专题10 圆-初升高数学衔接必备教材（解析版）

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专题10圆

高中必备知识点1：直线与圆的位置关系

设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？

观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线.

在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图3.3-2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有.

当直线与圆相切时，如图3.3-3，为圆的切线，可得，，且在中，.

如图3.3-4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而.

典型考题

【典型例题】
在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2．﹣2）．

（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P相的位置关系；
（2）E点是y轴上的一点，若直线DE与⊙P相切，求点E的坐标．
【答案】（1）见解析，点D在⊙P上；（2）E（0，﹣3）．
【解析】
（1）如图所示：

△ABC外接圆的圆心为（﹣1，0），点D在⊙P上；
（2）连接PD，
∵直线DE与⊙P相切，
∴PD⊥PE，
利用网格过点D做直线的DF⊥PD，则F（﹣6，0），
设过点D，E的直线解析式为：y＝kx+b，
∵D（﹣2，﹣2），F（﹣6，0），
∴，
解得：，
∴直线DE解析式为：y＝﹣x﹣3，
∴x＝0时，y＝﹣3，
∴E（0，﹣3）．

【变式训练】
在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”．

（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）
①在点E（0，3）、F（3，﹣3）、G（2，﹣5）中，点A的“等距点”是　 　；
②若点B在直线y＝x+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为　 　；
（2）直线l：y＝kx﹣3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D．
①若T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；
②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．
【答案】（1）①E、F；②（﹣3，3）；（2）①k的值为1或2；②≤r≤3．
【解析】
（1）①∵点A（﹣3，1）到x、y轴的距离中最大值为3，
∴与A点是“等距点”的点是E、F．
②点B在直线y＝x+6上，当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有（3，9）、（﹣3，3）、（﹣9，﹣3），
这些点中与A符合“等距点”的是（﹣3，3）．
故答案为①E、F；②（﹣3，3）；
（2）∵T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，
∴t1＝﹣k﹣3，t＝4k﹣3．
∵k＞0，
∴|﹣k﹣3|＝k+3＞3，4k﹣3＞﹣3．
依据“等距点”定义可得：
当﹣3＜4k﹣3＜4时，k+3＝4，解得k＝1；
当4k﹣3≥4时，k+3＝4k﹣3，解得k＝2．
综上所述，k的值为1或2．
②∵k＝1，
∴y＝x﹣3与坐标轴交点C（0，﹣3）、D（3，0），线段CD＝3．
N点在CD上，则N点到x、y轴的距离最大值中最小数为，
若半径为r的⊙O上存在一点M与N是“等距点”，则r最小值为，
r的最大值为CD长度3．
所以r的取值范围为≤r≤3．
故答案为E、F；（﹣3，3）

【能力提升】
如图，在平面直角坐标系中，已知点．
请在图中作出经过点A、B、C三点的，并写出圆心M的坐标；
，试判断直线BD与的位置关系，并说明理由．

【答案】如图所示见解析，圆心M的坐标为 直线BD与相切，理由见解析.
【解析】
如图所示，即为所求．

由图知，圆心M的坐标为；
连接MB，DB，DM，
，
，
是直角三角形，
，
即，
直线BD与相切．


高中必备知识点2：点的轨迹
在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹.
我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.
下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.
从上面对圆的讨论，可以得出：
到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.
我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：
和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.
由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：
到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.

典型考题

【典型例题】
如图，点，将绕点旋转得到.

（1）请在图中画出，并写出点的坐标；
（2）求旋转过程中点的轨迹长.
【答案】（1）图形见解析, ；(2)5π.
【解析】
解：（1）如图所示，即为所求出；；
（2）连接，
∵，
∴旋转过程中点的轨迹长.


