2020年初升高数学衔接课程 第11讲 函数的单调性与最值（教师版含解析）练习题

这是一份2020年初升高数学衔接课程 第11讲 函数的单调性与最值（教师版含解析）练习题，共18页。试卷主要包含了单调区间的定义等内容，欢迎下载使用。
第11讲 函数的单调性与最值一、单调性概念及性质1．单调性的概念(一般地，设函数的定义域为，区间.)名称定义几何意义图形表示 增函数如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.的图象在区间上呈上升趋势 减函数如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减.的图象在区间上呈下降趋势 2.单调区间的定义如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做函数的单调区间． 3.证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：①设元——设是给定区间内的任意两个数，且;②作差——计算化简至最简(方便判断因式正负)；③判号——判断的正负，若符号不确定，则进行分类讨论；④定论——根据符号下结论.     判断函数单调性的方法：（1）定义法；（2）图像法；（3）性质法：①与具有相同的单调性；②与，当时单调性相同；当时，单调性相反；③当，都是增(减)函数时，是增(减)函数；④当恒不为零时，与具有相反的单调性；⑤当时，与具有相同的单调性．  例1.若函数的定义域为且满足，则函数在上为(     )   A．增函数        B．减函数         C．先增后减        D．不能确定【答案】D 例2.函数在上的图像如图所示，请写出函数的单调区间.【答案】单调增区间：；单调减区间： 例3.利用函数单调性的定义，判断并证明下列函数的单调性.（1）                  (2)【答案】(1)单调递增；(2)单调递增.【解析】(1)任取且，则，且，，，即，在上单调递增；(2)任取且，则，且，，，即，在单调递增.  例4.研究函数的性质.【答案】在和上单调递增，在和上单调递减.【解析】的定义域为，先研究在上的单调性，任取且，则，由于，故当时，，即，此时在上单调递增，同理可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，综上所述，在和上单调递增，在和上单调递减. 例5.判断下列函数的单调性，并求其单调区间.(1)            (2)           (3)   【答案】(1)在上单调递减；（2）在上单调递增；（3）在上单调递增，在上单调递减.【解析】(1)，定义域为，所以在上单调递减；(2)，增函数-减函数=增函数，定义域为，所以在上单调递增；(3)由可知在上单调递增，在上单调递减. 二、函数最值 函数最大值的概念：一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足：①，都有；②，使得.那么称是的最大值. 函数最小值的概念：一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足：①，都有；②，使得.那么称是的最小值. 例6.如图为函数的图像，指出它的最大值、最小值.【答案】最大值3，最小值. 例7.求下列函数的值域.(1)               (2)【答案】(1)；(2)【解析】(1)单调递增，所以，所以的值域为；(2)单调递增，所以，，所以的值域为.
例8. (1)    若函数的单调减区间是，求实数的取值范围；(2)    若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(1)函数的对称轴为，开口向上，所以在上单调递减，依题意，解得，所以的取值范围为；(2)依题意，解得，所以的取值范围为. 例9.已知函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．【答案】. 例10.           已知函数．若对任意，恒成立，试求的取值范围．【答案】【解析】在上恒成立，即在上恒成立，又在上单调递减，所以，所以的取值范围为. 例11.           若函数的定义域为，且在上是减函数，则下列不等式成立的是(　　)A.            B. C.             D.【答案】B【解析】，，又在上是减函数，，故选B. 例12.           已知函数是定义在区间上的减函数，解不等式．【答案】【解析】定义域为，且在上是减函数，，解得. 例13.           设函数，其中为常数.（1）对任意，当时，，求实数的取值范围；（2）在(1)的条件下，求在区间上的最小值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)依题意可知在上单调递增，，解得，所以的取值范围是；(2)，对称轴为，由(1)得，当，即时，；当，即时，，综上所述，.  例14.           定义在上的函数满足，且当时，.（1）求的值；（2） 求证：；（3） 求证：在上是增函数；（4） 若，解不等式；（5）比较与的大小.【答案】(1)；(2)(3)见解析；(4)；(5).【解析】(1)令得，解得；(2)，；(3)任取且，则，由(2)得，即，在上是增函数；(4)由得，由得，即，又在上是增函数，，解得；(5)，，且，，.跟踪训练    下列函数在区间上是增函数的是(    ) A.            B.           C.              D. 【答案】A     已知在区间是增函数，则实数的取值范围是(     ) A.            B.             C.             D. 【答案】B【解析】的对称轴为，在区间是增函数，，解得，选B.     函数的图象的对称轴为直线，则  (     ) A.                B.C.                 D. 【答案】B【解析】的对称轴为，，又在上单调递增，，选B.      (1)    若函数在上是减函数，则实数的取值范围是_______.(2)    若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是_______.【答案】(1)；(2).【解析】(1)在上是减函数，在上是增函数，，解得，故答案为：；(2)在上为减函数，，故答案为：.      求函数在区间上的值域是_______.【答案】【解析】在上单调递增，所以，，所以在区间上的值域是.      (1)    函数在区间的最大值为4，则________. (2)    若函数在上递增，在上递减，则   ___  .(3)    已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是______.【答案】(1)1；(2)25；(3).【解析】(1)当时，函数在区间上单调递增，最大值为，解得；当时，数在区间上单调递减，最大值为，解得，舍去，综上所述，；(2)依题意得对称轴，解得，，；(3)易知在上单调递减，在上单调递增，依题意得，所以的取值范围是.     函数的单调递增区间是________，单调递减区间是________．【答案】；【解析】，的单调递增区间为，单调递减区间为.    已知是定义在上的减函数，则应满足 (     ) A.           B.           C.            D. 【答案】B【解析】依题意得，解得，选B.     若函数与在上都是减函数，则的取值范围是(    )   A.       B.        C.         D. 【答案】D【解析】在上单调递减，则；在上是减函数，则，综上，的取值范围是，选D.  已知函数，若，则实数的取值范围是(   )    A.    B.      C.      D. 【答案】C【解析】由函数图象(实线部分)可知在上单调递增，若，若，解得，故选C.   已知函数的值域为，则实数的取值范围是             .【答案】【解析】，易知在上单调递增，在上单调递减，由解得或5，的值域为，，所以的取值范围是.   已知函数.（1）当时，求的最小值；（2）当时，求的最小值；（3）若为正常数，求的最小值.【答案】(1)6；(2)；(3).【解析】(1)当时，，易知在上单调递减，在上单调递增，；(2)当时，，易知在上为增函数，；(3)在上单调递减，在上单调递增，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时；当，即时，在上单调递增，此时，综上所述，.     利用函数单调性的定义，证明函数在区间上是增函数．【证明】任取且，则，即，在区间上是增函数．  已知函数对任意，总有，且当时，，.(1)    求证：是上的减函数；(2)    求是上的最大值和最小值.【答案】(1)见解析；(2)2和.【解析】(1)任取且，则，时，，且，，则，即，所以是上的减函数；(2)由(1)知，且，中令得，令得，即，，.  设，当时，恒成立，求的取值范围．【答案】【解析】，对称轴为，要使时，恒成立，只需，当时，，解得，又，；当时，，解得，又，，综上所述，的取值范围为.  已知函数是定义在上的增函数，且，解不等式.【答案】【解析】由得，，可化为，又是定义在上的增函数，，解得.