专题3.2期中全真模拟卷02-2021-2022学年八年级数学下学期期中考试高分直通车【北师大版】

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2021-2022学年八年级数学下学期期中考试高分直通车【北师大版】
专题3.2期中全真模拟卷02
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共25题，选择12道、填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知a的值不大于﹣3，用不等式表示a的范围是（　　）
A．a＞﹣3 B．a＜﹣3 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3
【分析】理解：不大于﹣3，即是小于或等于﹣．
【解析】根据题意，得a≤﹣3．
故选：D．
2．下面各图中，能够通过右图平移得到的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平移的定义，结合图形，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解析】A、图形比原图少房顶的炊烟，形状发生改变，故错误；
B、图形的形状和大小没有改变，符合平移的性质，故正确；
C、屋顶里面的窗子与原图不同，形状发生改变，故错误；
D、图形比原图少房顶的炊烟，屋顶里面的窗子与原图不同，形状发生改变，故错误．
故选：B．
3．如图，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到三角形A'OB'，若∠AOB＝21°，则∠AOB′的度数是（　　）

A．21° B．24° C．45° D．66°
【分析】由旋转的性质可得∠AOB＝∠A'OB'＝21°，∠A'OA＝45°，可求∠AOB′的度数．
【解析】∵将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到三角形A'OB'，
∴∠AOB＝∠A'OB'＝21°，∠A'OA＝45°
∴∠AOB'＝∠A'OA﹣∠A'OB'＝24°
故选：B．
4．不等式组x＞-2x＜1的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用不等式组取解集的方法判断即可．
【解析】不等式组x＞-2x＜1的解集在数轴上表示正确的是，
故选：C．
5．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．如果CE＝10，则ED的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EC＝10，根据直角三角形的性质解答即可．
【解析】∵DE是BC的垂直平分线，
∴EB＝EC＝10，
∵∠B＝30°，∠EDB＝90°，
∴DE=12EB＝5，
故选：C．
6．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，
∴BE＝BC，
∴∠ACB＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠A＝∠EBC，
故选：C．
7．小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x分钟，则列出的不等式为（　　）
A．210x+90（15﹣x）≥1800 B．90x+210（15﹣x）≤1800
C．210x+90（15﹣x）≥1.8 D．90x+210（15﹣x）≤1.8
【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【解析】由题意可得
210x+90（15﹣x）≥1800，
故选：A．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（　　）

A．（0，0） B．（1，0） C．（1，﹣1） D．（2.5，0.5）
【分析】先根据旋转的性质得到点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AD的垂直平分线，也在线段BE的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心，而易得线段BE的垂直平分线为直线x＝1，线段AD的垂直平分线为以AD为对角线的正方形的另一条对角线所在的直线．
【解析】∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，
∴点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，
作线段AD和BE的垂直平分线，它们的交点为P（1，﹣1），
∴旋转中心的坐标为（1，﹣1）．
故选：C．
9．函数y＝kx+b（k，b为常数k不为0）的图象如图所示，则关于x 的不等式kx+b＜0的解集是（　　）

A．x＞2 B．x＜0 C．x＜1 D．x＞1
【分析】由图知：①当x＜1时，y＞0；②当x≥1时，y≤0；由此可得解．
【解析】根据图示知：一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点为（1，0），且y随x的增大而减小；
即不等式kx+b＜0的解集为x＞1；
故选：D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′，若∠CC′B′＝33°，则∠B的大小是（　　）

A．33° B．45° C．57° D．78°
【分析】由题意可得AC＝AC'，∠CAC'＝90°，∠AB'C'＝∠B，可得∠ACC'＝45°，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求∠AB'C'＝∠B＝∠ACC'+∠CC'B'＝78°．
【解析】∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′
∴AC＝AC'，∠CAC'＝90°，∠AB'C'＝∠B
∴∠ACC'＝45°
∵∠AB'C'＝∠ACC'+∠CC'B'
∴∠AB'C'＝45°+33°＝78°
∴∠B＝78°
故选：D．
11．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点的个数是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】分类讨论：AB＝AP时，AB＝BP时，AP＝BP时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．
【解析】①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足条件的点P．
②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．
③当AP＝BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．
综上所述：符合条件的点P共有6个．
故选：B．
12．如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（　　）

