2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  比较实数，，，的大小，其中最小的实数为(    )A.  B.  C.  D. 2.  人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示数的结果是(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列运算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  下列生活垃圾分类标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  将不等式与的解集表示在同一数轴上正确的是(    )A.  B.
C.  D. 6.  某篮球代表队名队员的年情况如下表： 年龄岁人数则这些队员年龄的众数和中位数分别是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，7.  已知一次函数的函数值随值的增大而增大，则一次函数的图象大致是(    )A.  B.
C.  D. 8.  如图，在中，，，根据尺规作图保留的痕迹，下列结论错误的是(    )A. 是的平分线
B.
C.
D. 9.  如图，为的弦，点在弦上，，，点到的距离为，则长为(    )A.
B.
C.
D. 10.  二次函数的图象如图所示，下列结论中：；；；；其中正确的个数是(    )A. 个
B. 个
C. 个
D. 个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.  分解因式：          ．12.  若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．13.  如图，直线，的顶点，分别在直线，上，且，若，则等于        度
 14.  一个不透明的箱子中有个红球和若干个黄球，若任意摸出一个球，摸出红球的概率是，则黄球个数是        个15.  如图，在矩形中，在边上，将沿折叠，点恰好落在矩形的对称中心处，若，则的长为        ．
 16.  如图，在中，，，，将绕直角顶点逆时针旋转，当点的对应点首次落在边上时即停止转动，则点经过的路径长为        ．
 三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：．18.  本小题分
解不等式组：．19.  本小题分
长沙电视塔位于岳麓山峰顶如图，此峰顶距地面高度电视塔集广播电视信号发射和旅游观光功能于一身如右图所示，小明同学在地面点处测得峰顶处的仰角为，由点往前走至点处，测得电视塔顶处仰角为，请求出电视塔的高度假设图中、、三点在一条直线上，参考数据：，，
20.  本小题分
年月日“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲并直播，神舟十四号三位航天员相互配合，生动演示了微重力环境下的四个实验：毛细效应实验；水球变“懒”实验；太空趣味饮水；会调头的扳手某校九年级数学兴趣小组成员为研究“九年级学生对这四个实验中最感兴趣的是哪一个？”随机调查了本年级的部分学生，并绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息回答下列问题：

本次被调查的学生有        人；扇形统计图中所对应的圆心角的度数为        ；
请补全条形统计图；
该校九年级共有名学生，请估计该校九年级学生中对水球变“懒”实验最感兴趣的学生大约有多少人？
李老师计划从小明、小刚、小兰、小婷四位学生中随机抽取两人参加学校的微重力模拟实验，请用树状图法或列表法求出恰好抽中小刚、小兰两人的概率．21.  本小题分
如图，在▱中，是的中点，点在上，的延长线与的延长线交于点，连接，．
求证：四边形是平行四边形；
若，，，
试求的长度；
四边形的面积．
22.  本小题分
年月日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低，同样花费元，购进“天官”模型的数量比“神舟”模型多个．
“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
该航模店计划购买两种模型其个，且每个“神舟”模型的售价为元，“天官”模型的售价为元设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元．
求与的函数关系式不要求写出的取值范围；
若购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？23.  本小题分
如图，已知为的直径，是弦，，垂足为点，，垂足为点，．
求证：；
若，，求阴影部分的面积．
24.  本小题分
如图，抛物线的顶点为，与轴交于点过点作线段垂直轴交于点，过点作线段垂直抛物线的对称轴交于点，我们称矩形为抛物线的“伴随矩形”．
请根据定义求出抛物线的“伴随矩形”的面积；
已知抛物线的“伴随矩形”为矩形，若矩形的四边与直线共有两个交点，且与双曲线无交点，请直接写出的取值范围；
若对于开口向上的抛物线，当时，方程的两个根为，，且满足下列条件：该抛物线的“伴随矩形”为正方形；其中表示矩形的面积；的最小值为请求出满足条件的值．
25.  本小题分
如图，在中，为直径，点在圆上，，，是上一动点与点、不重合，平分交边于点，，垂足为点．

