．

上单调递增，所以至多有一个零点，不合题意；……………8分

③若，则，

当或时，，在，上单调递增；

当时，，在上单调递减，

要使有三个零点，必须有成立．

若，得，这与矛盾，

所以不可能有三个零点（由，所以至多有一个零点，不合题意）；                                                          ……………10分

④若，则．

当或时，，在，上单调递增；

当时，，在上单调递减，

要使有三个零点，必须有成立，

由，得，由及，

得，所以．并且当时，，，

，

．

综上所述，使有三个零点的实数的取值范围为．……………12分

22．（本小题满分10分）

解：（1）解：将直线l的参数方程化为普通方程，得，

所以直线l的极坐标方程为；           ……………2分

将圆C的参数方程化为直角坐标方程，得，

所以圆C的极坐标方程为．            …………… 4分

由原点O在圆C的内部，得，解得，

故a的取值范围是．         ……………6分

（2）证明：将代入，得．

则，          ……………8分

所以，

故为定值．           ……………10分

23．（本小题满分10分）

解：（1）当时，原不等式可化为；

当时，原不等式可化为，即，显然成立，

此时解集为；                                ……………1分

当时，原不等式可化为，解得，此时解集为空集；                                                ……………2分   

当时，原不等式可化为，即，显然不成立；此时解集为空集；                                       ……………3分

综上，原不等式的解集为；                      ……………5分

（2）当时，因为，所以由可得，

即，显然恒成立；所以满足题意；     ……………7分

当时，，因为时， 显然不能成立，所以不满足题意；                                   ……………9分

综上，的取值范围是.                             ……………10分