清单06 函数的性质（原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

清单06 函数的性质

知识与方法清单

1.一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

【对点训练1】（2021四川省成都市高三5月高考热身考试）下面四个函数中既为奇函数,又在定义域上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

2.对∀x1,x2∈D(x1≠x2),⇔f(x)在D上是增函数,⇔f(x)在D是减函数．

【对点训练2】（2021河南省焦作市高三四模）已知函数满足,且对任意的,都有,则满足不等式的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．用定义证明函数的单调性

用定义证明函数在某个区间上的单调性的步骤是,在给定区间上,任取,通过作差或作商比较的大小,来证明函数的单调性.

【对点训练3】证明在上是增函数.

4. 单调区间是定义域的子集,故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,如有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接.

【对点训练4】已知函数f(x)＝,则该函数的单调递增区间为(　　)

A．(－∞,1]     B．[3,＋∞)      C．(－∞,－1]    D．[1,＋∞)

5．复合函数的单调性

若两个简单函数的单调性相同,则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反,则它们的复合函数为减函数． 函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．

【对点训练5】的递减区间是________.

6.分段函数的单调性

分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值．

7.抽象函数的单调性的判定.

判断抽象函数的单调性,一般根据定义来判断,即在所给区间上,然后利用题中条件确定的大小.

【对点训练7】已知函数f(x)对任意的m、n∈R,都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1,并且x>0时,恒有f(x)>1.求证：f(x)在R上是增函数；

8.由单调性确定参数范围

利用单调性求参数,一般视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；

【对点训练8】已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增,则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,1]   B．[1,2]

C．[1,＋∞)   D．[2,＋∞)

9.利用函数单调性比较函数值的大小

比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决．

【对点训练9】（2021天津市北辰区高三下学期模拟）已知是定义在上的偶函数且在区间上单调递增,则（    ）

A． B．

C． D．

10.在求解与函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．一般步骤：

第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；

第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；

第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”,转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；

【对点训练10】（2021湖南省长沙市高三下学期热身训练）设函数,则满足的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11. 一般地,设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M；②存在x0∈I,使得f(x0)＝M,那么,我们称M是函数y＝f(x)的最大值．

一般地,设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存在实数m满足：①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M；②存在x0∈I,使得f(x0)＝M；那么我们称m是函数y＝f(x)的最小值．

【对点训练11】（2021浙江省绍兴市嵊州市高三下学期5月适应性考试）设表示函数在闭区间上的最大值．若正实数满足,则______,正实数的取值范围是_________．

12.求函数最值的一些方法与上一专题所介绍的求函数值域的方法相同,不在一一讲解.下面给出求函数最值的五种常用方法及其思路：

(1)单调性法：先确定函数的单调性,再由单调性求最值．

(2)图象法：先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值．

(3)基本不等式法：先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．

(4)导数法：先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值．

(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值．

13.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(－x)＝f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数；一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(－x)＝－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.

【对点训练13】（2021重庆市巴蜀中学高三适应性月考）函数是偶函数,则实数__________．

14.判断一个函数的奇偶性一般有以下4种类型：①是奇函数,不是偶函数；②是偶函数,不是奇函数；③既是奇函数,也是偶函数；④不是奇函数,也不是偶函数.若一个函数的定义域不关于原点对称,则该函数不是奇函数,也不是偶函数.既是奇函数,也是偶函数.

【对点训练14】下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是（）.

A．          B．

C．        D．

15.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.

【对点训练15】的图象关于直线      对称.

16.分段函数奇偶性的判断.

分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简,判断f(x)与f(－x)的关系,得出结论,也可以利用图象作判断．

【对点训练16】判断函数f(x)＝的奇偶性．

17.抽象函数奇偶性的判断.

抽象函数奇偶性一般通过赋值进行判断.

【对点训练17】已知函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0},且满足对任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

判断f(x)的奇偶性并证明你的结论.

18.若函数在处有意义,则.

【对点训练18】已知定义在R上的奇函数,满足当时,,求在R上的解析式.

19.若是偶函数,则.巧妙利用这一结论解题可避免因讨论带来的繁琐运算.

【对点训练19】已知是偶函数,且在上是减函数,则满足的实数a的取值范围是________．

20.若是奇函数,=,则(1)；(2)若有最值,则.

【对点训练20】已知的最大值、最小值分别为,则________．

21.函数单调性与奇偶性结合问题．注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性．奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

【对点训练21】（2021湖北省黄冈中学高三5月适应性考试）已知函数满足：,,且.若角满足不等式,则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

22.周期函数

对于函数y＝f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x＋T)＝f(x),那么就称函数y＝f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．注意有些周期函数没有,如函数,所以非零有理数都是它的周期,该函数没有最小正周期.

【对点训练22】（2021云南师范大学附属中学高三适应性月考）若是上周期为5的奇函数,且满足,,则等于（    ）

A．-2 B．2 C．-1 D．1

23. 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判断,利用函数周期性求值．

【对点训练23】已知定义在上的偶函数,对,有成立,当时,,则（    ）

A． B． C． D．

24．函数周期性基本结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－,则T＝2a(a>0)．

【对点训练24】（2021陕西省高三下学期教学质量检测）已知定义在上的奇函数满足．当时,,则（    ）

A．3 B． C． D．5

25.函数对称性与函数周期性的关系

(1)若函数的图象既关于直线对称,又关于直线对称,则是周期函数,且是它的一个周期.

(2)若函数的图象既关于点对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.

(3)若函数的图象既关于直线对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.

