专题19.13 一次函数的运用（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）学案

专题19.13  一次函数的运用（知识讲解）

【学习目标】

1. 能从实际问题的图象中获取所需信息；

2. 能够将实际问题转化为一次函数的问题并准确的列出一次函数的解析式；

3. 能利用一次函数的图象及其性质解决简单的实际问题；

4. 提高解决实际问题的能力．认识数学在现实生活中的意义，发展运用数学知识解决实际问题的能力．

【要点梳理】

 要点一、数学建模的一般思路

    数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.

要点二、正确认识实际问题的应用

在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.

要点诠释：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.

要点三、选择最简方案问题

    分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.

【典型例题】

类型一、分配方案问题 

1、（2020·深圳市福田区梅山中学八年级期中）某通讯公司推出①②两种收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种没有月租费，且两种收费方式的通话时间（分钟）与收费（元）的关系如图所示：

（1）分别求出①②两种方案的收费（元）与通话时间（分钟）之间的函数关系式．

（2）当值为多少时两种方案收费相等．

（3）当值为多少时，第②种方案比第一种方案每个月多元？

【答案】（1）①y1＝0.1x+30；②y2＝0.2x；（2）当通话时间300分钟时，两种方案收费相等．（3）当值为600时，第②种方案比第①种方案每个月多．

【分析】

（1）根据图象经过的点的坐标设出函数的解析式，用待定系数法求函数的解析式即可；

（2）利用两种收费方式费用相同构造方程，求出x的值即可．

（3）利用第②种方案比第①种方案每个月多元，构造方程求出即可

 解：（1）设y1＝k1x+30，y2＝k2x，

由题意得：将（500，80），（500，100）分别代入：

500k1+30＝80，

∴k1＝0.1，

500k2＝100，

∴k2＝0.2，

故所求的解析式为：①y1＝0.1x+30；②y2＝0.2x；

（2）当通讯时间相同时y1＝y2，得0.2x＝0.1x+30，解得x＝300，

当x＝300时，y＝60．

当通话时间300分钟时，两种方案收费相等；

（3）第②种方案比第①种方案每个月多元，

 0.1x+30=0.2x-30，  ∴ x=600，

当值为600时，第②种方案比第①种方案每个月多元

【点拨】本题考查的是用一次函数解决实际问题，掌握待定系数方法求一次函数解析式，熟悉相关性质是解题的关键．

举一反三：

 【变式】 （2021·全国九年级专题练习）某工厂每天生产A，B两种产品共600件供应市场，每种产品每件的成本和售价如表所示，设每天售出A种产品件，每天共获利元．

（1）请求出关于的函数关系式；

（2）如果该工厂每天至少投入成本25005元，且售出的B种产品的件数不少于全天销售总量的55%，那么共有哪几种销售方案？

（3）在（2）的条件下，求出每天至少获利多少元？

【答案】（1）；

（2）该工厂共有4种生产方案：①生产A种产品267件，B种产品333件；②生产A种产品268件，B种产品332件；③生产A种产品269件，B种产品331件；④生产A种产品270件，B种产品330件；（3）每天至少获利10335元

【分析】

（1）每天生产A产品x件，由于每天生产A，B两种产品共600件，故每天生产B产品（600−x）件，根据（售价−成本）乘以件数，把A，B产品的利润相加即得总利润；
（2）先根据题意列式，求出x的取值范围，然后讨论方案即可；

（3）将x代入一次函数解析式，求解即可．

 解：（1）由题意，每天生产A种产品件，则每天生产B种产品件，

，

∴关于的函数关系式是；

（2）根据题意得：，

解得：267≤≤270，

∵为整数，∴可取267，268，269，270                                       

该工厂共有4种生产方案：

①生产A种产品267件，B种产品333件；

②生产A种产品268件，B种产品332件；

③生产A种产品269件，B种产品331件；

④生产A种产品270件，B种产品330件；

（3）∵每天获利（267≤≤270 ），是关于的一次函数，且随的增大而增大.               

∴当=267时，有最小值，=5×267+9000=10335元，

答：每天至少获利10335元．

【点拨】本题综合考查了一次函数的应用，一元一次不等式的实际应用，根据题意列出解析式是解题关键．

类型二、最大利润问题

2、（2021·广东佛山市·八年级期末）如图，反映了某公司产品的收入与销售量的关系，反映了该公司产品的成本与销售量的关系，根据图象解决下列问题：

（1）当销售量为时，收入=______元，成本_______元，盈利为_______元；当销售量=______时，收入=成本；

（2）求出盈利与销售量的函数表达式．

【答案】（1）4000，6000，-2000，4；（2）=（x≥0）

【分析】

（1）根据图象，找出当x=2时，对应两个图象上点的纵坐标即可求出收入和成本，然后根据利润=收入－成本，即可求出盈利，最后找出两个图象的交点的横坐标即可求出销售量；

