专题17.2 勾股定理（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题17.2 勾股定理（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题17.2  勾股定理（专项练习） 一、单选题1．下列各组数是勾股数的是（　　）A．0.3，0.4，0.5 B．5，7，9C．4，5，6 D．6，8，102．如图 ，点 A 表示的实数是（    ）A． B． C． D．3．如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了、、三点，且、、、四点在同一条直线上，，已测得，，，，则池塘的宽度（    ）A． B． C． D．4．如图，直角三角形的三边上的半圆面积之间的关系是（    ）A． B． C． D．无法判断5．边长为2的正方形的对角线长是（      ）A． B．2 C．2 D．46．如图，一轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船相距（   ）A．13 海里 B．16 海里 C．20 海里 D．26 海里7．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（　　）A． B． C． D．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则斜边AB上的高是（    ）A． B． C．9 D．69．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ）A．52 B．68 C．72 D．7610．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下列结论中错误的是（    ）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB＋BCC．AD＝BD＝BC D．△BCD的面积等于△BED的面积11．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，且，在y轴上确定一点P，使为等腰三角形，则所有符合题意的点P的坐标有（    ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个12．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为（　　）A．8 B．6 C．4 D．313．如图，在平面直角坐标系中，顶点A，B的坐标分别是，，，则顶点C的坐标为（　　　）A． B． C． D．  二、填空题14．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支15cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为____．15．在直角三角形ABC中，斜边，则________．16．一根竹子，原高十尺，一阵风将竹子折断，其竹端恰好抵地，抵地处离竹子底端6尺远，则折断处离地面的高度是___________．17．如图，每个方格都是边长为1的小正方形，则AB＋BC＝_____．18．如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为____________
 19．在直角坐标系中，点到原点的距离是_______．20．若等腰三角形的腰长为5，底边长为6，则其腰上的高为 _________．21．如图，在三角形纸片中，,折叠纸片，使点落在边上的点处，折痕与交于点，则折痕的长为_____________；22．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，巧妙地利用面积关系证明了一个定理，这是我国古代数学的骄傲．这个定理就是_____定理．23．《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：如图所示，中，求的长．在这个问题中，可求得的长为_________．24．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是______cm．25．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于两点，若，，则的长为______________．26．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，在轴和轴上分别有两点、，则，，，四点组成的四边形的最小周长为__． 三、解答题27．如图，在中，．（1）尺规作图：在BC上作点D，使得；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若，，求BC的长．28．我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．（1）如图1，点P在线段BC上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求证：点P是△APD的准外心；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的准外心P在△ABC的直角边上，试求AP的长．29．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，折叠纸片使AC边落在AB边上，点C落在点E处，展开纸片得折痕AD．（1）直接写出AB的长是________；（2）求CD的长．
参考答案1．D【详解】A、∵0.32+0.42＝0.52，但不是整数，∴这组数不是勾股数；B、∵52+72≠92，∴这组数不是勾股数；C、∵52+42≠62，∴这组数不是勾股数；D、∵62+82＝102，∴这组数是勾股数．故选：D．2．C【分析】根据勾股定理、实数和数轴的知识进行解答即可．解：点 A 表示的实数是1-．故答案为C．3．C解：在Rt△ABC中，AC＝＝＝80m所以DE＝AC−AD−EC＝80−20−10＝50m故选：C．4．C【详解】∵，
 同理，
∵由勾股定理得：，
∴，∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理及圆的面积公式，熟知勾股定理是解答此题的关键．5．C解：对角线平方的长是8，
