2020-2021学年河南省实验中学八年级（下）期中数学试卷(1)

这是一份2020-2021学年河南省实验中学八年级（下）期中数学试卷(1)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河南省实验中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知x＜y，则下列结论不成立的是（　　）
A．x﹣2＜y﹣2 B．﹣2x＜﹣2y C．3x+1＜3y+1 D．
3．（3分）下列命题正确的是（　　）
A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B．在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角平分线上
C．有一个角是60°的三角形是等边三角形
D．有两边及一边的对角对应相等的两个三角形全等
4．（3分）如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD+AD＝BC，则点D在（　　）

A．AC的垂直平分线上 B．∠BAC的平分线上
C．BC的中点 D．AB的垂直平分线上
5．（3分）下列因式分解正确的是（　　）
A．3p2﹣3q2＝（3p+3q）（p﹣q） B．m4﹣1＝（m2+1）（m2﹣1）
C．2p+2q+1＝2（p+q）+1 D．m2﹣4m+4＝（m﹣2）2
6．（3分）不等式组的解集在数轴表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，P（m，n）为△ABC内一点，△ABC经过平移得到△A'B'C'，平移后点P与其对应点P'关于x轴对称，若点B的坐标为（﹣2，1），则点B的对应点B'的坐标为（　　）

A．（﹣2，1﹣2n） B．（﹣2，1﹣n） C．（2，﹣1） D．（m，﹣1）
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝3，BC＝4，则S△ABD：S△ACD为（　　）

A．5：4 B．5：3 C．4：3 D．3：4
9．（3分）若m﹣n＝﹣2，mn＝1，则m3n+mn3＝（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．（3分）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，D是AB上的动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接BE，则BE的最小值是（　　）

A．﹣1 B． C． D．2
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）当x　 　时，分式有意义．
12．（3分）若关于x的二次三项式x2+（m+1）x+16可以用完全平方公式进行因式分解，则m＝　 　．
13．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是　 　．
14．（3分）已知一个等腰三角形，其中一条腰上的高与另一条腰的夹角为25°，则该等腰三角形的顶角为　 　．
15．（3分）如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），以O为旋转中心，将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OPn（n为正整数），则点P2021的坐标是 　 　．

三、解答题（共8道小题，共55分）
16．（8分）聪聪解不等式+1≥的步骤如下：
3（3x﹣1）+1≥2（4x+2）．…①
9x﹣3+1≥8x+4． …②
9x﹣8x≥4+3﹣1． …③
x≥6．…④
（1）聪聪解不等式时从第　 　步开始出错的（只填写序号）．聪聪由原不等式化为第一步所依据的数学原理是　 　．
（2）完成此不等式的正确求解过程．
17．（9分）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在△ABC中，∠A为锐角，AB＝AC，　 　．
求证：　 　．
证明：　 　．

18．（9分）如图在直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点逆时针方向旋转90°后的图形△A2B2C2；
（3）求△A2B2C2的面积．

19．（9分）如图，一次函数l1：y＝2x﹣2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y＝kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两函数图象交于点C（m，2）．
（1）求m，k，b的值；
（2）根据图象，直接写出1＜kx+b＜2x﹣2的解集．

20．（9分）先阅读下面的解法，然后解答问题．
例：已知多项式3x3﹣x2+m分解因式的结果中有一个因式是（3x+1），求实数m．
解：设3x3﹣x2+m＝（3x+1）•K（K为整式）
令（3x+1）＝0，则x＝﹣，得3（﹣）3﹣（﹣）2+m＝0，∴m＝．
这种方法叫特殊值法，请用特殊值法解决下列问题．
（1）若多项式x2+mx﹣8分解因式的结果中有一个因式为（x﹣2），则实数m＝　 　；
（2）若多项式x3+3x2+5x+n分解因式的结果中有一个因式为（x+1），求实数n的值；
（3）若多项式x4+mx3+nx﹣14分解因式的结果中有因式（x+1）和（x﹣2），求m，n的值．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠DEC＝　 　°，当点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变　 　（填“大”或“小”）．
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，当△ADE是等腰三角形时，请直接写出此时∠BDA的度数为　 　．

