清单15 函数y＝Asin(ωx＋φ)及三角函数的应用（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单15 函数y＝Asin(ωx＋φ)及三角函数的应用（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共26页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
清单15 函数y＝Asin(ωx＋φ)及三角函数的应用
一、知识与方法清单
1.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0,x∈R)一个周期内的简图,列表如下：
x





ωx＋φ
0

π

2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
【对点训练1】用“五点法”作出函数y＝2sin在一个周期内的图象.
【解析】令X＝2x＋,则y＝2sin＝2sinX.
列表如下：
x
－




X
0

π

2π
y＝sinX
0
1
0
－1
0
y＝2sin
0
2
0
－2
0

描点画出图象,如图所示：

2.已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)的部分图象求A的方法：
(1)利用极值点的纵坐标求A；(2)把某点的坐标代入求A.
【对点训练2】设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0,ω>0,00)的物理意义
简谐运动的图象所对应的函数解析式y＝Asin(ωx＋φ),x∈[0,＋∞),其中A>0,ω>0.在物理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝ ,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f＝给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相．
【对点训练5】若是y=的对称轴,则y=的初相是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】,若是y=的对称轴,则或.
若,则,不合题意.若,则,符合题意.所以,初相为.
6. 三角函数图象的左右平移
把图象上的所有点向左()或向右()平移个单位长度,得到的图象
【对点训练6】（2021西藏昌都市高三上学期期末）若将函数的图像向左平移个单位长度,则平移后图像的对称轴为_____.
【答案】
【解析】将函数的图像向左平移个单位长度,得,
由,得,所以平移后图像的对称轴为
7. 左右平移时,当自变量x的系数不为1时,要确定平移单位,需要将系数先提出．
【对点训练7】为了得函数的图象,只需把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】A
【解析】设的图象沿横轴所在直线平移个单位后得到的图象.
∴函数平移个单位后得到函数,,即,
∴,即,取,.故选A.
8.求解非同名三角函数图象的左右平行要先利用诱导公式与三角变换化为同名函数
【对点训练8】要得到函数的图象只需将函数的图象（ ）
A．先向右平移个单位长度,再向下平移2个单位长度
B．先向左平移个单位长度,再向上平移2个单位长度
C．先向右平移个单位长度,再向下平移2个单位长度
D．先向左平移个单位长度,再向上平移2个单位长度
【答案】B
【解析】由函数,,
所以先向左平移个单位长度,得的图像,再向上平移2个单位长度,得 的图像,故选B
9.三角函数图象的上下平移
把图象上的所有点向上()或向下()平移个单位长度,得到的图象
【对点训练9】将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到g(x)的图象．若g(x1)g(x2)＝9,且x1,x2∈[－2π,2π],则2x1－x2的最大值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得g(x)＝f＋1＝2sin＋1,所以g(x)max＝3,又g(x1)g(x2)＝9,所以g(x1)＝g(x2)＝3,由g(x)＝2sin＋1＝3,得2x＋＝＋2kπ(k∈Z),所以x＝＋kπ,因为x1,x2∈[－2π,2π],所以(2x1－x2)max＝2×－＝.故选C.
10.函数图象平移与方程表示的曲线平移的比较
【对点训练10】把的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得函数的解析式
为 ；把圆的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得圆的方程为
【答案】；.
11．三角函数图象沿x轴方向上的伸缩变换
把图象上的所有点的横坐标变化到原来的倍（纵坐标不变）得到的图象
【对点训练11】（2021四川省天府名校高三5月诊断性考试）已知函数的图象为C,为了得到函数的图象,只要把C上所有点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 B．纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变 D．横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
【答案】D
【解析】由变换为,显然将的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变.故选D.
12.三角函数图象沿y轴方向上的伸缩变换
把图象上的所有点的纵坐标变化到原来的倍（横坐标不变）得到的图象
【对点训练12】把函数y＝sin2x的图象沿x轴向左平移个单位,纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y＝f(x)的图象,对于函数y＝f(x)有以下四个判断：
①该函数的解析式为y＝2sin；
②该函数图象关于点对称；
③该函数在上是增函数；
④若函数y＝f(x)＋a在上的最小值为,则a＝2.
其中正确判断的序号是________．
【答案】②④
【解析】将函数y＝sin2x的图象向左平移得到y＝sin2＝sin的图象,然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y＝2sin的图象,①不正确；y＝f＝2sin＝2sinπ＝0,函数图象关于点对称,②正确；由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ,k∈Z,得－＋kπ≤x≤＋kπ,k∈Z,即函数的单调增区间为[－＋kπ,＋kπ],k∈Z,当k＝0时,增区间为,③不正确；y＝f(x)＋a＝2sin＋a,当0≤x≤时,≤2x＋≤,当2x＋＝,即x＝时,函数取得最小值,有ymin＝2sin＋a＝－＋a＝,得a＝2,④正确．故填②④.
13.三角函数的图象变换,有两种选择：一是先伸缩再平移,二是先平移再伸缩．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径