【变式训练】
阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P（x1，y1）、
Q（x2，y2），则P、Q这两点间的距离为|PQ|=．如P（1，2），Q（3，4），则|PQ|==2．
对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．
解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B，过点B作直线l平行于x轴．
（1）到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是　 　；
（2）若动点C（x，y）满足到直线l的距离等于线段CA的长度，求动点C轨迹的函数表达式；
问题拓展：（3）若（2）中的动点C的轨迹与直线y=kx+交于E、F两点，分别过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，求证：①EF是△AMN外接圆的切线；②为定值．

【答案】（1）x2+（y﹣）2=1；（2）动点C轨迹的函数表达式y=x2；（3）①证明见解析；②证明见解析.
【解析】
（1）设到点A的距离等于线段AB长度的点D坐标为（x，y），
∴AD2=x2+（y﹣）2，
∵直线y=kx+交y轴于点A，
∴A（0，），
∵点A关于x轴的对称点为点B，
∴B（0，﹣），
∴AB=1，
∵点D到点A的距离等于线段AB长度，
∴x2+（y﹣）2=1，
故答案为：x2+（y﹣）2=1；
（2）∵过点B作直线l平行于x轴，
∴直线l的解析式为y=﹣，
∵C（x，y），A（0，），
∴AC2=x2+（y﹣）2，点C到直线l的距离为：（y+），
∵动点C（x，y）满足到直线l的距离等于线段CA的长度，
∴x2+（y﹣）2=（y+）2，
∴动点C轨迹的函数表达式y=x2；
（3）①如图，
设点E（m，a）点F（n，b），
∵动点C的轨迹与直线y=kx+交于E、F两点，
∴，
∴x2﹣2kx﹣1=0，
∴m+n=2k，mn=﹣1，
∵过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，
∴M（m，﹣），N（n，﹣），
∵A（0，），
∴AM2+AN2=m2+1+n2+1=m2+n2+2=（m+n）2﹣2mn+2=4k2+4，
MN2=（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn=4k2+4，
∴AM2+AN2=MN2，
∴△AMN是直角三角形，MN为斜边，
取MN的中点Q，
∴点Q是△AMN的外接圆的圆心，
∴Q（k，﹣），
∵A（0，），
∴直线AQ的解析式为y=﹣x+，
∵直线EF的解析式为y=kx+，
∴AQ⊥EF，
∴EF是△AMN外接圆的切线；
②∵点E（m，a）点F（n，b）在直线y=kx+上，
∴a=mk+，b=nk+，
∵ME，NF，EF是△AMN的外接圆的切线，
∴AE=ME=a+=mk+1，AF=NF=b+=nk+1，
∴=2，
即：为定值，定值为2．


【能力提升】
在数学上，我们把符合一定条件的动点所形成的图形叫做满足该条件的点的轨迹．例如：动点P的坐标满足（m，m﹣1），所有符合该条件的点组成的图象在平面直角坐标系xOy中就是一次函数y=x﹣1的图象．即点P的轨迹就是直线y=x﹣1．
（1）若m、n满足等式mn﹣m=6，则（m，n﹣1）在平面直角坐标系xOy中的轨迹是　 　；
（2）若点P（x，y）到点A（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，求点P的轨迹；
（3）若抛物线y=上有两动点M、N满足MN=a（a为常数，且a≥4），设线段MN的中点为Q，求点Q到x轴的最短距离．
【答案】（1）；（2）y=x2；（3）点Q到x轴的最短距离为1．
【解析】
（1）设m=x，n﹣1=y，
∵mn﹣m=6，
∴m（n﹣1）=6，
∴xy=6，
∴
∴（m，n﹣1）在平面直角坐标系xOy中的轨迹是
故答案为：；
（2）∴点P（x，y）到点A（0，1），
∴点P（x，y）到点A（0，1）的距离的平方为x2+（y﹣1）2，
∵点P（x，y）到直线y=﹣1的距离的平方为（y+1）2，
∵点P（x，y）到点A（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，
∴x2+（y﹣1）2=（y+1）2，
∴
（3）设直线MN的解析式为y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），
∴线段MN的中点为Q的纵坐标为
∴
∴x2﹣4kx﹣4b=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，
∴
∴