22．（10分）某种植基地计划购进A，B两种树苗共200棵，这两种树苗的进价，售价如下表所示：
类型
进价（元/棵）
售价（元/棵）
A
60
70
B
40
55
（1）若该种植基地进货款为1万元，则两种树苗各购进多少棵？
（2）若种植基地规定A种树苗进货棵数不低于B种树苗进货棵数的，应怎样进才能使这批树苗售完后该种植基地获利最多？此时利润为多少？
23．（11分）（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，填空：当点A位于 　 　时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 　 　（用含a，b的式子表示）；
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．
①求证：BE＝CD．
②直接写出线段BE长的最大值．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝3，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值．


2020-2021学年河南省实验中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据定义进行判断求解．
【解答】解：A．是中心对称图形，符合题意．
B．不是中心对称图形，不符合题意．
C．不是中心对称图形，不符合题意．
D．不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查中心对称图形概念，中心对称图形找到对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）已知x＜y，则下列结论不成立的是（　　）
A．x﹣2＜y﹣2 B．﹣2x＜﹣2y C．3x+1＜3y+1 D．
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：A、由x＜y，可得x﹣2＜y﹣2，成立；
B、由x＜y，可得﹣2x＞﹣2y，不成立；
C、由x＜y，可得3x+1＜3y+1，成立；
D、由x＜y，可得＜，成立；
故选：B．
【点评】此题考查不等式的性质，关键是根据不等式的性质解答．
3．（3分）下列命题正确的是（　　）
A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B．在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角平分线上
C．有一个角是60°的三角形是等边三角形
D．有两边及一边的对角对应相等的两个三角形全等
【分析】对各个命题逐一判断后找到正确的即可确定真命题．
【解答】解：A、等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线、高线互相重合，原命题是假命题；
B、在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角平分线上，是真命题；
C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，原命题是假命题；
D、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，原命题是假命题；
故选：B．
【点评】此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性．
4．（3分）如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD+AD＝BC，则点D在（　　）

A．AC的垂直平分线上 B．∠BAC的平分线上
C．BC的中点 D．AB的垂直平分线上
【分析】根据题意得到DC＝DA，根据线段垂直平分线的判定定理解答即可．
【解答】解：∵BD+DC＝BC，BD+AD＝BC，
∴DC＝DA，
∴点D在AC的垂直平分线上，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键
5．（3分）下列因式分解正确的是（　　）
A．3p2﹣3q2＝（3p+3q）（p﹣q） B．m4﹣1＝（m2+1）（m2﹣1）
C．2p+2q+1＝2（p+q）+1 D．m2﹣4m+4＝（m﹣2）2
【分析】利用提取公因式法、平方差公式和完全平方公式法分别因式分解分析得出答案．
【解答】解：选项A：3p2﹣3q2＝3（p2﹣q2）＝3（p+q）（p﹣q），不符合题意；
选项B：m4﹣1＝（m2+1）（m2﹣1）＝m4﹣1＝（m2+1）（m+1）（m﹣1），不符合题意；
选项C：2p+2q+1不能进行因式分解，不符合题意；
选项D：m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6．（3分）不等式组的解集在数轴表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出两个不等式的解集，然后在数轴上表示即可得解．
【解答】解：，
解不等式①得，x≤2，
解不等式②得，x＞﹣1，
在数轴上表示如下：．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
7．（3分）如图，P（m，n）为△ABC内一点，△ABC经过平移得到△A'B'C'，平移后点P与其对应点P'关于x轴对称，若点B的坐标为（﹣2，1），则点B的对应点B'的坐标为（　　）

A．（﹣2，1﹣2n） B．（﹣2，1﹣n） C．（2，﹣1） D．（m，﹣1）
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征可得P'（m，﹣n），可得对应点向下平移2n个单位长度，再根据平移的性质即可求解．
【解答】解：∵P（m，n）为△ABC内一点，平移后点P与其对应点P'关于x轴对称，
∴P'（m，﹣n），
∵点B的坐标为（﹣2，1），
∴点B的对应点B'的坐标为（﹣2，1﹣2n）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，关于x轴、y轴对称的点的坐标，关键是得到对应点向下平移2n个单位长度．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝3，BC＝4，则S△ABD：S△ACD为（　　）