【对点训练13】（多选题）（2021山东省济南市高三5月份模）分别对函数的图象进行如下变换：
①先向左平移个单位长度,然后将其上各点的横坐标变为原来倍,得到的图象；
②先将其上各点的横坐标变为原来的倍,然后向左平移个单位长度,得到的图象,
以下结论正确的是（ ）
A．
B．为图象的一个对称中心
C．直线为函数图象的一条对称轴
D．的图象向右平移个单位长度可得的图象
【答案】BCD
【解析】①向左平移个单位长度可得；再将横坐标变为原来倍,得到；
②横坐标变为原来倍可得；再向左平移个单位长度,得到；
对于A,两函数解析式不同,A错误；
对于B,当时,且,是的一个对称中心,B正确；
对于C,当时,,是的一条对称轴,C正确；
对于D,的图象向右平移个单位长度得：,D正确；故选BCD.
14.由在给定区间上的极值点或零点个数确定的取值范围,通常先求出满足条件的含有的通式,再根据条件列不等式,最后对k进行赋值.
【对点训练14】将函数的图象先向右平移个单位长度,在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象,若函数在上没有零点,则的取值范围是______．
【答案】
【解析】将函数的图象先向右平移个单位长度,
得到,
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变得到函数的图象．
即,
由,得,得,
得,
若函数在上没有零点,则,即,即,则,
若函数在上有零点,
则,
即,
当时,,得,即
当时,,得,即,
综上若在上有零点,则或,
则若没有零点,则或,
即
15.三角函数模型一：给定呈周期变化规律的三角函数模型,根据所给模型,结合三角函数的性质,解决一些实际问题
【对点训练15】如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知,这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)

A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】由图知－3＋k＝2,k＝5,y＝3sin＋5,ymax＝3＋5＝8.故选C.
16.三角函数模型二：给定呈周期变化的图象,利用待定系数法求出函数,再解决其他问题
【对点训练16】（2021甘肃省兰州市高三5月月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下,筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形,如图所示,圆的半径为4米,盛水筒从点处开始运动,与水平面的所成角为,且2分钟恰好转动1圈,则盛水筒距离水面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的函数关系式是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设距离水面的高度H与时间t的函数关系式为,
周期为120s,,
最高点的纵坐标为,
最低点的纵坐标为,
所以,
当t=0时,H=0,,
所以.故选A.
17.三角函数模型三：搜集一个实际问题的调查数据,根据数据作出散点图,通过拟合函数图象,求出可以近似表示变化规律的函数式,进一步用函数性质来解决相应的实际问题．
【对点训练17】已知某海滨浴场海浪的高度y(m)是时间t(0≤t≤24,单位：h)的函数,记作：y＝f(t),下表是某日各时的浪高数据：
t(h)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(m)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测,y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.
(1)根据以上数据,求函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T,振幅A及函数表达式；
(2)依据规定,当海浪高度高于1.25 m时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内有多少时间可供冲浪者进行运动．
【解析】(1)由题意知T＝12,所以ω＝＝＝.
由t＝0,y＝1.5得A＋b＝1.5；由t＝3,y＝1.0得b＝1.0,
所以A＝0.5,b＝1,即y＝cost＋1,t∈[0,24]．
(2)由题意知,当y>1.25时才可对冲浪者开放,
所以cost＋1>1.25,cost>.
所以2kπ－