清单07 二次函数与幂函数（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单07 二次函数与幂函数（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共24页。试卷主要包含了二次函数解析式的三种形式，二次函数的图象与性质，二次函数在闭区间上的最值，一元二次方程根的讨论等内容，欢迎下载使用。
清单07 二次函数与幂函数
知识与方法清单
1．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ (a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：f(x)＝ (a≠0)．
【解读】根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,方法如下：

【对点训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,则二次函数的解析式为________．
【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7
方法一：(利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0),由题意得解之得
所以所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.
方法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0),因为f(2)＝f(－1),所以抛物线对称轴为x＝＝,所以m＝,又根据题意,函数有最大值为8,所以n＝8,所以f(x)＝a＋8.因为f(2)＝－1,即
a＋8＝－1.解之得a＝－4.所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
方法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2,x2＝－1,即g(x)＝f(x)＋1的两个零点为2,－1,
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0),即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8,即＝8,解之得a＝－4,所以所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x－2×(－4)－1＝－4x2＋4x＋7.
2．二次函数的图象与性质
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线,它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：
(1)对称轴：x＝ ；
(2)顶点坐标：；
(3)开口方向：a＞0时,开口向上 ,a＜0时,开口向下；
(4)值域：a＞0时,y∈ ,a＜0时,y∈ ；
(5)单调性：a＞0时,f(x)在上是减函数,在上是增函数；a＜0时,f(x)在上是增函数,在上是减函数．
【解读】对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c,若是二次函数,就隐含a≠0,当题目未说明是二次函数时,就要分a＝0和a≠0两种情况讨论．②在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中,a的正负决定抛物线开口的方向(a的大小决定开口大小),c确定抛物线在y轴上的截距,b与a确定顶点的横坐标(或对称轴的位置)．
【对点训练2】如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分,图象过点A(－3,0),对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：



①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是 (　　)
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
【答案】B
【解析】因为图象与x轴交于两点,所以b2－4ac＞0,即b2＞4ac,①正确；对称轴为x＝－1,即 －＝－1,2a－b＝0,②错误；结合图象,当x＝－1时,y＞0,即a－b＋c＞0,③错误；由对称轴为x＝－1知,b＝2a,又函数图象开口向下,所以a＜0,所以5a＜2a,即5a＜b,④正确．故选B.
3.根据二次函数单调性求参数范围,常转化为二次函数图象的对称轴与单调区间的位置关系,若二次函数在某区间上单调,则该区间在对称轴的一侧,若二次函数在某区间上不单调,则对称轴在该区间内（非端点）,
【对点训练3】（安徽省六安市高三上学期月考）如果函数在区间上单调递减,那么实数a满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由二次函数的对称轴为且开口向上,若在区间上单调递减,
可得：,解得,故选C.
4．二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点(图象与x轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根,也是一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0(或ax2＋bx＋c≤0)解集的端点．
【对点训练4】不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
∵不等式的解集为,∴,∴,
,图象开口向下,两个零点为．故选C．
5．二次函数在闭区间上的最值
二次函数在闭区间上必有最大值和最小值．它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得,可分别求值再比较大小,最后确定最值．
【对点训练5】（2021江苏省南通市高三上学期月考）若,使得不等式成立,则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为,使得不等式成立,所以,使得不等式成立,令,,因为对称轴为,,所以,
所以,故选C
6.含参二次函数在闭区间上的最值要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
【对点训练6】（2021浙江省台州市高三上学期期中）已知为正实数,函数,且对任意,都有成立.若对每一个正实数,记的最大值为,若函数的值域记为B,则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】函数的图象开口向上,对称轴为
①时,在,上为减函数,,
对任意的,,都有,．,即,
当,即时,,
当,即时,
②时,在,上为减函数,在,上为增函数,
则,,
,且,即,的最大值为
综上可得,当时,当时,
函数的值域为,故选．
7．一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)
设x1,x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根,则x1,x2的分布范围与系数之间的关系如表所示．
根的分布
(m＜n＜p且m,
n,p均为常数)　
图象
满足的条件
x1＜x2＜m

①
m＜x1＜x2

②
x1＜m＜x2

③f(m)