A．5：4 B．5：3 C．4：3 D．3：4
【分析】过D作DF⊥AB于F，根据角平分线的性质得出DF＝DC，再根据三角形的面积公式求出△ABD和△ACD的面积，最后求出答案即可．
【解答】解：过D作DF⊥AB于F，
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°（即AC⊥BC），
∴DF＝CD，
设DF＝CD＝R，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝5，
∴S△ABD＝＝＝R，S△ACD＝＝＝R，
∴S△ABD：S△ACD＝（R）：（R）＝5：3，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出DF＝CD是解此题的关键．
9．（3分）若m﹣n＝﹣2，mn＝1，则m3n+mn3＝（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】直接利用完全平方公式得出m2+n2＝6，进而提取公因式分解因式得出答案．
【解答】解：∵m﹣n＝﹣2，mn＝1，
∴（m﹣n）2＝4，
∴m2+n2﹣2mn＝4，
则m2+n2＝6，
∴m3n+mn3＝mn（m2+n2）
＝1×6
＝6．
故选：A．
【点评】此题主要考查了提取公因式法的应用以及完全平方公式的应用，正确得出m2+n2＝6是解题关键．
10．（3分）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，D是AB上的动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接BE，则BE的最小值是（　　）

A．﹣1 B． C． D．2
【分析】如图，过点C作CK⊥AB于K，将线段CK绕点C逆时针旋转90°得到CH，连接HE，延长HE交AB的延长线于J．首先证明四边形CKJH是正方形，推出点E在直线HJ上运动，求出BJ，根据垂线段最短解决问题即可．
【解答】解：如图，过点C作CK⊥AB于K，将线段CK绕点C逆时针旋转90°得到CH，连接HE，延长HE交AB的延长线于J．
∵∠DCE＝∠KCH＝90°，
∴∠DCK＝∠ECH，
∵CD＝CE，CK＝CH，
∴△CKD≌△CHE（SAS），
∴∠CKD＝∠H＝90°，
∵∠CKJ＝∠KCH＝∠H＝90°，
∴四边形CKJH是矩形，
∵CK＝CH，
∴四边形CKJH是正方形，
∴点E在直线HJ上运动，当点E与J重合时，BE的值最小，
在Rt△CBK中，∵BC＝2，∠ABC＝60°，
∴CK＝BC•sin60°＝，BK＝BC•cos60°＝1，
∴KJ＝CK＝
∴BJ＝KJ﹣BK＝﹣1，
∴BE的最小值为﹣1，
补充方法：AC上截取CF＝2，得三角形CFD全等于三角形CBE，DF在DF垂直AB时最小．
故选：A．

【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正方形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）当x　≠1　时，分式有意义．
【分析】根据分式的有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x﹣1≠0，
∴x≠1，
故答案为：≠1．
【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．
12．（3分）若关于x的二次三项式x2+（m+1）x+16可以用完全平方公式进行因式分解，则m＝　7或﹣9　．
【分析】根据完全平方公式，第一个数为x，第二个数为3，中间应加上或减去这两个数积的两倍．
【解答】解：依题意，得
（m+1）x＝±2×4x，
解得：m＝﹣9或7．
故答案为：7或﹣9．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．
13．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是　6≤m＜7　．
【分析】分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解有3个，即可得到m的范围．
【解答】解：解不等式x﹣m≤0，得：x≤m，
解不等式7﹣2x＜1，得：x＞3，
则不等式组的解集为3＜x≤m，
∵不等式组的整数解有3个，
∴不等式组的整数解为4、5、6，
则6≤m＜7．
故答案为6≤m＜7．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集，根据题意找出整数解是解本题的关键．
14．（3分）已知一个等腰三角形，其中一条腰上的高与另一条腰的夹角为25°，则该等腰三角形的顶角为　65°或115°　．
【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数．
【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，

∵BD⊥AC，∠ABD＝25°，
∴∠A＝65°，
即顶角的度数为65°．
②如图，等腰三角形为钝角三角形，

∵BD⊥AC，∠DBA＝25°，
∴∠BAD＝65°，
∴∠BAC＝115°．
故答案为65°或115°．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键在于正确的画出图形，认真的进行计算．
15．（3分）如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），以O为旋转中心，将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OPn（n为正整数），则点P2021的坐标是 　（﹣21010，﹣21010）　．

【分析】根据各象限点的坐标特征和坐标轴上点的坐标特征，由OP1＝得到点P1的坐标为（1，1），由OP2＝2得到点P2的坐标为（0，2），同样由OP3＝2得点P3的坐标为（﹣2，2），由OP4＝4，则点P4的坐标为（﹣4，0），由OP5＝4得到点P5的坐标为（﹣4，﹣4），每8个点一循环，由于2021＝252×8+5，则点P2021的坐标为在与点P4一样，在第三象限上，然后利用OP2021＝21010•，可得点P2021的坐标．
【解答】解：∵OP0＝1，
∴P0的坐标为（1，0）．
∴OP1＝，
∴P1的坐标为（1，1）．
同理：OP2＝2，
P2的坐标为（0，2）．
OP3＝2，
P3的坐标为（﹣2，2）．
OP4＝4，
P4的坐标为（﹣4，0）．
OP5＝4，
点P5的坐标为（﹣4，﹣4），
而2021＝252×8+5，
所以点P2021的坐标在与点P5一样在的第三象限，
而OP2021＝21010•，
所以点P2021的坐标为（﹣21010，﹣21010）．
故答案为：（﹣21010，﹣21010）．

