精品解析：河南省郑州市金水区实验中学2020-2021学年八年级下学期期中数学试题

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河南省郑州市金水区实验中学2020-2021学年八年级下学期期中数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，是旋转对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，是旋转对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2. 已知，则下列结论不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；根据不等式的性质逐一判断各选项即可解题．
【详解】A.
，
正确，故A不符合题意；
B.
，
错误，故B符合题意；
C.


正确，故C不符合题意；
D.

正确，故D不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
3. 下列命题正确的是（ ）
A. 等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B. 在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
C. 有一个角是60°的三角形是等边三角形
D. 有两边及一边的对角对应相等的两个三角形全等
【答案】B
【解析】
【分析】由三线合一的条件可知A不正确，由三角形角平分线的性质可知B正确，由等边三角形的判定可知C错误，根据全等三角形的判定判断D错误，可得出答案．
【详解】解：A. 等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线互相重合，原说法错误；
B. 在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，原说法正确；
C. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，原说法错误；
D. 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，原说法错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的判定和三角形全等的判定．
4. 如图，在中，已知点D在上，且，则点D在（ ）

A. 的垂直平分线上 B. 的平分线上
C. 的中点 D. 的垂直平分线上
【答案】A
【解析】
【分析】因为，，所以，点在的垂直平分线上，据此作答．
【详解】解：∵，，
，
∴点在的垂直平分线上，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，正确理解线段垂直平分线的判定定理是解此题的关键．
5. 下列因式分解正确的是（ ）
A. 3p2-3q2=（3p+3q）（p-q） B. m4-1=（m2+1）（m2-1）
C. 2p+2q+1=2（p+q）+1 D. m2-4m+4=（m-2）2
【答案】D
【解析】
【分析】利用提取公因式法、平方差公式和完全平方公式法分别因式分解分析得出答案．
【详解】解：选项A：3p2−3q2＝3（p2−q2）＝3（p＋q）（p−q），不符合题意；
选项B：m4−1＝（m2＋1）（m2−1）＝m4−1＝（m2＋1）（m＋1）（m−1），不符合题意；
选项C：2p＋2q＋1不能进行因式分解，不符合题意；
选项D：m2−4m＋4＝（m−2）2，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6. 不等式组的解集在数轴表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先解每个不等式，然后把每个解集在数轴上表示出来．
【详解】解：
解不等式①得：x≤2
解不等式②得：x＞-1
∴等式组的解集在数轴上表示为

故选：D．
【点睛】本题考查了不等式组的解法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
7. 如图，P（m，n）为△ABC内一点，△ABC经过平移得到△A′B′C′，平移后点P与其对应点P'关于x轴对称，若点B的坐标为（﹣2，1），则点B的对应点B′的坐标为（ ）

A. （﹣2，1﹣2n） B. （﹣2，1﹣n） C. （﹣2，﹣1） D. （m，﹣1）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据P点坐标变化得到平移坐标公式，然后可以得到解答．
【详解】解：由题意可得P'坐标为（m，-n），
∴平移坐标公式为：，
∴点B的对应点B'的坐标为：，
故选A ．
【点睛】本题考查平移的坐标变换，根据P点坐标的变换得到坐标平移公式是解题关键．
8. 如图，在中，，是的平分线，若，，则为(        )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过D作于，根据角平分线的性质得出＝，再根据三角形的面积公式求出和的面积，最后求出答案即可.
【详解】解：过点作于,
∵平分，（即），
∴，
设，
在中，，，，
∴，
∴，，
∴：,
故选：B.

【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出＝是解此题的关键.
9. 若m－n=－2，mn=1，则m3n+mn3=（　　）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】A
【解析】
【详解】试题解析：∵m−n=−2，mn=1，


则

故选A.
10. 如图，△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=2，D是AB上的动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接BE，则BE的最小值是（ ）

A. -1 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】过点C作CK⊥AB于点K，将线段CK绕点C逆时针旋转90° 得到CH，连接HE,延长HE交AB的延长线于点J；通过证明△CKD≌△CHE (ASA)，进而证明所构建的四边形CKJH是正方形，所以当点E与点J重合时，BE的值最小，再通过在Rt△CBK中已知的边角条件，即可求出答案.
【详解】如图,过点C作CK⊥AB于点K，将线段CK绕点C逆时针旋转90° 得到CH，连接HE,延长HE交AB的延长线于点J；