当点与圆心重合时，如图所示，则        ；
若，试探究与有何面积关系，并证明；
当与相似时，求的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
．
故选：．
先计算的立方根，再比较各数的大小．
本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小的比较方法是解决本题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 3.【答案】 【解析】解：、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，符合题意．
故选：．
分别根据幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂的乘法与除法法则对各选项进行分析即可．
本题考查的是同底数幂的除法与乘法，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】
解：、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选B．  5.【答案】 【解析】解：由，得：，
由，得：，
表示在数轴上如下：

故选：．
分别求出每一个不等式的解集可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：这组数据中出现次，次数最多，
所以这组数据的众数是；
把这些数据从小到大排列，中位数是第、第个数的平均数，
所以这组数据中位数为；
故选：．
先把原数据按由小到大排列，然后根据众数、中位数的定义求解．
本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 7.【答案】 【解析】解：一次函数的函数值随的增大而增大，
，
，
函数的图象经过第一、二、四象限，
故选：．
根据一次函数的函数值随的增大而增大，可以得到，然后即可得到函数的图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 8.【答案】 【解析】解：由尺规作图痕迹可知，为的平分线，
故A选项正确，不符合题意；
，，
，
为的平分线，
，
，
，
故B选项正确，不符合题意；
在中，，
，
故C选项错误，符合题意；
，，
，
，
故D选项正确，不符合题意．
故选：．
由尺规作图痕迹可知，为的平分线，则可得，进而可得，在中，，可得，则，，即可得出答案．
本题考查作图基本作图、等腰三角形、直角三角形，熟练掌握角平分线的作图步骤是解答本题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：过点作，垂足为点，
因为，，点到的距离为，

所以，，，
所以，
所以．
故选：．
过点作，垂足为点，根据，，点到的距离为，得到，，，从而得到，根据勾股定理，得计算即可．
本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：抛物线与轴有交点，
，
，
，故错误；
抛物线开口向下，

抛物线交轴于正半轴，
，
，
，
，故正确；
，，
，，
，故错误，
时，，
，
时，，
，
，
，故正确，
故选：．
利用二次函数的性质，结合图象即可一一判断．
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 11.【答案】 【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先提取公因式，然后再利用平方差公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键．
 12.【答案】且 【解析】解：由题意得：且，
解得：且，
故答案为：且．
根据二次根式有意义的条件可得且，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
 13.【答案】 【解析】解：，，
．
，
，
．
故答案为：．
先根据平行线的性质求出的度数，再由得出的度数，根据补角的定义即可得出结论．
本题考查的是三角形的内角和，平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
 14.【答案】 【解析】解：设这个箱子中黄球的个数为个，
根据题意得，，
解得，
经检验，是方程的解．
故答案为：．
设这个箱子中黄球的个数为个，再根据概率公式求出的值即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 15.【答案】 【解析】解：连接，
是矩形中心，
，，共线，
沿翻折到，
，
四边形是矩形，是它的中心，
，，
，
，
．
故答案为：．
连接，由是矩形中心，得到，，共线，由翻折变换得到，由矩形的性质得到，由勾股定理求出的长即可．
本题考查矩形的性质，中心对称，翻折变换，关键是掌握矩形的性质．
 16.【答案】 【解析】解：，，
，，
，
是等边三角形，
，
，
弧长，
故答案为：．
首先根据解直角三角形计算出长，再根据等边三角形的判定和性质计算出，进而可得，然后再根据弧长公式可得答案．
此题主要考查了等边三角形的判定和性质，以及弧长计算，关键是掌握弧长计算公式．
 17.【答案】解：

． 【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 18.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为． 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 19.【答案】解：在中，，，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
答：电视塔的高度为． 【解析】在中，根据三角函数的定义得到，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的定义和锐角三角函数定义是解题的关键．
 20.【答案】   【解析】解：本次被调查的学生有人．
扇形统计图中所对应的圆心角的度数为．
故答案为：；．
人．
补全条形统计图如图所示．