∴

∴点Q到x轴的最短距离为1．
专题验收测试题
1．四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是（　　）
A．1：3：2：4 B．7：5：10：8 C．13：1：5：17 D．1：2：3：4
【答案】C
【解析】
解：A、1+2≠3+4，所以A选项不正确；
B、7+10≠5+8，所以B选项不正确；
C、13+5＝1+17，所以C选项正确；
D、1+3≠2+4，所以D选项不正确．
故选：C．
2．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a），半径为2，直线y＝﹣x与⊙P相交于A、B两点，若弦AB的长为2，则a的值是（　　）

A．﹣2 B．﹣2+ C．﹣2﹣ D．﹣2﹣
【答案】D
【解析】
解：设⊙P与y轴相切于点C，连接PC，则有PC⊥OC．
∵点P的坐标为（2，a），
∴PC＝2．
①若点P在直线y＝x上方，如图1，
连接CP并延长交直线y＝x于点E，则有CE＝OC．
∵CE⊥OC，CE＝OC，
∴∠COE＝∠CEO＝45°．
过点P作PD⊥AB于D，
由垂径定理可得：AD＝BD＝AB＝．
在Rt△ADP中，
PD＝＝1．
在Rt△PDE中，
sin∠PED＝，
解得：PE＝．
∴OC＝CE＝CP+PE＝2+．
∴a＝﹣2﹣．

3．如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径画，再以BC为直径画半圆，若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则图中S2﹣S1的值为（　　）

A．﹣4 B． +4 C．﹣2 D． +2
【答案】A
【解析】
解：由图形可知，扇形ADC的面积+半圆BC的面积+阴影部分①的面积﹣正方形ABCD的面积＝阴影部分②的面积，
∴S2﹣S1＝扇形ADC的面积+半圆BC的面积﹣正方形ABCD的面积

，
故选：A．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（﹣3，0），B（0，3），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　）

A． B．2 C．3 D．
【答案】B
【解析】
解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
又∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴OA＝OB＝3，
∴AB＝ ＝6，
∴OP＝AB＝3，
∴PQ＝ ＝2．
故选：B

5．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（　　）

A．55° B．45° C．35° D．25
【答案】C
【解析】
∵AB是⊙O的切线，∴∠OPB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴OP∥BC，∴∠CBD＝∠POB＝35°，故选：C．
6．如图，⊙O与直线l1相离，圆心O到直线l1的距离OB＝2，OA＝4，将直线l1绕点A逆时针旋转30°后得到的直线l2刚好与⊙O相切于点C，则OC＝( )

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
解：在Rt△ABO中，sin∠OAB＝＝＝，
∴∠OAB＝60°，
∵直线l1绕点A逆时针旋转30°后得到的直线l2刚好与⊙O相切于点C，
∴∠CAB＝30°，OC⊥AC，
∴∠OAC＝60°﹣30°＝30°，
在Rt△OAC中，OC＝OA＝2．
故选：B．
7．在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（2，0），B（0，2），C（﹣2，0）．将△OAB绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△OA′B′（（其中点A旋转到点A′的位置），设直线AA′与直线BB′相交于点P，则线段CP长的最小值是（　　）
A．2 B．2 C．2 D．2
【答案】B
【解析】
∵△OAB是直角三角形，
点P在以AB为直径的圆上运动，
∵A（2，0），B（0，），
∴AB＝4，AB的中点为（1，），
∵C（﹣2，0），
∴CP的最小值为﹣2；
故选：B．
8．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣，）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】
设P（x，y），
∵PA2＝（x+1）2+y2，PB2＝（x﹣1）2+y2，
∴PA2+PB2＝2x2+2y2+2＝2（x2+y2）+2，
∵OP2＝x2+y2，
∴PA2+PB2＝2OP2+2，
当点P处于OC与圆的交点上时，OP取得最值，
∴OP的最小值为CO﹣CP＝3﹣1＝2，
∴PA2+PB2最小值为2×22+2＝10．
故选：C．
9．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA＝4，OB＝3，点C在边OA上，AC＝1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心P，则k的值是（　　）