【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
三、解答题（共8道小题，共55分）
16．（8分）聪聪解不等式+1≥的步骤如下：
3（3x﹣1）+1≥2（4x+2）．…①
9x﹣3+1≥8x+4． …②
9x﹣8x≥4+3﹣1． …③
x≥6．…④
（1）聪聪解不等式时从第　一　步开始出错的（只填写序号）．聪聪由原不等式化为第一步所依据的数学原理是　不等式的性质　．
（2）完成此不等式的正确求解过程．
【分析】（1）利用不等式的性质2可判定第一步错误；
（2）先去分母、去括号得到9x﹣3+6≥8x+4，然后移项、合并，最后把x的系数化为1即可．
【解答】解：（1）聪聪的解答过程是从第一步开始出错的，出错原因是去分母时漏乘常数项；
故答案为：一；不等式的性质；
（2）正确解答为：
+1≥，
3（3x﹣1）+6≥2（4x+2）．
9x﹣3+6≥8x+4．
9x﹣8x≥4+3﹣6．
x≥1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．
17．（9分）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在△ABC中，∠A为锐角，AB＝AC，　CD⊥AB于D　．
求证：　∠BCD＝∠A　．
证明：　过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CE＝∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠BAE＝∠BAC　．

【分析】根据题意写出已知和求证；根据等腰三角形三线合一的性质得到∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，根据同角的余角相等即可证得∠BCD＝∠BAE＝∠BAC．
【解答】已知：在△ABC中，∠A为锐角，AB＝AC，CD⊥AB于D，
求证：∠BCD＝∠A，
证明：过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠BAE＝∠BAC．
故答案为：CD⊥AB于D，
∠BCD＝∠A，
过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CE＝∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠BAE＝∠BAC．

【点评】本题考查的是命题的证明，掌握等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余是解题的关键．
18．（9分）如图在直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点逆时针方向旋转90°后的图形△A2B2C2；
（3）求△A2B2C2的面积．

【分析】（1）根据中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）根据旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；

（3）△A2B2C2的面积＝2×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×3×1＝．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
19．（9分）如图，一次函数l1：y＝2x﹣2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y＝kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两函数图象交于点C（m，2）．
（1）求m，k，b的值；
（2）根据图象，直接写出1＜kx+b＜2x﹣2的解集．

