专题03 对角互补的三种模型--中考数学必备几何模型讲义（全国通用）

专题03 对角互补的三种模型

对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含90°与120°的两种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等或者相似.

模型一、含90°的全等型

1.如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.

则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.

2.如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.

则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.

例1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝　　．

【答案】3

【详解】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．

∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四边形PQBR是矩形，

∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，∴△QPE∽△RPF，

∴＝＝2，∴PQ＝2PR＝2BQ，

∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，

设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，∴2x+3x＝3，∴x＝，∴AP＝5x＝3．

故答案为3．

【变式训练1】如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形

OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定

值，并求这个定值．

【答案】25

【解答】解：当OP∥AD或OP经过C点，

重叠部分的面积显然为正方形的面积的，即25，

当OP在如图位置时，过O分别作CD，BC的垂线垂足分别为E、F，

如图在Rt△OEG与Rt△OFH中，∠EOG＝∠HOF，OE＝OF＝5，∴△OEG≌△OFH，

∴S四边形OHCG＝S四边形OECF＝25，即两个正方形重叠部分的面积为25．

【变式训练2】四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角△ABD和直角△CBD，其中∠A和∠C都是直角，

另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．

【答案】2

【详解】解：将△ABC绕点A旋转90°，使B与D重合，C到C′点，

则有∠CDC′＝∠ADC+∠ADC′＝∠ADC+∠ABC＝180°，

所以C、D、C′在同一直线上，则ACDC′是三角形，

又因为AC＝AC′，所以△ACC′是等腰直角三角形，

在△ABC和△ADC′中

，∴△ABC≌△ADC′（SAS），

∴四边形ABCD的面积等于等腰直角三角形ACC′的面积，

所以S四边形ABCD＝S△ACC′＝×2×2＝2．

【变式训练3】3. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A（0，2），B点在轴上，对角线AC、BD交于点M，，则点C的坐标为              .

【答案】C（6，4）

【详解】如图，过点C作轴于点E，过点M作轴于点F，连接EM.

∠MFO＝∠CEO＝∠AOB＝90º，AO∥MF∥CE，

∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90º，AM＝CM，

∴∠OAB＝∠EBC，OF＝EF，∴MF是梯形AOEC的中位线，，

，

∴OB＝CE，AO＝BE，，

又∵OF＝FE，∴△MOE是直角三角形，∵MO＝ME，∴△MOE是等腰直角三角形，

.

模型二、 含60°与120°的全等型

如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.

则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.

例.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，若∠A＝60º，∠EDF＋∠A＝180º，求证：.

【答案】见解析

【详解】取AB的中点G，连接DG，如图所示：

∵AB＝AC，∠A＝60º，∴△ABC是等边三角形，

∵点D、G分别是AB、BC的中点，

∴DG是△ABC的中位线，∴DG＝DC＝BD，

∵∠B＝60º，∴△BDG是等边三角形，

∴∠BGD＝∠C，

∵∠AED＋∠AFD＝180º，且∠AFD＋∠DFC＝180º，

∴∠AED＝∠DFC，∴△GED≌△CFD，

∴EG＝FC，

∴BE＋CF＝BE＋EC＝BG＝.

【变式训练】在等边△ABC中，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120º，射线DE与线段AB相交于点E，射线DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.

（1）如图1，若DF⊥AC，直接写出DE与AB的位置关系；

（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F，

求证：DE＝DF；

（3）在∠EDF绕D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关系.

【答案】（1）DE⊥AB；（2）见解析；（3）

【详解】（1）∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90º，

∵∠A＝60º，∠EDF＝120º，∴∠AED＝360º－∠A－∠AFD－∠EDF＝90º，∴∠DE⊥AB；

（2）连接AD，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，如图所示：

∵点D是BC的中点，∴AD是∠BAC的角平分线，∴DM＝DN，

∵∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90º，∠A＝60º，∴∠MDN＝360º－60º－90º－90º＝120º，

∵∠EDF＝120º，∴∠MDE＝∠NDF，∴△EMD≌△FND，∴DE＝DF；

（3）过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，如图所示：

在△BOM与△CDN中，，

∴BM＝CN，DM＝DN，

∵∠EDF＝120º＝∠MDN，∴∠EDM＝∠NDF，

在△DME与△NDF中，，∴△EDM≌△FDN，∴ME＝NF，

∴BE－CF＝BM＋EM－（FN－CN）＝2BM＝BD＝.

