清单 10函数的图象、函数与方程及函数的应用（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单 10函数的图象、函数与方程及函数的应用（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共35页。试卷主要包含了作函数的图象的两种基本方法，函数图象的辨识可从以下方面入手，函数图象主要应用于以下方面，图象对称性的证明，涉及函数图象对称性的几个结论，函数的零点，函数有零点的几个等价关系，函数的零点存在性定理等内容，欢迎下载使用。
1.作函数的图象的两种基本方法
(1)利用描点法作图,其一般步骤为：
①确定函数定义域；
②化简函数解析式；
③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；
④描点并作出函数图象．
(2)图象变换法．
图象变换法,若函数图象可由基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
【对点训练1】作函数y＝eq \f(2x－1,x－1)的图象
【解析】y＝eq \f(2x－1,x－1)＝2＋eq \f(1,x－1),故函数的图象可由y＝eq \f(1,x)的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图所示．
2．图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f (x)eq \(―――――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f (x)．
②y＝f (x)eq \(―――――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f (－x)．
③y＝f (x)eq \(―――――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f (－x)．
④y＝ax(a>0且a≠1)eq \(―――――→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝lgax(a>0且a≠1)．
(3)伸缩变换
(4)翻折变换
①y＝f (x)eq \(――――――――――→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\d5(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f (x)|.
②y＝f (x)eq \(―――――――――――→,\s\up7(保留y轴右边图象，并作其),\s\d5(关于y轴对称的图象))y＝f (|x|)．
【对点训练2】为了得到函数y＝lg eq \f(x＋3,10)的图象,只需把函数y＝lgx的图象上所有的点( )
A．向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
【答案】C
【解析】因为y＝lg eq \f(x＋3,10)＝lg(x＋3)－1.故选C.
3.函数图象的辨识可从以下方面入手
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置；从函数的值域,判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复；
(5)从函数的特殊点,排除不合要求的图象．
【对点训练3】（2021四川省宜宾市高三三模）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据题意,,其定义域为,由,即函数为奇函数,排除D,由,排除A,当时,,排除C,故选B.
4.函数图象主要应用于以下方面：①求函数的解析式；②求函数的定义域；③求函数的值域；④求函数的最值；⑤判断函数的奇偶性；⑥求函数的单调区间；⑦解不等式；⑧证明不等式；⑨探求关于方程根的分布问题；⑩比较大小；求函数周期；求参数范围等．
【对点训练4】（宁夏回族石嘴山市高三二模）已知函数若方程有且仅有两个不等实根,则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】已知,作出函数图像,
通过函数图像可以看出,当,函数无限趋近于1,但不等于1,当,函数无限趋近于0,但不等于0,所以有且仅有两个不等实根,可以得到.故选B.
5.图象对称性的证明
(1)证明函数的对称性,即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上．
(2)证明曲线C1与C2的对称性,即证明C1上任一点关于对称中心(或对称轴)的对称点在C2上,反之亦然．
【对点训练5】已知函数（）为奇函数.
（1）求实数a；
（2）设函数.
①求；
②试证明函数的图象关于点对称.
【解析】（1）因为为奇函数,所以对定义域内任意x,都有,
即,
则对定义域内任意x恒成立,所以,即,
由条件知,得到.
（2）①因为为奇函数,所以.
则,
所以.
②因为,所以函数的定义域为.
设点为图象上任意一点,则,
下证：点关于的对称点也在函数的图象上.
因为
,
所以也在函数的图象上,
即函数的图象关于点对称.
6.涉及函数图象对称性的几个结论
(1)若,则的图象关于直线对称；
(2)的图象与的图象关于直线对称；
(3)若,则的图象关于点对称.
【对点训练6】（2021四川省宜宾市高三三模）已知是定义在上的奇函数,满足,下列说法：
①的图象关于对称；
②的图象关于对称；
③在内至少有5个零点；
④若在上单调递增,则它在上也是单调递增.
其中正确的是（ ）
A．①④B．②③C．②③④D．①③④
【答案】D
【解析】由于是定义在上的奇函数,满足,所以,整理得,,所以
故对于①,函数的图象关于对称,故①正确,②错误.
对于③,函数,,,由于,
令,所以,整理得,,故③正确；
对于④,,所以函数在上单调递增,则它在上单调递增,故④正确；故选D.
7.函数的零点
对于函数y＝f (x)(x∈D),把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)(x∈D)的零点．
【解读】
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴交点的横坐标,函数的零点是一个实数,不是一个点.当函数的自变量取这个实数时,函数值为零.
(2)函数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言的,若方程没有实数根,则函数没有零点,反映在图象上就是函数图象与x轴无交点,如函数y=5,y=x2+1就没有零点.
方程有几个解,则其对应的函数就有几个零点.若函数y=f(x)有零点,则零点一定在其定义域内.
【对点训练7】（2021湖北省黄冈中学高三5月适应性考试）若函数在区间（－1,1）上有两个不同的零点,则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．（2,＋∞）D．（0,2）
【答案】B
【解析】因为为开口向上的抛物线,且对称轴为,在区间（－1,1）上有两个不同的零点,
所以,即,解得,所以实数a的取值范围是.
故选B
8.函数有零点的几个等价关系
方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f (x)有零点．
【对点训练8】（2021陕西省汉中高三下学期模拟）关于函数,下列说法正确的是（ ）
A．函数有2个零点B．函数有4个零点
C．是函数的一个零点D．是函数的一个零点
【答案】A
【解析】令,解得：或,所以函数有2个零点.
故选A
9.函数的零点存在性定理
如果函数y＝f (x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a)·f (b)0且a≠1)
幂函数模型
f (x)＝axn＋b(a,b为常数,a≠0)
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0,＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0,当x>x0时,有lgax