专题19.9 一次函数与一次方程（组）（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）学案

这是一份专题19.9 一次函数与一次方程（组）（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）学案，共13页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
专题19.9  一次函数与一次方程（组）（知识讲解）【学习目标】1. 能用函数观点看一次方程（组），能用数形结合的思想认识一次函数与一次方程的区别与联系；2. 在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化的思想；3.能用动态观点和方法解决一次函数中的动点问题。【要点梳理】 要点一、一次函数与一元一次方程的关系     一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.
要点二、一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
    要点诠释：
　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.
　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.
　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.要点三、方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 【典型例题】类型一、一次函数与一元一次方程 1、（2020·深圳市罗湖外语学校初中部八年级期中）已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则关于x的方程kx＋b＝0的解为（　　） A．x＝3 B．x＝1.5C．x＝－3 D．x＝－1.5【答案】B【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系，结合图象即可求解． 解：∵关于x的方程kx＋b＝0可以看做求一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标，由图象得直线与x轴的交点为（1.5,0），∴关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝1.5．故选：B【点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，会用函数的观点理解方程是解题的关键．举一反三：【变式1】（2020·山东淄博市·鲁村中学七年级月考）若一次函数（为常数且）的图像经过点（－2，0），则关于的方程的解为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一次函数图象的平移即可得到答案． 解：∵是由的图像向右平移5个单位得到的，∴将一次函数的图像上的点（－2，0）向右平移5个单位得到的点的坐标为（3，0）∴当y=0时，方程的解为x=3，故选：C．【点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值等于0的自变量x的取值，还考查了一次函数图像的平移，熟练掌握一次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”是解决本题的关键．举一反三：【变式2】（2019·福建三明市·八年级月考）如图所示，直线y=kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0），则关于x的方程kx+b=0的解为x=（　　）A．1 B．0 C．-4 D．-5【答案】D【分析】方程kx+b=0的解其实就是当y=0时一次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标．【详解】由图知：直线y=kx+b与x轴交于点(-5，0)，即当x=-5时，y=kx+b=0；因此关于x的方程kx+b=0的解为：x=-5，故选D.【点拨】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程kx+b=0的解其实就是当y=0时一次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标解答． 类型二、一次函数与二元一次方程组2、（2020·黑龙江哈尔滨市·八年级期末）如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（m，3），则关于x的方程kx+b+2x＝0的解为_____．【答案】x＝﹣【分析】首先将点A的坐标代入正比例函数中求得m的值，然后结合图象直接写出方程的解即可．【详解】解：∵函数y＝﹣2x经过点A（m，3），∴﹣2m＝3，解得：m＝﹣，则关于x的方程kx+b+2x＝0可以变形为kx+b＝﹣2x，由图象得：kx+b＝﹣2x的解为x＝﹣，故答案为：x＝﹣．【点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是求得m的值，然后利用数形结合的方法确定方程的解．举一反三：【变式】（2021·山东青岛市·八年级期末）如图，函数和的图象相交于点，点的纵坐标为40，则关于，的方程组的解是______．【答案】【分析】由点P的纵坐标为40，代入求得点P的坐标，再利用两图象的交点坐标满足方程组，方程组的解就是交点坐标，据此求解即可． ∵点P的纵坐标为40，∴，解得：，∴点P的坐标为(，)，∴方程组即的解为，故答案为：．【点拨】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，利用了数形结合思想．3、（2020·四川成都市·成都铁路中学八年级期中）已知一次函数的图象经过点和．（1）求这个一次函数的表达式．（2）若这个一次函数的图象与x轴交于A，与轴交于点B，求的值．【答案】（1）；（2）4．【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）利用一次函数图像上点的坐标特征求出该函数图像与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可求出． 解：（1）由题意得过点和 ， 代入得：，解得，故一次函数表达式为．（2）令，则，故B点坐标为：，令，则，故A点坐标为：，．【点拨】本题考察待定系数法求一次函数的解析式，熟知一次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式实数解题的关键．举一反三：【变式】（2020·滕州市鲍沟镇鲍沟中学八年级月考）如图，直线的解析式为，它与x轴交于点D．直线与x轴交于点A，且经过点，直线、交于点．（1）求点D、点C的坐标；（2）求直线的函数解析式：（3）利用函数图象写出关于x、y的二元一次方程组的解．（4）求这两条直线与x轴所围成的的面积．【答案】（1）D（1，0），（2，2）；（2）直线l2的解析式为y=-x+4；（3）；（4）3．【分析】（1）求函数值为0时一次函数y=2x-2所对应的自变量的值即可得到D点坐标，把C（m，2）代入y=2x-2求出m得到C点坐标；