（2）分别求出两个函数图象的解析式，然后根据利润=收入－成本即可求出结论．

 解：（1）根据图象，当x=2时，对应上的点的纵坐标为4000，即收入=4000元，

当x=2时，对应上的点的纵坐标为6000，即成本=6000元

∴盈利为4000－6000=-2000元，

由图象可知：两个图象的交点坐标为（4，8000）

∴当销售量=4时，收入=成本，

故答案为：4000，6000，-2000，4；

（2）由图象可知：过（0，0）和（4，8000），过（0，4000）和（4，8000）

设的解析式为

将（4，8000）代入，得

解得：

∴的解析式为；

设的解析式为

将（0，4000）和（4，8000）分别代入，得

解得：

∴的解析式为

∴盈利=

即=（x≥0） ．

【点拨】此题考查的是一次函数的应用，掌握利用待定系数法求一次函数解析式和根据图象解决实际问题是解题关键．

举一反三：

【变式】（2021·全国八年级）在近期“抗疫”期间，某药店销售A、B两种型号的口罩，已知销售80只A型和45只B型的利润为21元，销售40只A型和60只B型的利润为18元．

（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；

（2）该药店计划一次购进两种型号的口罩共2000只，其中B型口罩的进货量不少于A型口罩的进货量且不超过它的3倍，设购进A型口罩x只，这2000只口罩的销售总利润为y元．

①求y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

②该药店购进A型、B型口罩各多少只，才能使销售总利润最大？

【答案】（1）每只A型口罩销售利润为0.15元，每只B型口罩销售利润为0.2元；（2）①y＝﹣0.05x+400（500≤x≤1000）；②药店购进A型口罩500只、B型口罩1500只，才能使销售总利润最大．

【分析】

（1）根据题意列二元一次方程组，再运用加减消元法解方程组即可；

（2）①根据（1）中每只A型口罩销售利润为0.15元，每只B型口罩销售利润为0.2元，设购进A型口罩x只，则购进乙（2000﹣x）只，根据利润=单利销售量，列出x与y的一次函数关系式；

②根据一次函数的增减性解题．

【详解】

（1）设每只A型口罩销售利润为a元，每只B型口罩销售利润为b元，根据题意得：

，

①-②得

把代入①中，得到，

，

答：每只A型口罩销售利润为0.15元，每只B型口罩销售利润为0.2元；

（2）①根据题意得，y＝0.15x+0.2（2000﹣x），即y＝﹣0.05x+400；

根据题意得，，解得500≤x≤1000，

∴y＝﹣0.05x+400（500≤x≤1000）；

②∵y＝﹣0.05x+400，k＝﹣0.05＜0；

∴y随x的增大而减小，

∵x为正整数，

∴当x＝500时，y取最大值，则2000﹣x＝1500，

即药店购进A型口罩500只、B型口罩1500只，才能使销售总利润最大．

【点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用、一次函数的实际应用、一次函数的增减性等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

类型三、行程问题

3．（2020·上海松江区·八年级期末）小明同学骑自行车从家里出发依次去甲、乙两个景点游玩，他离家的距离与所用的时间之间的函数图像如图所示：

（1）甲景点与乙景点相距___________千米，乙景点与小明家距离是___________千米；

（2）当时，y与x的函数关系式是___________；

（3）小明在游玩途中，停留所用时间为___________小时，在6小时内共骑行___________千米．

【答案】（1）6，12；（2）y=6x；（3）3，24

【分析】

（1）根据函数图像，直接得到答案即可；

（2）根据待定系数法，即可求解；

（3）根据函数图像，直接得到答案即可．

解：（1）由图像可知：当3≤x≤4时，小明从甲景点到乙景点，所以甲景点与乙景点相距6千米，当5≤x≤6时，小明从乙景点到家，所以乙景点与小明家距离是12千米，

故答案是：6，12；

（2）当时，y是x的正比例函数，设y=kx，

把A（1，6）代入y=kx，得6=k，所以y与x的函数关系式是y=6x，

故答案是：y=6x；

（3）由图像得，当1≤x≤3时，小明在甲景点玩，当4≤x≤5时，小明在乙景点玩，所以小明在游玩途中，停留所用时间为3小时；小明从家到甲景点6千米，小明从甲景点到乙景点6千米，乙景点与小明家距离是12千米，所以在6小时内共骑行24千米，

故答案是：3，24

【点拨】本题主要考查函数图像，理解函数图象上点得坐标的实际意义，是解题的关键．

举一反三：

【变式】（2020·广东深圳市·龙岭初级中学八年级月考）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所示．

（1）根据图象信息，当t＝_________分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为__________米/分钟；

（2）求出线段AB所表示的函数表达式，并写出自变量的范围．

【答案】（1）24，40；（2）y＝40t（40≤t≤60）

【分析】

（1）根据图象信息，当t=24分钟时,两人之间的距离为0，甲乙两人相遇；经过60分钟时，两人再次相距2400米，因为乙先到达目的地，故甲60分钟行驶2400米，根据速度=路程÷时间，可得甲的速度；

