专题1.1三角形的证明（精讲精练）-2021-2022学年八年级数学下学期期中考试高分直通车【北师大版】

2021-2022学年八年级数学下学期期中考试高分直通车（北师大版）

专题1.1三角形的证明（精讲精练）

【目标导航】

【知识梳理】

1.等腰三角形

（1）等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两腰相等；
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．

2.等腰三角形的判定

判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．

3.等边三角形的性质

（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．

4.等边三角形的判定

（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．

5.直角三角形的判定：

（1）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
（2）直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．

6.直角三角形的性质：

直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．

性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．

7.线段的垂直平分线：

（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．

（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．

②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

8. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直

【典例剖析】

考点1 等腰三角形的性质

【例1】（2021秋•武都区期末）已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的另外两个内角是（　　）

A．65°，65° B．80°，50° 

C．65°，65°或80°，50° D．不确定

【变式1-1】（2021秋•河南期末）如图，AB＝AC，CD＝CE．过点C的直线FG与DE平行，若∠A＝38°，则∠1为（　　）

A．42° B．54.5° C．58° D．62.5°

【变式1-2】（2021秋•建华区期末）下列四个说法：

①等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；

②等腰三角形的两腰上的中线长相等；

③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；

④等腰三角形的一边为5，另一边为10，则它的周长为20或25．

其中正确的个数为（　　）

A．1个 B．2 C．3 D．4

【变式1-3】（2019秋•杭州期中）如图钢架中，∠A＝a，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…来加固钢架．若P1A＝P1P2，且恰好用了4根钢条，则α的取值范围是（　　）

A．15°≤a＜18° B．15°＜a≤18° 

C．18°≤a＜22.5° D．18°＜a≤22.5°

【变式1-4】（2019秋•宜昌期中）等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝50°，则它的特征值k＝（　　）

A．或 B．或 C．或 D．或

考点2等边三角形的性质

【例2】（2021秋•路北区期末）如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°

【变式2-1】（2019秋•余姚市期末）如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点，且∠ADC的度数为（5x﹣20）°，则x的值可能是（　　）

A．10 B．20 C．30 D．40

【变式2-2】（2021秋•北碚区期末）如图，等边△ABC的边长为2，BD是高，延长BC到点E，使CE＝CD，则DE的长为　．

【变式2-3】（2021秋•新化县期末）如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△AnBnAn+1的边长为　　．

考点3直角三角形全等的判定方法

【例3】（2021秋•天心区期末）使两个直角三角形全等的条件是（　　）

A．一个锐角对应相等 

B．两个锐角对应相等 

C．一条边对应相等 

D．斜边及一条直角边对应相等

【变式3-1】（2019秋•诸城市期末）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（　　）

A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF

【变式3-2】（2021秋•永年区期末）如图所示，∠C＝∠D＝90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（　　）

A．AC＝AD B．AB＝AB C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD

【变式3-3】（2019春•雁塔区校级月考）下列说法：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形全等；②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等，其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

考点4 直角三角形的性质

【例4】（2021秋•定西期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，若∠ABD＝20°，则∠ACD的度数为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°

【变式4-1】（2021秋•涿州市期中）下列说法中错误的是（　　）

A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：2：4，则△ABC为直角三角形 

B．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC为直角三角形 

C．在△ABC中，若∠A∠B∠C，则△ABC为直角三角形 

D．在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC为直角三角形

【变式4-2】（2021春•高邮市期末）若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠C的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

【变式4-3】（2021秋•利通区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若∠A＝32°，则∠BCD＝　　°．

【变式4-4】（2019秋•内蒙古期中）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝1，则BB′的长为　　．

考点5 直角三角形的斜边上的中线

【例5】（2021秋•宁阳县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，若AD＝3，CE＝5，则CD等于　    　．

【变式5-1】（2019春•西城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若∠A＝26°，则∠BDC的度数为　    　．

【变式5-2】（2021秋•埇桥区校级月考）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE＝5，BC＝8，则△DEF的周长是　    　．

考点6 线段的垂直平分线

【例6】（2021秋•淅川县期末）如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝4cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（　　）

A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm

【变式6-1】（2021秋•罗湖区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝87°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，E是BC中点，且DE⊥BC，那么∠C的度数为（　　）

A．16° B．28° C．31° D．62°

【变式6-2】（2021秋•利通区期末）如图，△ABC中，AC＝7，BC＝4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，那么△BCE的周长为　　．

【变式6-3】（2021秋•浦东新区期末）如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝　40　°．

【变式6-4】（2021秋•邹城市期末）如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，且分别交AB，AC于点D和E，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EBC等于　　度．

考点7 角平分线的性质

【例7】（2021秋•东城区期末）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　）

A．20 B．30 C．50 D．100

【变式7-1】（2021秋•五常市期末）到三角形的三边距离相等的点是（　　）

A．三角形三条高的交点 

B．三角形三条内角平分线的交点 

C．三角形三条中线的交点 

D．三角形三条边的垂直平分线的交点

【变式7-2】（2021秋•永年区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，E是边AB上一点，若CD＝6，则DE的长可以是（　　）

A．1 B．3 C．5 D．7

【变式7-3】（2021秋•涪城区校级期末）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是10、15、20．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）

A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5

【变式7-4】（2021秋•原州区期末）点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（　　）

A．PQ≤5 B．PQ＜5 C．PQ≥5 D．PQ＞5

考点8 等腰三角形的性质与判定

【例8】（2021秋•吴江区期中）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F．

（1）求证：△EBO为等腰三角形；

（2）若△AEF的周长为15，AB＝8，求AC的长度．

【变式8-1】（2021秋•朝阳县期末）如图所示，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝60°，∠BDC＝95°，求△BDE各内角的度数．

【变式8-2】（2021秋•洮北区期末）如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．

（1）请你写出图中所有的等腰三角形；

（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．

（3）如果BC＝10，求AB+AE的长．

【变式8-3】（2021•沙坪坝区自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．

（1）求证：△ABD是等腰三角形；

（2）求∠BDE的度数．

【变式8-4】（2021秋•路北区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC边上的点，并且MN∥BC．

（1）△AMN是否是等腰三角形？说明理由；

（2）点P是MN上的一点，并且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．

①求证：△BPM是等腰三角形；

②若△ABC的周长为a，BC＝b（a＞2b），求△AMN的周长（用含a，b的式子表示）．

考点9 等边三角形的性质与判定

【例9】（2021秋•乌海期末）如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．

（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；

（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．

【变式9-1】（2021春•太平区期末）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．

（1）求证：AN＝BM；

（2）求证：△CEF为等边三角形．

【变式9-2】（2021秋•呼和浩特期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．

（1）求证：△OCD是等边三角形；

（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

【变式9-3】（2019秋•浦城县期中）如图△ABC是等边三角形

（1）如图①，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE是等边三角形；

（2）如图②，△ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，判断∠BEC的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．

【变式9-4】（2021秋•洮北区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．

（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；

（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；

（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．

考点10 直角三角形的综合问题

【例10】（2019秋•常熟市期末）直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，点E为CB延长线上一点，且BE＝CD，连接DE．

（1）如图1，求证∠C＝2∠E；

（2）如图2，若AB＝6，BE＝5，△ABC的角平分线CG交BD于点F，求△BCF的面积．

【变式10-1】（2019秋•高邮市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度向点C运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求出此时t的值；

（2）若点P使得PB+PC＝AC时，求出此时t的值．