清单16 三角恒等变换（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单16 三角恒等变换（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共21页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
清单16 三角恒等变换
一、知识与方法清单
1.两角和与差的余弦公式
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))
【对点训练1】已知角α为锐角,若sin＝,则cos等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于角α为锐角,且sin＝,则cos＝,则cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝,故选A.
2.注意公式的逆用,如
【对点训练2】
【答案】
【解析】==.
3. 常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β),α＝(α＋β)－β,β＝－,α＝＋,＝－等．
【对点训练3】设α,β都是锐角,且cosα＝,sin(α＋β)＝,则cosβ＝ .
【答案】　
【解析】依题意得sinα＝＝,因为sin(α＋β)＝α,
所以α＋β∈,所以cos(α＋β)＝－.于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.
4. 两角和与差的正弦公式
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))
【对点训练4】sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝ .
【答案】
【解析】　sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°
＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°
＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝.
5. 利用公式求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
【对点训练5】设α为锐角,若cos＝,则sin的值为________．
【答案】
【解析】(1)∵α为锐角且cos＝>0,∴α＋∈,∴sin＝.
∴sin＝sin＝sin2cos－cos2sin
＝sincos－＝××－
＝－＝.
6.解决非特殊角求值问题的基本思路有：(1)化非特殊角为特殊角；(2)化为正负相消的项,消去后求值；(3)化分子、分母使之出现公约数,进行约分求值
【对点训练6】[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·＝ .
【答案】
【解析】原式＝·sin80°
＝·cos10°
＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.
7.已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
【对点训练7】设α,β为钝角,且sinα＝,cosβ＝－,则α＋β的值为(　　)
A. B. C. D.或
【答案】C
【解析】　∵α,β为钝角,sinα＝,cosβ＝－,
∴cosα＝－,sinβ＝,∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝>0.
又α＋β∈(π,2π),∴α＋β∈,∴α＋β＝.
8.平方相加在给式求值中的应用
【对点训练8】若 则
【答案】
【解析】两边平方得,所以.
9.辅助角公式
辅助角公式：asinα＋bcosα＝sin(α＋φ),其中cosφ＝,sinφ＝,或tanφ＝,φ角所在象限与点(a,b)所在象限相同,φ角的终边经过点(a,b)．
【对点训练9】（2021广东高三5月联考）（多选）已知函数,则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在上的值域为
C．若,则,
D．将的图象向右平移个单位长度得的图象
【答案】BD
【解析】由题得,,
令,则,,故A项错误,
当时,,,故B项正确,
因为的周期,所以若,则,,故C项错误,
将的图象向右平移个单位长度得的图象,故D项正确.故选BD.
10. 两角和与差的正切公式
tan(α－β)＝(T(α－β))
tan(α＋β)＝(T(α＋β))
【对点训练10】（2021全国100所名校（高三冲刺卷）设为第二象限角,若,则__________．
【答案】
【解析】因为为第二象限角,,所以,所以.
11.注意公式成立的条件（每个式子都要有意义）
【对点训练11】是成立的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由tan(α＋β)＝可知当时成立,取成立,但 无意义,故选A.
12.注意两角和与差的正切公式变形的应用
,

【对点训练12】tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝ .
【答案】
【解析】tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)
＝－tan20°tan40°,
∴原式＝－tan20°tan40°＋tan20°tan40°＝.
13.注意公式与根与系数关系的结合
【对点训练13】若是方程的两个根,则
【答案】
【解析】因为是方程的两个根,所以,,所以,所以.
14. 在三角函数的化简、求值过程中,通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用,当式子中出现 这些特殊角的三角函数值时,往往是“由值变角”的一种提示,可以根据问题
的需要,将常用三角函数式表示出来,以构成适合公式的形式,从而达到化简的目的.
【对点训练14】（2021广东省佛山市五校联盟高三5月模拟）（ ）
A．2 B．－2 C．1 D．－1
【答案】D
【解析】

故选 D
15. 二倍角公式
sin2α＝2sinαcosα；
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan2α＝.
【对点训练15】（2021黑龙江省哈尔滨高三第四次模拟）已知,,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ,且,所以,所以.
故选C.
16.形如的求式子值
【对点训练16】
【答案】
【解析】 =.
17. 降幂公式与升幂公式
(1)降幂公式：cos2α＝,sin2α＝.
(2)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α,1－cos2α＝2sin2α.
【对点训练17】已知函数f(x)＝sin2x－sin2,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)由已知,有f(x)＝－＝＝sin,
f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f＝－,f＝－,f＝,所以f(x)在区间上的最大值为,最小值为－.
18. 半角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin＝±.
(2)cos＝±.
(3)tan＝±＝＝.
【对点训练18】已知,
【答案】
【解析】因为,,所以 =.
19. 三角恒等变换的三个步骤

【对点训练19】已知cosα＝,cos(α＋β)＝－,且α,β∈,则cos(α－β)的值等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
【答案】D
【解析】因为α∈,2α∈(0,π),cosα＝,所以cos2α＝2cos2α－1＝－,sin2α＝＝.而α,β∈,所以α＋β∈(0,π),所以sin(α＋β)＝＝.所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝×＋×＝.故选D.
20.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角,二看名,三看式子结构与特征．三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．
【对点训练20】 化简：－sin10°.
解：原式＝－sin10°
＝－sin10°·
＝－sin10°·＝－2cos10°＝
＝＝＝＝.
21.含有偶次方根的三角函数式化简,脱去根式时要先加绝对值,再去绝对值
【对点训练21】化简： (0