A．2-12x B．3-14x C．1+12x D．2+14x
【分析】利用等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可．
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，
∵PD⊥BC，DE⊥AC，
∴BD=12PB，CE=12CD，
∵PA＝x，
∴BP＝4﹣x，
∴BD=12PB＝2-12x，
∴CD＝4﹣（2-12x）＝2+12x，
∴CE＝1+14x，
∴AE＝4﹣（1+14x）＝3-14x，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
13．等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为　20　．
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【解析】①当4为腰时，4+4＝8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长＝8+8+4＝20．
故答案是：20．
14．把点A（a，3）向上平移三个单位正好在直线y＝﹣x+1上，则a的值是　﹣5　．
【分析】点A向上平移三个单位后的坐标为（a，6），然后将其代入直线方程y＝﹣x+1即可求得a的值．
【解析】根据题意知，点（a，6）在直线y＝﹣x+1上，
∴6＝﹣a+1，
解得a＝﹣5；
故答案是：﹣5．
15．在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形，其中有　4　个旋转对称图形．
【分析】根据旋转对称图形的定义：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．解答即可．
【解析】在等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形只有等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形是旋转对称图形．
故答案为4；
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点），连接CC′，则∠CC′B′的度数是　15°　．

【分析】先根据三角形内角和计算出∠ACB＝90°﹣60°＝30°，由于△AB′C由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到，根据旋转的性质得到AC′＝AC，∠C′AB′＝∠CAB＝90°，∠AC′B′＝30°，则△ACC′为等腰直角三角形，得到∠AC′C＝45°，然后利用∠CC′B′＝∠AC′C﹣∠AC′B′计算即可．
【解析】∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∵△AB′C由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到，
∴AC′＝AC，∠C′AB′＝∠CAB＝90°，∠AC′B′＝30°，
∴△ACC′为等腰直角三角形，
∴∠AC′C＝45°，
∴∠CC′B′＝∠AC′C﹣∠AC′B′＝45°﹣30°＝15°．
故答案为15°．
17．在一次“人与环境”知识竞赛中，共有25个题，每题四个答案，其中只有一个答案正确，每选对一题得4分，不选或选错倒扣2分，如果一个学生在本次竞赛中得分不低于60分，那么他至少要答对　19　题．
【分析】求至少要答对的题数，首先应求出在竞赛中的得分，然后根据题意在竞赛中的得分不低于60列出不等式，解答即可．
【解析】设他至少应选对x道题，则不选或错选为25﹣x道题．
依题意得4x﹣2（25﹣x）≥60
得x≥1813
又∵x应为正整数且不能超过25
所以：他至少要答对19道题．
18．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①AD和EF互相垂直平分；②AE＝AF；③当∠BAC＝90°时，AD＝EF；④DE是AB的垂直平分线．其中正确的是　②③　（填序号）．

【分析】根据角平分线的性质求出DE＝DF，根据三角形内角和定理求出∠EDA＝∠FDA，根据角平分线的性质求出AE＝AF，再根据矩形的判定得出四边形AEDF是矩形，根据矩形的性质得出AD＝EF，再逐个判断即可．
【解析】∵DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE⊥AB，DF⊥AC，∠AED＝∠AFD＝90°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE＝DF，∠EAD＝∠FAD，
∴∠EDA＝∠FDA（三角形内角和等于180°），
∴AE＝AF，
∴A和D都在EF的垂直平分线上，
即AD垂直平分EF，但不能推出EF垂直平分AD，故①错误；②正确；
∵∠BAC＝90°，∠AED＝∠AFD＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴AD＝EF，故③正确；
根据已知不能推出△ADB是等腰三角形，即DE不一定平分AB，故④错误；
即正确的为②③，
故答案为：②③．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）解不等式：x≤1+2x3+1；
（2）解不等式组-3(x+1)-(x-3)＜84x+3≥3x，并把解集表示在数轴上
【分析】（1）先去分母，再移项、合并同类项，求出不等式的解集；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解析】（1）x≤1+2x3+1，
去分母，得3x≤1+2x+3，
移项，得3x﹣2x≤1+3，
合并同类项得x≤4；

（2）-3(x+1)-(x-3)＜8①4x+3≥3x②，
由①得：x＞﹣2；
由②得x≥﹣3；
∴不等式组的解集为x＞﹣2，
在数轴上表示为：
．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4），请按下列要求画图：
（1）将△ABC先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）画出与△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，并直接写出点A2的坐标．

【分析】（1）将三个顶点分别向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到对应点，再顺次连接即可得；
（2）将△ABC的三个顶点关于原点O成中心对称的对称点，再顺次连接可得．
【解析】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．