【分析】（1）把点C的坐标代入直线l1的解析式求出m的值，根据点B、C的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据图象写出y＝kx+b的函数值大于1且直线l1在直线l2上方时对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）∵点C在直线l1：y＝2x﹣2上，
∴2＝2m﹣2，
解得m＝2；
∵点C（2，2）、B（3，1）在直线l2上，
∴，
解得：；
（2）由图象可得，不等式组1＜kx+b＜2x﹣2的解集为2＜x＜3．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
20．（9分）先阅读下面的解法，然后解答问题．
例：已知多项式3x3﹣x2+m分解因式的结果中有一个因式是（3x+1），求实数m．
解：设3x3﹣x2+m＝（3x+1）•K（K为整式）
令（3x+1）＝0，则x＝﹣，得3（﹣）3﹣（﹣）2+m＝0，∴m＝．
这种方法叫特殊值法，请用特殊值法解决下列问题．
（1）若多项式x2+mx﹣8分解因式的结果中有一个因式为（x﹣2），则实数m＝　2　；
（2）若多项式x3+3x2+5x+n分解因式的结果中有一个因式为（x+1），求实数n的值；
（3）若多项式x4+mx3+nx﹣14分解因式的结果中有因式（x+1）和（x﹣2），求m，n的值．
【分析】（1）求出x＝2，根据所给出的二次三项式即可求出a和m的值；
（2）根据题目提供的信息，把x+1＝0，求出x的值，然后代入多项式进行计算即可求出n值；
（3）根据题目提供的信息，把x+1＝0，x﹣2＝0，求出x的值，然后代入多项式得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得解．
【解答】解：（1）由题意得，x2+mx﹣8＝（x﹣2）•K（K为整式），
令x﹣2＝0，则x＝2，
把x＝2代入x2+mx﹣8＝0，
得，m＝2，
故答案为：2；
（2）设：x3+3x2+5x+n＝（x+1）•A（A为整式），
若x3+3x2+5x+n＝（x+1）•A＝0，则x+1＝0或A＝0，
当x+1＝0时，x＝﹣1．
则x＝﹣1是方程x3+3x2+5x+n＝0的解，
∴（﹣1）3+3×（﹣1）2+5×（﹣1）+n＝0，即﹣1+3﹣5+n＝0，
解得，n＝3；
（3）设x4+mx3+nx﹣14＝（x+1）（x﹣2））•B（B为整式），
若x4+mx3+nx﹣14＝（x+1）（x﹣2））•B＝0，则x+1＝0，x﹣2＝0，C＝0，
当x+1＝0时，即x＝﹣1，
∴（﹣1）4+m•（﹣1）3+n•（﹣1）﹣14＝0，
即m+n＝﹣13①，
当x﹣2＝0时，即x＝2，
∴24+m•23+n•2﹣14＝0，
即4m+n＝﹣1②，
联立①②解方程组得：．
【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠DEC＝　115　°，当点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变　小　（填“大”或“小”）．
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，当△ADE是等腰三角形时，请直接写出此时∠BDA的度数为　110°或80°　．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠B＝40°，根据三角形内角和定理计算，得到答案；
（2）当DC＝2时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，得到∠ADB＝∠DEC，根据AB＝DC＝2，证明△ABD≌△DCE；
（3）分DA＝DE、AE＝AD、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝40°，
∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝25°，
∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝115°，
由图形可知，∠BDA逐渐变小，
故答案为：115；小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°；
当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°，
∴∠DAE＝100°，
此时，点D与点B重合，不合题意；
当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝40°，
∴∠AED＝100°，
∴EDC＝∠AED﹣∠C＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣40°﹣60°＝80°
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．
故答案为：110°或80°．
【点评】本题是三角形综合题，考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
22．（10分）某种植基地计划购进A，B两种树苗共200棵，这两种树苗的进价，售价如下表所示：
类型
进价（元/棵）
售价（元/棵）
A
60
70
B
40
55
（1）若该种植基地进货款为1万元，则两种树苗各购进多少棵？
（2）若种植基地规定A种树苗进货棵数不低于B种树苗进货棵数的，应怎样进才能使这批树苗售完后该种植基地获利最多？此时利润为多少？
【分析】（1）根据题意可以得到相应的方程，从而可以得到两种树苗各购进多少棵；
（2）根据题意可以得到利润与A种树苗的关系式和树苗A与B的不等式，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）设A种树苗进货x棵，则B种树苗进货（200﹣x）棵，依题意有
60x+40（200﹣x）＝10000，
解得x＝100，
200﹣x＝100，
故A种树苗进货100棵，B种树苗进货100棵；
（2）设A种树苗进货x棵，则B种树苗进货（200﹣x）棵，售完这批树苗的利润为w元，
则w＝（70﹣60）x+（55﹣40）（200﹣x）＝﹣5x+3000，
∵﹣5＜0，
∴w随着x的增大而减小，
∵x≥（200﹣x），
解得x≥50，
当x＝50时，w取得最大值，此时w＝2750，
故进货A种树苗50棵，B种树苗150棵时，获利最多，此时利润为2750元．
【点评】本题考查一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程和不等式．
23．（11分）（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，填空：当点A位于 　CB的延长线上　时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 　a+b　（用含a，b的式子表示）；
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．
①求证：BE＝CD．
②直接写出线段BE长的最大值．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝3，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值．

【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；
（2）①根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD＝BE；
②由于线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；
（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值；过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，
∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b，
故答案为：CB的延长线上，a+b；

（2）①CD＝BE，
理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠CAD＝∠EAB，
在△CAD与△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴CD＝BE；
②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，
由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，
∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝5，

（3）如答图1中，连接BM，
∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，
则△APN是等腰直角三角形，
∴PN＝PA＝3，BN＝AM，
∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），
∴OA＝2，OB＝5，
∴AB＝3，
∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，如答图2，
最大值＝AB+AN，
在等腰Rt△APN中，PA＝3，
∴AN＝AP＝，
∴AM长的最大值为+3．


【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/2/22 15:49:42；用户：18703976555；邮箱：18703976555；学号：21613299