【对点训练25】已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)＝f(x－1),则f(2 017)＋f(2 019)的值为(　　)

A．－1  B．1  C．0  D．无法计算

26.周期性、奇偶性与单调性及图象的结合．

解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,将涉及到的自变量转化到已知解析式的函数定义域内,然后利用奇偶性和单调性求解．

【对点训练26】（2021江苏省姜堰中学、如东中学、沭阳如东中学2高三5月联考）已知函数是定义在R上的周期为2的偶函数,当,则函数的图象与函数的图象交点个数为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

27.对一个易错问题的分析.

【对点训练27】已知是定义在上的奇函数,且,则在上的零点个数至少为______.

跟踪检测

一、单选题

1．（2021四川省天府名校高三5月诊断性考试）已知函数,则（    ）

A．是单调递增函数 B．是奇函数

C．函数的最大值为 D．

2.（2021. 吉林省吉林市高三三模）若是定义在上的奇函数,且,则的值为（    ）

A．1 B．2 C．0 D．

3.（2021百校联盟高三4月联考）函数是定义在上的偶函数,当时,,若,则（    ）

A． B． C． D．

4.（2021.重庆市高三模拟调研卷四）已知函数,若,其中为自然对数的底数,则的最小值为（    ）

A．6 B．8 C．9 D．12

5.（2021湖南省岳阳市高三下学期高考适应性考试）设函数在内有定义,下列函数必为奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

6.（2021云南省昆明市高三考前适应性训练）已知点(m,n)在函数的图象上,则下列四点中也在函数f(x)的图象上的是（    ）

A．(-m,1+n) B．(-m,1-n) C．(-m,-n) D．(-m,n)

7.（2021“超级全能生”高三5月联考）已知函数对任意都有且成立,若,则的值为（    ）

A． B． C． D．

8.（2021.山西省怀仁市高三上学期期中）已知定义在上的奇函数满足,当时,,则下列结论正确的是（    ）

A．是函数的周期

B．函数在上的最大值为2

C．函数在上单调递减

D．方程在上的所有实根之和为

9．（2021东北两校（大庆实验中学、吉林一中）高三模拟）已知是定义在上的偶函数,其图象关于点对称．以下关于的结论：

①是周期函数；

②满足；

③在（0,2）上单调递减；

④是满足条件的一个函数．

其中所有正确的结论是（    ）

A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①④

10.（2021湖南师范大学附属中学高三下学期三模）已知函数,.若与的图象在区间上的交点分别为,则的值为（    ）

A． B． C． D．

11.（2021安徽省宿州市高三下学期第三次模拟）已知函数,则（    ）

A． B．

C． D．

12．（2021北京市中国人民大学附属中学高三考前热身练）黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的,在高等数学中有着广泛的应用,在上的定义为：当（,且,为互质的正整数）时,；当或或为内的无理数时,.已知,,,则（    ）注：,为互质的正整数,即为已约分的最简真分数.

A．的值域为 B．

C． D．以上选项都不对

二、多选题

13．（2021重庆市高三调研）设表示不超过实数的最大整数,函数,则（    ）

A．的最大值为

B．是以为周期的周期函数

C．在区间上单调递增

D．对,

14.（2021湖南省岳阳市高三下学期考试）已知函数,设为实数,且．下列结论正确的是（    ）

A．函数的图象关于点对称

B．不等式的解集为

C．若,则

D．若,则

15．（2021重庆市蜀都中学高三4月月考）已知函数满足,有,且,当时,,则下列说法正确的是（    ）

A．

B．时,单调递增

C．关于点对称

D．时,方程的所有根的和为

16.（2021湖南省长沙市雅礼中学高三下学期二模）关于函数,下列描述正确的有（    ）

A．函数在区间上单调递增

B．函数的图象关于直线对称

C．若,但,则

D．函数有且仅有两个零点

17．（2021山东省泰安肥城市高三三模）已知定义在上的函数满足,函数为偶函数,且当时,,则下列结论正确的是（    ）

A．函数是周期为4的周期函数 B．

C．当时, D．不等式的解集为

三、填空题

18．（2021北京市高三高考模拟）已知函数,若,使得成立,请写出一个符合条件的函数的表达式__________.

19．（2021河北省高三下学期仿真模拟）已知函数是定义在上的偶函数,若对于,都有,且当时,,则的值为___________.

20．（2021山东省潍坊市高三三模）设函数则不等式的解集为________．

21．（2021陕西省宝鸡市高三下学期第二次适应性训练）已知函数,则的值域是___________.设函数,若对于任意实数,总存在,使得成立,则实数的取值范围是___________

四、解答题

22．（2021上海市黄浦区高三三模）已知函数为实常数.

（1）讨论函数的奇偶性,并说明理由；

（2）当为奇函数时,对任意,不等式恒成立,求实数的最大值.

23．（2021江西省南昌市高三三模）已知定义在实数集R上的偶函数的最小值为3,且当时,,其中e是自然对数的底数．

（1）求函数的解析式；

（2）求最大的整数,使得存在,只要,就有．

24．（2021上海市普陀区高三下学期调研）若函数f(x)对任意的x∈R,均有f(x﹣1)+f(x+1)≥2f(x),则称函数f(x)具有性质P.

（1）判断下面两个函数是否具有性质P,并说明理由；

①y=3x；②y=x3；

（2）若函数g(x)=,试判断g(x)是否具有性质P,并说明理由；

（3）若函数f(x)具有性质P,且f(0)=f(n)=0(n>2,n∈N*)求证：对任意1≤k≤n﹣1,k∈N*,均有f(k)≤0.