边长为2的正方形的对角线长是2，故选：C．【点睛】本题考查了算术平方根，利用了开方运算．6．D【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了24海里，10海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了12×2=24（海里），5×2=10（海里），根据勾股定理得：（海里）故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．7．C解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4× +（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；D、∵4× +c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；故选C．【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是利用构图法来证明勾股定理.8．A【分析】设点C到斜边AB的距离是h，根据勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积公式即可得出结论．解：设点C到斜边AB的距离是h，因为在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，所以，.故选：A.【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．9．D【详解】由题意可知 ∵ ∴ ∴风车的外围周长是 故选：D．10．D解： AB＝AC，∠A＝36°， AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E， 平分，故正确； 故正确； 故正确；如图，过作于 平分 故错误；故选：11．B【详解】如图所示：点A的坐标为 (4,−3) ，则AB=5（1）若OA=AP，则AP=5，此时点P（0，-6）；（2）若OA=OP，则OP=5，此时点P（0，5），P（0，-5）；（3）若AP=OP，设OP=AP=x，过A做OP的垂线交y轴与D点，由勾股定理得（x-3）+4 = x，解得x= ，则点P（0，-）．故选：B．12．C【分析】解：根据勾股定理得：，且ab＝6，∴小正方形的面积＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝16﹣12＝4，故选：C．13．B解：作CD⊥AB于D，∵点A，B的坐标分别是(0，4)，(0．-2)，∴AB=6，∵CA=CB，CD⊥AB，∴AD=DB=3，∴OD=1，由勾股定理得，CD==4，∴顶点C的坐标为(4，1)，故选：B．14．2cm解：∵CD=5cm，AD=12cm，∠ADC=90°，
∴，
露出杯口外的长度最少为=15-13=2cm．
故答案为：2cm．15．解：∵在直角三角形ABC中，，∴=4，∴4+4=8，故答案为：8．16．尺【详解】设折断处离地面的高度是x，根据题意，折断后的竹子和地面构成直角三角形，由勾股定理得：x2+62=（10-x）2，解得：x=3.2，故答案为：3.2尺．17．【分析】根据勾股定理可以求出AB和BC的长，进而可求出AB+BC的值．解：∵每个方格都是边长为1的小正方形，∴，∴AB＋BC＝．故答案为．18．3解：根据网格可知，BC=5，，，解得BD=3，故答案为：3．19．解：过P作PE⊥x轴，连接OP， ∵， ∴PE=3，OE=2．在中，根据勾股定理得：， ∴，则点P在原点的距离为．故答案为．20．解：如图，过C点做，设，∵在中，，∴，在中，，，∴，即：，解得：，∴，故答案为：．21．4【详解】在Rt△ABC中，，设，则，∵，即，解得：，∴，，∵折叠△ABC纸片使点C落在AB边上的D点处，
∴∠CBE=∠ABE，
在Rt△ABC中，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∴∠CBE=∠ABE=∠ABC=30°，∴∠ABE=∠A=30°，∴BE=AE，在Rt△BCE中，∠C=90°，，，∵，即，解得：．22．【详解】解：这个定理就是勾股定理，故答案为勾股．23．4.55解：设AC=x，∵AC+AB=10，∴AB=10-x．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10-x)2解得：x=4.55，即AC=4.55．故答案为：4.55．24．13【详解】将圆柱沿A所在的高剪开，展平如图所示，则，作A关于的对称点，连接，则此时线段即为蚂蚁走的最短路径，过B作于点，则，在中，由勾股定理得，故答案为：13．25．【详解】∵是的垂直平分线，∴，∴，设，则，在中，，即，解得，∴．故答案为: ．26．．解：作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接交轴于，交轴于，则此时，四边形的周长最小，且四边形的最小周长，点的坐标是，点的坐标是，，，，，四边形的最小周长，故答案为：．27．解：（1）如图，点D即为所求；（2）连接AD，∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=15°，∴∠ADC=∠DAB+∠B=15°+15°=30°，在Rt∆ADC中，DA=2AC=6，∴DB=6，∵，∴，∴BC=DB+DC=6+．28．（1）见解析；（2）AP的长为或2或【分析】（1）利用AAS证明△ABP≌△PCD，得到AP＝PD，由定义可知点P是△APD的准外心；（2）先利用勾股定理计算AC=4，再进行讨论：当P点在AB上，PA＝PB，当P点在AC上，PA＝PC，易得对应AP的值；当 P点在AC上，PB＝PC，设AP＝t，则PC＝PB＝4﹣x，利用勾股定理得到32+t2＝(4﹣t)2，然后解方程得到此时AP的长．（1）证明：∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，∴∠APB+∠PAB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，∴∠PAB＝∠DPC，在△ABP和△PCD中，，∴△ABP≌△PCD（AAS），∴AP＝PD，∴点P是△APD的准外心；（2）解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，∴AC4，当P点在AB上，PA＝PB，则APAB；当P点在AC上，PA＝PC，则APAC＝2，当P点在AC上，PB＝PC，如图2，设AP＝t，则PC＝PB＝4﹣x，在Rt△ABP中，32+t2＝(4﹣t)2，解得t，即此时AP，综上所述，AP的长为或2或．29．（1）10；（2）CD的长是3解：（1）∵直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB10，故答案为：10；（2）由折叠的性质可知，AC＝AE=6，DC＝DE，∠AED=∠C=90°，∵AC＝6，AB＝10，∴AE＝6，BE＝4，设CD＝x，则BD＝8﹣x，DE＝x，在Rt△BDE中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，解得，x＝3，则CD的长是3．