A． B． C． D．﹣2
【答案】A
【解析】
解：作PM⊥AB于M，PN⊥x轴于N，如图，设⊙P的半径为r，
∵⊙P与边AB，AO都相切，
∴PM＝PN＝r，
∵OA＝4，OB＝3，AC＝1，
∴AB＝5，
∵S△PAB+S△PAC＝S△ABC，
∴•5r+•r•1＝•3•1，解得r＝，
∴BN＝，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
∴NC＝NB＝，
∴ON＝3﹣＝，
∴P点坐标为（，﹣），
把P（，﹣）代入y＝得k＝×（﹣）＝﹣．
故选：A．

10．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标(0，2)，∠AOC＝45°，∠ACO＝30°，则OC的长为(　　)

A．+ B．﹣ C．2+ D．2+
【答案】A
【解析】
连接BC，过点B作BD⊥CO于D，

∵∠AOC＝45°，
∴∠BOD＝45°，
∵点B的坐标(0，2)，
∴OB＝2，
∴BD＝OD＝，
∵A，O，B，C四点共圆，
∴∠CAO+∠CBO＝180°，
∵∠AOC＝45°，∠ACO＝30°，
∴∠CAO＝105°，
∴∠CBO＝75°，
∴∠CBD＝30°，
∴CD＝，
∴CO＝+，
故选：A．
11．和平中学自行车停车棚顶部的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD为____m．

【答案】4．
【解析】
解：∵CD⊥AB，AB＝16，
∴AD＝DB＝8，
在Rt△OAD中，AB＝16m，半径OA＝10m，
∴OD＝＝6，
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4（m）．
故答案为：4．
12．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD的长为9cm，则的长为_____cm．

【答案】
【解析】
解：∵AB=18,BD=9,
∴
13．阅读以下作图过程：
第一步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆（如图）；
第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C（如图）；
第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M．
请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为________．

【答案】作图见解析，
【解析】解：如图，点M即为所求．连接AC、BC．由题意知：AB=4，BC=1．∵AB为圆的直径，∴∠ACB=90°，则AM=AC===，∴点M表示的数为.故答案为： ．

点睛：本题主要考查作图﹣尺规作图，解题的关键是熟练掌握尺规作图和圆周角定理及勾股定理．
14．圆内接正六边形的一条边所对的圆心角的度数为________．
【答案】60°
【解析】根据正多边形的圆心角公式: ,所以正六边形的圆心角是60°,故答案为: 60°.
15．整数m满足，若以m值为直角三角形的斜边长，则该直角三角形外接圆半径为_____．
【答案】1或
【解析】
解：由题意得，m﹣2≥0，5﹣m≥0，m﹣3≠0，m﹣4≠0，
解得，2≤m≤5，m≠3，m≠4，
则整数m＝2或5，
∴该直角三角形外接圆的直径为2或5，
∴该直角三角形外接圆半径为1或，
故答案为：1或．
16．如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，2），直线AB为⊙O的切线，B为切点．则B点的坐标为_______．

【答案】
【解析】
解：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，2），即OC＝2，
∴AC是圆的切线．
∵点A的坐标为（2，2），
∴OA＝＝4，
∵BO＝2，AO＝4，∠ABO＝90°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝4，OC＝2，
∴sin∠OAC＝，
∴∠OAC＝30°，
∴∠AOC＝60°，即∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠AOC＝60°，
∴OD＝1，BD＝，即B点的坐标为（﹣1，）．