（2）利用待定系数法求直线l2的解析式；
（3）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解；（4）先求出点A的坐标，再求出AD的长，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解．【详解】解：（1）∵点D为直线l1：y=2x-2与x轴的交点，
∴y=0，0=2x-2，解得x=1，
∴D（1，0）；
∵点C在直线l1：y=2x-2上，
∴2=2m-2，解得m=2，
∴点C的坐标为（2，2）；
（2）∵点C（2，2）、B（3，1）在直线l2上，
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y=-x+4；
（3）由图可知二元一次方程组的解为；（4）∵点A是直线l2与x轴的交点，
∴y=0，
即0=-x+4，
解得x=4，
即点A（4，0），
所以，AD=4-1=3，
S△ADC=×3×2=3．【点拨】一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了一次函数的性质．类型三、一次函数与一次方程（组）的综合训练4、（2020·城固县第三中学八年级月考）已知点、在直线：上，和直线的图象交于点．（1）求直线的函数表达式；（2）若点的横坐标是1，求关于、的方程组的解及的值；（3）在（2）的条件下，若点关于轴的对称点为点，求的面积．【答案】（1）y＝2x+4；（2）方程的解为，a＝10；（3）12【分析】（1）由于点A、C在直线上，可用待定系数法确定直线的表达式；
（2）先求出点B的坐标，求得方程组的解，再代入组中方程求出a；
（3）分别求出△PBC和△PAC的面积，再根据S△BPC=S△PAB+S△PAC即可．解：（1）由于点A、C在直线l上，∴∴k＝2，b＝4∴直线l的表达式为：y＝2x+4（2）由于点B在直线l上，当x＝1时，y＝2+4＝6∴点B的坐标为（1，6）∵点B是直线l与直线y＝﹣4x+a的交点，∴关于x、y的方程组的解为把x＝1，y＝6代入y＝﹣4x+a中，得a＝10．（3）因为点A与点P关于x轴对称，所以点P（0，﹣4）∴AP＝4+4＝8，OC＝2∴S△BPC＝S△PAB+S△PAC＝×8×1+ ×8×2＝4+8＝12．【点拨】考查了待定系数法确定函数解析式、三角形的面积、直线与方程组的关系．解题关键是理解方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．举一反三：【变式】（2020·河北唐山市·八年级月考）如图，直线l1的解析式为y＝x，直线l2经过点（1，1），（2，﹣1），且l1，l2交于点A，l2交x轴于点B．（1）求直线l2的解析表达式；（2）写出B点的坐标为　   　；（3）求出交点A的坐标；（4）直接写出直线l2在x轴上方时，自变量x的取值范围．【答案】（1）y=﹣2x+3；（2）（，0）；（3）；（4）x＜【分析】（1）利用待定系数法即可得到结论；
（2）令y=0，解方程即可得到结论；
（3）解方程组即可得到结论；
（4）根据图象即可得到结论．解：（1）设直线2的解析式为（），由题意得，，解得：，∴直线2的解析式为；（2）当时，，∴（，0），故答案为：（，0）；（3）由题意得：，解得：，∴点A的坐标是：（，）；（4）由图象知x＜时，直线2在x轴上方．【点拨】本题考查了两直线相交的问题，直线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象与二元一次方程组的关系，都是基础知识，一定要熟练掌握并灵活运用．类型四、一次函数与一次方程（组）的动点问题5（2016·江苏八年级期末）如图，已知函数y=﹣x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为2．（1）求点A的坐标；（2）在x轴上有一点动点P （a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=﹣x+b和y=x的图象于点C、D，且OB=2CD，求a的值．【答案】（1）（6，0）．（2）a=3．【解析】（1）先利用直线y=x上的点的坐标特征得到点M的坐标为（2，2），再把M（2，2）代入y=﹣x+b可计算出b=3，得到一次函数的解析式为y=﹣x+3，然后根据x轴上点的坐标特征可确定A点坐标为（6，0）；（2）先确定B点坐标为（0，3），则OB=2CD=3，再表示出C点坐标为（a，﹣a+3），D点坐标为（a，a），所以a﹣（﹣a+3）=，然后解方程即可．解：（1）∵点M在函数y=x的图象上，且横坐标为2，∴点M的纵坐标为2．∵点M（2，2）在一次函数y=﹣x+b的图象上，∴﹣×2+b=2，∴b=3，∴一次函数的表达式为y=﹣x+3，令y=0，得x=6，∴点A的坐标为（6，0）．              （2）由题意得：C（a，﹣a+3），D（a，a），∴CD=a﹣（﹣a+3）．∵OB=2CD，∴a﹣（﹣a+3）=，∴a=3．考点：两条直线相交或平行问题．举一反三：【变式】．（2021·全国九年级专题练习）已知直线：经过点A（5，0），B（1，4）．（1）求直线AB的函数关系式；（2）若直线：与直线AB相交于点C，求点C的坐标；（3）过点P(，0)作轴的垂线，分别交直线点，与点M，N，若>3，当MN=3时，则=_______．【答案】（1）y=-x+5；（2）（3，2）；（3）4.【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）解两个函数解析式组成方程组即可求解；
（3）由题意得M（m，-m+5），N（m，2m-5），用m表示出MN即可求解．解：（1）根据题意得，
解得，
则直线AB的解析式是y=-x+5；
（2）根据题意得，
解得：，
则C的坐标是（3，2）；
（3）由题意得M（m，-m+5），N（m，2m-4），∵ >3，∴点N在点M的上方，∴MN=2m-4-(-m+5)=3m-9∵MN=3,∴3m-9=3∴m=4,故答案是：4.【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组，掌握用待定系数法求解析式及通过方程组求交点坐标是解题关键．