模型三、 相似型

例.【提出问题】

（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN,连结CN．求证：BM＝CN．

【类比探究】

（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变,(1)中结论BM＝CN还成立吗？请说明理由．

【拓展延伸】

（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC,AB＝6,AC＝4，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN＝∠ABC．连结CN．试探究BM与CN的数量关系，并说明理由．

图1                   图2                    图3

【答案】见解析

【解析】（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，

∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，

∴∠BAM＝∠CAN，

∵在△BAM和△CAN中，

∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN．

（2）解：结论∠ABC＝∠ACN仍成立；

理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，

∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，

∵在△BAM和△CAN中，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN．

（3）解：∠ABC＝∠ACN；理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN，

∴底角∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴＝

又∵∠BAM＝∠BAC﹣∠MAC，∠CAN＝∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，

∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN．

课后训练

1．如图所示，在四边形ABCD中，AD＝3,CD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°,则BD的长为_________．

【答案】

【详解】解：作AD′⊥AD，AD′＝AD，连接CD′，DD′，

如图：∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAD′＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAD′，

在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD＝CD′，∠DAD′＝90°，

由勾股定理得DD′＝＝3，∠D′DA＋∠ADC＝90°，

由勾股定理得CD′＝＝，∴BD＝CD′＝．

故答案为：．

2、如图，在△ABC中,∠ABC＝60°,AB＝＝8，以AC为腰，点A为顶点作等腰△ACD,且∠DAC＝120°,则BD的长为________.

【答案】10

【详解】解：以A为旋转中心，把△BAC逆时针旋转120°，得到△EAD，连接BE，作AP⊥BE于P，

则∠BAE＝120°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝30°，

∴BP＝AB•cos∠ABP＝3，∠AEB＝90°，∴BE＝2BP＝6，

在Rt△BED中，BD＝＝10，

故答案为：10．                

3.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝               .

【答案】

【详解】如图，过点E分别作于点G，于点H.

∵四边形ABCD是矩形，∴四边形CHEG也是矩形，∴∠GEH＝90º，

∴∠BEG＋∠GEF＝∠GEF＋∠FEH＝90º，∴∠BEG＝∠FEH，

又∵∠BGE＝∠FHE＝90º，∴△BEG∽△FEH，，

.

4.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别为AD、CD上的点，若AE＝4，CF＝3，且OE⊥OF，求EF的长.

【答案】5

【详解】如图，连接EF.

∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝DO，∠OAE＝∠ODF＝45º，∠ADC＝90º，

又∵OE⊥OF，∴∠OFD＋∠EDO＝180º，

∵∠AEO＋DEO＝180º，∴∠OFD＝∠AEO，∴△AEO≌△DFO（AAS），∴AE＝DE＝4，

又∵AD＝CD，∴DE＝CF＝3，在Rt△EOF中，.

6.如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.

（1）如图1，当点Q在DC边上，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以说明；

（2）如图2，当点Q落在DC延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想.

【答案】（1）PB＝PQ；（2）PB＝PQ

【详解】（1）过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，如图所示：

∵P、C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90º，

∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形，

∵∠BPE＋∠QPE＝90º，∠QPE＋∠QPF＝90º，

∴∠BPE＝∠QPF，∴△PQF≌△PBE，∴PB＝PQ；

（2）过点P 作PE⊥BC，PF⊥CD，如图所示：

证明过程参考（1），通过证△PQF≌△PBE即可得到PB＝PQ.