17．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且对角线AC为直径，AD＝BC，过点D作DG⊥AC，垂足为E，DG分别与AB，⊙O及CB延长线交于点F、G、M．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）若N为MF中点，求证：NB是⊙O的切线；
（3）若F为GE中点，且DE＝6，求⊙O的半径．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）⊙O的半径是．
【解析】
解：（1）∵AC为⊙O直径，
∴∠ADC＝∠CBA＝90°，
在Rt△ADC与Rt△CBA中，，
∴Rt△ADC≌Rt△CBA，
∴CD＝AB，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠CBA＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）连接OB，
∵∠MBF＝∠ABC＝90°，
∴NB＝MF＝NF，
∴∠1＝∠2，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵OB＝OA，
∴∠5＝∠4，
∵DG⊥AC，
∴∠AEF＝90°，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠5＝90°，
∴OB⊥NB，
∴NB是⊙O的切线；
（3）∵AC为⊙O直径，AC⊥DG，
∴DE＝GE＝6，
∵F为GE中点，
∴EF＝GF＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠FAE+∠DAE＝90°，
∵∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠FAE＝∠ADE，
∵∠AEF＝∠DEA＝90°，
∴△AEF∽△DEA，
∴，
∴AE＝3，
连接OD，设⊙O的半径为r，
∴OA＝OD＝r，OE＝r﹣3，
∵OE2+DE2＝OD2，
∴（r﹣3）2+62＝r2，
∴r＝，
∴⊙O的半径是．

18．如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．
（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，
①若AB是⊙O的直径，则∠APB＝　 　°；
②若⊙O的半径是1，AB＝，求∠APB的度数；
（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．

【答案】（1）①90°；②45°或90°；（2）详见解析.
【解析】
解：（1）①若AB是⊙O的直径，则∠APB＝90．
②如图，连接AB、OA、OB．
在△AOB中，
∵OA＝OB＝1．AB＝，
∴OA2+OB2＝AB2．
∴∠AOB＝90°．
当点P在优弧上时，∠APB＝∠AOB＝45°；
当点P在劣弧上时，∠AP′B＝（360°﹣∠AOB）＝135°
（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．

第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图①
∵∠MAN＝∠APB+∠ANB，
∴∠APB＝∠MAN﹣∠ANB；
第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②．
∵∠MAN＝∠APB+∠ANP＝∠APB+（180°﹣∠ANB），
∴∠APB＝∠MAN+∠ANB﹣180°；
第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③．
∵∠APB+∠ANB+∠MAN＝180°，
∴∠APB＝180°﹣∠MAN﹣∠ANB，
第四种情况：点P在⊙O2内，如图④，
∠APB＝∠MAN+∠ANB．

19．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C，
(1)若∠ADE＝28°，求∠C的度数；
(2)若AC＝6，CE＝3，求⊙O半径的长．

【答案】(1)∠C＝34°；(2)⊙O半径的长是．
【解析】
解：(1)如图，连接OA，
∵∠ADE＝28°，
∴由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADE＝56°，
∵AC切⊙O于A，
∴∠OAC＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝180°﹣56°﹣90°＝34°；

(2)设OA＝OE＝r，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2＝OC2，
即r2+62＝(r+3)2，
解得：r＝，
答：⊙O半径的长是．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作半圆，分别交BC、AC于点D、E，连结DE．
(1)求证：BD＝DE；
(2)若AB＝13，BC＝10，求CE的长．

【答案】(1)证明见解析；(2)CE＝．
【解析】
解：(1)连接AD，DE，
∵AB为半圆的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴=,
∴BD＝DE；
(2)∵AB＝AC＝13，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC＝5，
∵∠CDE＝∠BAC，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴＝，
∴CE＝．

21．对于平面直角坐标系xOy中的任意两点M，N，给出如下定义：点M与点N的“折线距离”为：．

例如：若点M(-1，1)，点N(2，-2)，则点M与点N的“折线距离”为：．根据以上定义，解决下列问题：
（1）已知点P(3，-2)．
①若点A(-2，-1)，则d(P，A)= ；
②若点B(b，2)，且d(P，B)=5，则b= ；
③已知点C（m,n）是直线上的一个动点，且d(P，C)