∵将线段CD绕点C逆时针旋转90° ,得到线段CE
∴∠DCE=∠KCH = 90°
∵∠ECH=∠KCH - ∠KCE，∠DCK =∠DCE-∠KCE
∴∠ECH =∠DCK
又∵CD= CE，CK = CH
∴在△CKD和△CHE中

∴△CKD≌△CHE (ASA)
∴∠CKD=∠H=90°，CH=CK
∴∠CKJ =∠KCH =∠H=90°
∴四边形CKJH正方形
∴CH=HJ=KJ=C'K
∴点E在直线HJ上运动，当点E与点J重合时，BE的值最小
∵∠A= 30°
∴∠ABC=60°
在Rt△CBK中， BC= 2,
∴CK = BCsin60°=，BK=BCcos60° = 1
∴KJ = CK =
所以BJ = KJ-BK=；
BE的最小值为.
故选A.
【点睛】本题主要考查了以线段旋转为载体的求线段最短问题，正方形的构建是快速解答本题的关键.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 当x _______时，分式有意义．
【答案】≠1
【解析】
【分析】要使分式有意义，分母不为0.
【详解】当时，分母为0，无意义，所以要使分式有意义，.
12. 若关于 x 的二次三项式 x2+ (m + 1) x + 16 可以用完全平方公式进行因式分解，则m =_________
【答案】7 或-9
【解析】
【分析】根据完全平方公式，第一个数为x，第二个数为4，中间应加上或减去这两个数积的两倍．
【详解】依题意，得
（m+1）x=±2×4x，
解得：m=7或-9．
故答案为7或-9．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．
13. 若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解有3个，即可得到m的范围．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
∵不等式组的整数解有3个，
∴不等式组的整数解为4、5、6，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集，根据题意找出整数解是解本题的关键．
14. 已知一个等腰三角形，其中一条腰上的高与另一条腰的夹角为25°，则该等腰三角形的顶角为________．
【答案】65°或115°
【解析】
【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数．
【详解】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，


∵BD⊥AC，∠ABD＝25°，
∴∠A＝65°，即顶角的度数为65°．
②如图，等腰三角形为钝角三角形，


∵BD⊥AC，∠DBA＝25°，
∴∠BAD＝65°，
∴∠BAC＝115°．
故答案为：65°或115°．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键在于正确的画出图形，认真的进行计算．
15. 如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），以O旋转中心，将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…OPn（n为正整数），则点P2021的坐标是_______．

【答案】（-21010，-21010）
【解析】
【分析】根据各象限点的坐标特征和坐标轴上点的坐标特征，由 得到点P1的坐标为（1，1），由OP2=2得到点P2的坐标为（0，2），同样由 得点P3的坐标为（-2，2），由OP4=4，则点P4的坐标为（-4，0），由 得到点P5的坐标为（-4，-4），每8个点一循环，由于2020=252×8+5，则点P2021的坐标特征与点P5一样，然后利用OP2021=21010，易得点P2021的坐标．
【详解】解：∵P0的坐标为（1，0），
∴OP0=1．
∴．
∴P1的坐标为（1，1）．
同理：OP2=2，
P2的坐标为（0，2）．，
P3的坐标为（-2，2）．
OP4=4，
P4的坐标为（-4，0）．，
点P5的坐标为（-4，-4），
而2021=252×8+5，
所以点P2021的坐标特征与点P5一样，
而OP2021=21010，
所以点P2021的坐标为（-21010，-21010）．
故答案为（-21010，-21010）．
【点睛】此题主要考查了坐标的旋转问题；得到相应的旋转规律及OPn的长度的规律是解决本题的关键．
三、解答题（共8道小题，共55分）
16. 聪聪解不等式的步骤如下：
3（3x-1）+1≥2（4x+2），…①
9x-3+1≥8x-4，…②
9x-8x≥4+3-1，…③
x≥6，…④
（1）聪聪解不等式时从第 步开始出错误（只填写序号）．聪聪由原不等式化为第一步所依据的数学原理是 ．
（2）完成此不等式的正确求解过程．
【答案】（1）①；不等式的基本性质2；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用不等式的性质2可判定第一步错误；
（2）先去分母、去括号得到9x﹣3+6≥8x+4，然后移项、合并，最后把x的系数化为1即可．
【详解】解：（1）聪聪的解答过程是从第一步开始出错的，出错原因是去分母时漏乘常数项；聪聪由原不等式化为第一步所依据的数学原理是：不等式的性质2．
故答案为：一；不等式的性质2
（2）正确解答为：
1，
3（3x﹣1）+6≥2（4x+2）．
9x﹣3+6≥8x+4．
9x﹣8x≥4+3﹣6．
x≥1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．
17. 求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．