人．
该校九年级学生中对水球变“懒”实验最感兴趣的学生大约有人．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽中小刚、小兰两人的结果有种，
恰好抽中小刚、小兰两人的概率为．
用对实验最感兴趣的人数除以其所占的百分比可得本次被调查的学生人数；用乘以被调查的学生中对实验最感兴趣的人数所占的百分比，即可得扇形统计图中所对应的圆心角的度数．
用被调查的学生总人数分别减去对，，实验最感兴趣的人数，可得对实验最感兴趣的人数，补全条形统计图即可．
根据用样本估计总体，用乘以被调查的学生中对水球变“懒”实验最感兴趣的人数所占的百分比，即可得出答案．
画树状图得出所有等可能的结果数和恰好抽中小刚、小兰两人的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
 21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，
，
由可知，四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
，
；
，
，
，，
矩形的面积． 【解析】证≌，得，即可得出结论；
由平行四边形的性质得，再证平行四边形是矩形，然后由矩形的性质即可得出结论；
解直角三角形求出，，可得结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 22.【答案】解：设“神舟”模型成本为每个元，则“天宫”模型成本为每个元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
元，
答：“神舟”模型成本为每个元，“天宫”模型成本为每个元；
设购买“神舟”模型个，则购买“天宫”模型个，
则，
与的函数关系式为；
购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，
，
解得，
，，是正整数，
当时，最大，最大值为，
答：购进“神舟”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元． 【解析】设“神舟”模型成本为每个元，则“天宫”模型成本为每个元，根据同样花费元，购进“天官”模型的数量比“神舟”模型多个．列出方程，解方程即可，注意验根；
设购买“神舟”模型个，则购买“天宫”模型个，根据总利润两种模型利润之和列出函数解析式即可；
根据购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半求出的取值范围，由函数的性质求最值即可．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程．
 23.【答案】证明：为的直径，，
，，
，
，
，，
，
≌，
，
；
为的直径，，
，
设，则，

，
连接，
在中，，
，，
，
≌，
，


． 【解析】根据证明≌即可判断；
根据计算即可．
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，以及扇形的面积的计算，正确求得的度数是解决本题的关键．
 24.【答案】解：，
，
当时，，
，
伴随矩形”的面积；
，
“伴随矩形”为矩形的四个顶点坐标分别为，，，，
直线经过点时，，解得，
直线经过点时，，解得，
时，矩形的四边与直线共有两个交点，
当双曲线经过点时，，
时，矩形的四边与双曲线无交点，
时，满足题意；
，
，
抛物线的“伴随矩形”的顶点分别是，，，，
“伴随矩形”为正方形，
，
，
，
，
抛物线开口向上，
，
，
方程的两个根为，，
，
，
，
，，
，
的最小值为，
当时，，
解得；
当时，，
解得；
当时，，
解得舍或舍；
综上所述：的值为或． 【解析】求出，，即可得矩形的边长分别为和，再求面积即可；
先求出“伴随矩形”为矩形的四个顶点坐标分别为，，，，直线经过点时，直线经过点时，则时，矩形的四边与直线共有两个交点，当双曲线经过点时，，则时，矩形的四边与双曲线无交点，故时，满足题意；
抛物线的“伴随矩形”的顶点分别是，，，，由题意可得，，求出，再由，进一步确定，根据韦达定理得，，则，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得舍或舍；综上所述：的值为或．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质，弄清“伴随矩形”的定义是解题的关键．
 25.【答案】 【解析】解：为的直径，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，平分，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：；
．
证明：，
，
又，
∽，
，
平分，
，
，
，
过点作于，

，
平分，，
，
，
≌，
，
，
，，
．
，
，
与相似，
∽或∽，
当∽时，
则，
，
，
，
，
平分，
，
；
当∽时，
则，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
综上所述，的值为或．
设，，由勾股定理得出，则，可求出，证出，根据可求出答案；
证明∽，由相似三角形的性质得出，证出，过点作于，证明≌，由全等三角形的性质得出，证出，根据三角形面积公式可得出答案；
分两种情况：当∽时，可证得，再根据平分，可得，再由特殊角的三角函数值即可求得答案；当∽时，则，得出，再由平分，可得，推出，利用三角函数定义即可求得答案．
本题是圆的综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形面积，锐角三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．