（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（5，﹣1）．
21．如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．
（1）判断AP能否平分∠BAC？请说明理由．
（2）由此题你得到的结论是　三角形的三条内角平分线相交于一点　．

【分析】如图，作辅助线；证明PK＝PL即可解决问题．
【解析】（1）AP能平分∠BAC；理由如下：
如图，过点P作PQ⊥BC、PK⊥AB、PL⊥AC；
∵△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，
∴PK＝PQ，PL＝PQ，
∴PK＝PL，
∴AP平分∠BAC；
（2）结论：三角形的三条内角平分线相交于一点．
故答案为：三角形的三条内角平分线相交于一点．

22．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且BD＝DA＝AC．把边AB绕着点A顺时针旋转一定角度得到∠BAE，连接DE，交AB于点F．
（1）若∠B＝α，请用含α的式子表示∠C；
（2）若∠CAD＝∠BAE，求证：DA平分∠CDE．

【分析】（1）由等腰三角形的性质∠BAD＝∠B＝α，由外角的性质可求解；
（2）由“SAS”可证△ABC≌△AED，可得∠C＝∠ADE，可证∠ADE＝∠ADC，可得结论．
【解答】证明：（1）∵AD＝BD，∠B＝α，
∴∠BAD＝∠B＝α，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝2α，
∵AD＝AC，
∴∠C＝∠ADC＝2α；
（2）∵∠CAD＝∠BAE，
∴∠CAB＝∠DAE，
在△ABC和△AED中，
∵AC=AD，∠CAB=∠DAE，AB=AE.
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴∠C＝∠ADE，
∵∠C＝∠ADC，
∴∠ADE＝∠ADC，
∴DA平分∠CDE．
23．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
4台
1200元
第二周
5台
6台
1900元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台，根据金额不多余7500元，列不等式求解；
（3）根据A种型号电风扇的进价和售价、B种型号电风扇的进价和售价以及总利润＝一台的利润×总台数，列出不等式，求出a的值，再根据a为整数，即可得出答案．
【解析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：3x+4y=12005x+6y=1900，
解得：x=200y=150，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元．

（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台．
依题意得：160a+120（50﹣a）≤7500，
解得：a≤3712．
答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元．

（3）根据题意得：
（200﹣160）a+（150﹣120）（50﹣a）＞1850，
解得：a＞35，
∵a≤3712，且a应为整数，
∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：
当a＝36时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；
当a＝37时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台．
24．（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．
①求证：OE＝BE；
②若△ABC 的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC 与∠PAC的数量关系式．

【分析】（1）①由等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论；
②根据三角形的周长公式即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质即可得出答案．
【解析】（1）①∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴OE＝BE；
②△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC＝25﹣9＝16；
（2）解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∴∠FAP＝∠PAC，
∴∠FAC＝2∠PAC，
∵∠FAC+∠BAC＝180°，
∴2∠PAC+∠BAC＝180°．

25．如图，D是边长为4cm的等边△ABC的边AB上的一点，作DQ⊥AB交边BC于点Q，RQ⊥BC交边AC于点R，RP⊥AC交边AB于点E，交QD的延长线于点P．

（1）请说明△PQR是等边三角形的理由；
（2）若BD＝1.3cm，则AE＝　2.4　cm（填空）
（3）如图，当点E恰好与点D重合时，求出BD的长度．

【分析】△PQR是等边△的理由就是可以求出∠DQR和∠PRQ都是60°，灵活运用Rt△中30°所对的边是斜边的一半的知识．
【解析】（1）根据题意，△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°．
又∵DQ⊥AB，
∴∠B+∠BQD＝∠BQD+∠PQR＝90°，
∴∠PQR＝60°．
同理，得
∠PRQ＝60°
∴△PQR是等边三角形；

（2）∠DQB＝30°，BD＝1.3cm，
∴BQ＝2.6cm，
CQ＝4﹣2.6＝1.4CM，
∠QRC＝30°，
∴CR＝2.8cm，
AR＝4﹣2.8＝1.2cm，
∠AER＝30°，
AE＝2AR＝2.4cm；

（3）易证△BDQ≌△RQC≌△ADR，
∴DB＝AR，
∵RQ⊥BC，∠A＝60°，
∴2AR＝AD，
∴3DB＝AB，
∴DB=13×4=43（cm）．