已知：在中，为锐角，，______．
求证：______．
证明：______．
【答案】，，证明见解析．
【解析】
【分析】题目的已知条件是已知部分，题目的结论是求证部分，过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质解得，再利用同角的余角相等解题即可．
【详解】解：已知：在中，为锐角，，．
求证：．
证明：过点作于点，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．

【点睛】本题考查推理论证，涉及等腰三角形三线合一、等角的余角相等，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18. 如图，在直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．

（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点逆时针方向旋转90°后的图△A2B2C2．
（3）求△A2B2C2的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A2B2C2的面积．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；

（3）△A2B2C2的面积＝2×32×12×13×1．
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
19. 如图，一次函数l1：y=2x-2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y=kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两函数图象交于点C（m，2）．

（1）求m，k，b的值；
（2）根据图象，直接写出1＜kx+b＜2x-2的解集．
【答案】（1）m=2；；（2）2＜x＜3．
【解析】
【分析】（1）点C在直线l1上，将点C（m，2）代入一次函数l1：y=2x-2即可求得，将点C（2，2）、B（3，1）代入直线解析式，待定系数法求解析式即可求得的值；
（2）根据函数图象写出直线l1在直线l2上方部分x的取值范围，结合l1．的函数值大于1的部分．
【详解】解：（1）∵点C在直线l1：y=2x-2上，
∴2=2m-2，
解得m=2；
∵点C（2，2）、B（3，1）在直线l2上，
∴，解得：；
（2）图象可得，
两函数图象交于点C（2，2）;
不等式组kx+b＜2x-2的解集为，
由（1）可知由直线l2的解析式为 ，
当时，，
1＜kx+b＜2x-2的解集为．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数交点问题及不等式，数形结合是解决此题的关键．
20. 先阅读下面的解法，然后解答问题．
例：已知多项式3x3-x2+m分解因式的结果中有一个因式是（3x+1），求实数m．
解：设3x3-x2+m=（3x+1）•K（K为整式）
令（3x+1）=0，则x=-，得3（-）3-（-）2+m=0，∴m=
这种方法叫特殊值法，请用特殊值法解决下列问题．
（1）若多项式x2+mx-8分解因式的结果中有一个因式为（x-2），则实数m= ；
（2）若多项式x3+3x2+5x+n分解因式的结果中有一个因式为（x+1），求实数n的值；
（3）若多项式x4+mx3+nx-14分解因式的结果中有因式（x+1）和（x-2），求m，n的值．
【答案】（1）2；（2）n=3；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据题干中的例题，因式分解，然后由特殊值法求得的值；
（2）根据题干中的例题，写成因式分解的形式，然后由特殊值法求得的值；
（3）根据题干中的例题，写成因式分解的形式，然后由特殊值法求得关于的方程组，求解方程组即可求得的值．
【详解】解：（1）由题意得，x2+mx-8=（x-2）•K（K整式），
令x-2=0，则x=2，
把x=2代入x2+mx-8=0，
得，m=2，
故答案为：2；
（2）设：x3+3x2+5x+n=（x+1）•A（A为整式），
若x3+3x2+5x+n=（x+1）•A=0，则x+1=0或A=0，
当x+1=0时，x=-1．
则x=-1是方程x3+3x2+5x+n=0的解，
∴（-1）3+3×（-1）2+5×（-1）+n=0，即-1+3-5+n=0，
解得，n=3；
（3）设x4+mx3+nx-14=（x+1）（x-2）•B（B为整式），
若x4+mx3+nx-14=（x+1）（x-2）•B=0，则x+1=0或x-2=0或B=0，
当x+1=0时，即x=-1，
∴（-1）4+m•（-1）3+n•（-1）-14=0，
即m+n=-13①，
当x-2=0时，即x=2，
∴24+m•23+n•2-14=0，
即4m+n=-1②，
联立①②解方程组得：．
【点睛】本题考查了方程的根的定义，因式分解的定义，解二元一次方程组，理解题意，运用特殊值法解决是解题的关键．
21. 如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．