（2）由t=24分钟时甲乙两人相遇，可得甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟，减去甲的速度得出乙的速度，再求出乙从图书馆回学校的时间即A点的横坐标，用A点的横坐标乘以甲的速度得出A点的纵坐标，再将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出线段AB所表示的函数表达式．

解：（1）根据图象信息，当t=24分钟时甲乙两人相遇，

甲的速度为2400÷60=40米/分钟．

（2）∵甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，t＝24分钟时甲乙两人相遇，

∴甲、乙两人的速度和为2400÷24＝100米/分钟，

∵甲的速度为40米/分钟

∴乙的速度为100﹣40＝60米/分钟．

∴乙从图书馆回学校的时间为2400÷60＝40分钟，

此时甲乙的距离为100×（40-24）＝1600，

即甲、乙此时相距1600米

∴A点的坐标为（40，1600）．

设线段AB所表示的函数表达式为y＝kt+b，

∵A（40，1600），B（60，2400），

∴ ，解得 ．

∴线段AB所表示的函数表达式为y＝40t（40≤t≤60）．

【点拨】本题考查了一次函数的应用，路程、速度、时间的关系，用待定系数法确定函数的解析式，从图象中获取有关信息是解题的关键．

类型四、其他问题

4.（2021·甘肃酒泉市·八年级期末）如图，l1表示某商场一天的手提电脑销售额与销售量的关系，l2表示该商场一天的销售成本与手提电脑销售量的关系．

（1）当销售量x=2时， 销售额 =                  万元，销售成本 =                    万元，利润（收入－成本）=                       万元．

（2）一天销售              台时，销售额等于销售成本．

（3）当销售量                时，该商场赢利（收入大于成本），当销售量                时，该商场亏损（收入小于成本）．

（4）l1对应的函数表达式是                    ．

（5）写出利润与销售额之间的函数表达式．

【答案】（1）2，3，-1；（2）4；（3）大于4 ，小于4；（4）y=x；（5）．

【分析】

（1）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再把x=2代入求解即可；
（2）利用图象，找两直线的交点，可知一天销售4台时，销售额等于销售成本；
（3）由图象可知，当销售量大于4时，该商场赢利（收入大于成本），当销售量小于4时，该商场亏损（收入小于成本）；
（4）由（1）可以得解；
（5）可设销售x台时的利润为y万元，由图象可知，当x=2时，y=2-3=-1当x=4时，y=4-4=0，所以可列出方程组，解之即可求出答案．

【详解】

解：（1）如图，∵过点（0，0），（4，4），

∴设l1的解析式为y=kx，

∴k=1，

∴直线为：y=x，

∵过点（0，2），（4，4），

∴直线为：y=x+2，

把x=2代入：y=2，

把x=2代入：y=2+2=3，

∴销售额 =2，销售成本 =3，利润=-1

故答案为：2；3；-1
（2）如图可得x=4，

故答案为：4；
（3）如图可得，x4 时，该商场赢利，当x4 时，该商场亏损．

故答案为：大于4，小于4
（4）由（1）可知：y=x
（5）设销售x台时的利润为y万元，则：
当x=2时，y=2-3=-1当x=4时，y=4-4=0
所以，解得 ，

∴

【点拨】本题需仔细分析图象，利用待定系数法求一次函数来解决问题．

举一反三：

【变式】（2020·吉林长春市·长春外国语学校九年级月考）11月19日长春市经历了暴雪冻雨天气，高压线路结冰影响了居民用电，现由甲、乙两个工程队同时对一段高压线路进行除冰工作．一段时间后，甲队被调往别处，乙队又用了2小时完成了剩余的除冰任务．已知乙队每小时除冰线路的长度保持不变，甲队每小时除冰线路30米．甲、乙两队在此线路除冰的总长度y（米）与除冰时间x（时）之间的函数图象如图所示．

（1）甲队调离时，甲乙两队已除冰线路的总长度为_______米．

（2）求此次除冰线路的总长度a是多少米？

（3）求甲队调离后y与x之间的函数表达式．

【答案】（1）150；（2）190；（3）y=20x+90．

【分析】

（1）根据函数图像，结合题意直接写出答案．

（2）先算乙队每小时除冰长度，然后用150米再加乙队2小时完成的长度，计算得出除冰总长度．

（3）根据题意y、x之间存在一次函数关系，根据函数图像A、B两点的值，列出二元一次方程组，计算得出k、b的值，写出解析式．

解：（1）从函数图像看，3小时后图像发生变化，也就是甲队调往别处，A点对应纵坐标数值就是甲乙两队已除冰线路总长度，即150米．

（2）乙队每小时除冰的长度：

(米)，

此次除冰线路的总长度：

(米)．

（3）∵甲队调离后y与x之间存在一次函数关系，将A、B两点的坐标值代入，可列二元一次方程组：

解得：

∴甲队调离后y与x之间的函数表达式为：．

【点拨】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中获取信息并能够分析运用是解题关键．