（1）当∠BDA=115°时，∠BAD= °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
【答案】（1）25°；小．（2）当DC等于2时，△ABD≌△DCE；（3）当∠ADB=110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出∠BAD，根据点D的运动方向可判定∠BDA的变化情况．
（2）假设△ABD≌△DCE，利用全等三角形的对应边相等得出AB=DC=2，即可求得答案．
（3）假设△ADE是等腰三角形，分为三种情况：①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，根据∠AED＞∠C，得出此时不符合；②当DA=DE时，求出∠DAE=∠DEA=70°，求出∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA=ED时，求出∠DAC，求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠ADB．
解：（1）∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠BDA=180°﹣40°﹣115°=25°；
从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；

故答案为25°；小．
（2）当△ABD≌△DCE时．
DC=AB，
∵AB=2，
∴DC=2，
∴当DC等于2时，△ABD≌△DCE；
（3）∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=（180°﹣40°）=70°，
∵∠BAC=180°﹣40°﹣40°=100°，
∴∠BAD=100°﹣70°=30°；
∴∠BDA=180°﹣30°﹣40°=110°；
③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°﹣40°=60°，
∴∠BDA=180°﹣60°﹣40°=80°；
∴当∠ADB=110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定．
22. 某水果商行计划购进A、B两种水果共200箱，这两种水果的进价、售价如下表所示：
价格
类型
进价（元/箱）
售价（元/箱）
A
60
70
B
40
55
（1）若该商行进贷款为1万元，则两种水果各购进多少箱？
（2）若商行规定A种水果进货箱数不低于B种水果进货箱数的，应怎样进货才能使这批水果售完后商行获利最多？此时利润为多少？
【答案】（1）A种水果进货100箱，B种水果进货100箱；（2）进货A种水果50箱，B种水果150箱时，获取利润最大，此时利润为2750元．
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据题意可以得到相应的方程，从而可以得到两种水果各购进多少箱；
（2）根据题意可以得到利润与甲种水果的关系式和水果A与B的不等式，从而可以解答本题．
试题解析：解：（1）设A种水果进货x箱，则B种水果进货（200﹣x）箱，60x+40（200﹣x）=10000，解得，x=100，200﹣x=100，即A种水果进货100箱，B种水果进货100箱；
（2）设A种水果进货x箱，则B种水果进货（200﹣x）箱，售完这批水果的利润为w，则w=（70﹣60）x+（55﹣40）（200﹣x）=﹣5x+3000，∵﹣5＜0，∴w随着x的增大而减小，∵x≥（200-x），解得，x≥50，当x=50时，w取得最大值，此时w=2750，即进货A种水果50箱，B种水果150箱时，获取利润最大，此时利润为2750元．
23. （1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 （用含a，b的式子表示）
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=4，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．
①求证：BE=CD
②直接写出线段BE长的最大值．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=3，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值

【答案】（1）CB的延长线上，a+b；（2）①见解析；②5；（3）+3
【解析】
【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；
（2）①根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD＝BE；②由于线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；
（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝3，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为3＋3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，
∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b，
故答案为：CB的延长线上，a+b；
（2）①证明：∵△ABD与△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠CAD=∠EAB，
在△CAD与△EAB中，，
∴△CAD≌△EAB，
∴CD=BE；
②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，
由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，
∴最大值为BD+BC=AB+BC=5；
（3）如图3-1中，连接BM，

∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，
∴PN=PA=3，BN=AM，
∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），
∴OA=2，OB=5，
∴AB=3，
∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，（如图3-2中）

最大值=AB+AN，
∵AN=AP=，
∴最大值为+3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．