高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练提能练04《立体几何》(教师版)

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1．(2016·高考全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4π B.eq \f(9π,2)
C．6π D.eq \f(32π,3)
解析：设球的半径为R，
∵△ABC的内切圆半径为eq \f(6＋8－10,2)＝2，
∴R≤2.又2R≤3，∴R≤eq \f(3,2)，
∴Vmax＝eq \f(4,3)×π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))3＝eq \f(9π,2).
答案：B
2.(成都模拟)如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A．4π B．16π
C．24π D．25π
解析：由三视图知该几何体是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，三条侧棱长分别为2,2,4，将该三棱锥补成一个长方体，可知该三棱锥的外接球直径就是长方体的体对角线，所以外接球直径2R＝eq \r(22＋22＋42)＝2eq \r(6)，则R＝eq \r(6)，故该球的表面积为4πR2＝24π，故选C.
答案：C
3．(洛阳模拟)已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为( )
A.eq \f(8\r(2),3)π B.eq \f(8\r(3),3)π
C.eq \f(8\r(6),3)π D.eq \f(16\r(2),3)π
解析：将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2eq \r(2).因为球O与正四面体的各棱都相切，所以球O为正方体的内切球，即球O的直径为正方体的棱长2eq \r(2)，则球O的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(8\r(2),3)π，故选A.
答案：A
4．(石家庄模拟)如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为( )
A.eq \f(8,3) B.eq \f(4,3)
C.eq \f(8\r(2),3) D.eq \f(4\r(2),3)
解析：记由三视图还原后的几何体为四棱锥A－BCDE，将其放入棱长为2的正方体中，如图，其中点D，E分别为所在棱的中点，分析知平面ABE⊥平面BCDE，点A到直线BE的距离即四棱锥的高，设为h，在△ABE中，易知AE＝BE＝eq \r(5)，cs∠ABE＝eq \f(\r(5),5)，则sin∠ABE＝eq \f(2\r(5),5)，所以h＝eq \f(4\r(5),5)，故四棱锥的体积V＝eq \f(1,3)×2×eq \r(5)×eq \f(4\r(5),5)＝eq \f(8,3)，故选A.
答案：A
5．(贵阳模拟)某几何体的三视图如图所示，正方形网格的边长为1，该几何体的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为( )
A．15π B．16π
C．17π D．18π
解析：由题中的三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥D1－BCD，将其放在长方体ABCD－A1B1C1D1中，则该几何体的外接球即长方体的外接球，长方体的长、宽、高分别为2,2,3，长方体的体对角线长为eq \r(9＋4＋4)＝eq \r(17)，球O的直径为eq \r(17)，所以球O的表面积S＝17π，故选C.
答案：C
6．(长春模拟)已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则该圆锥体积的最大值为________．
解析：由题意得圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r，高为h，则h＝eq \r(9－r2)，所以圆锥的体积V＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(1,3)πr2eq \r(9－r2)＝eq \f(1,3)πeq \r(9r4－r6).设f(r)＝9r4－r6(r＞0)，则f′(r)＝36r3－6r5，令f′(r)＝36r3－6r5＝6r3(6－r2)＝0，得r＝eq \r(6)，所以当0＜r＜eq \r(6)时，f′(r)＞0，f(r)单调递增，当r＞eq \r(6)时，f′(r)＜0，f(r)单调递减，所以f(r)max＝f(eq \r(6))＝108，所以Vmax＝eq \f(1,3)π×eq \r(108)＝2eq \r(3)π.
答案：2eq \r(3)π
7．(惠州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为________．
解析：将三视图还原为如图所示的三棱锥P－ABC，其中底面ABC是直角三角形，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，BC＝2eq \r(7)，PA2＋y2＝102，(2eq \r(7))2＋PA2＝x2，所以xy＝xeq \r(102－[x2－2\r(7)2])＝xeq \r(128－x2)≤eq \f(x2＋128－x2,2)＝64，当且仅当x2＝128－x2，即x＝8时取等号，因此xy的最大值是64.
答案：64
8.如图，已知四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，AD＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点．
(1)证明：平面PCD⊥平面PDE；
(2)若PD＝eq \r(3)AD，求点E到平面PBC的距离．
解析：(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，
所以PD⊥AB，
连接DB，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，所以△DAB为等边三角形，又E为AB的中点，所以AB⊥DE，又PD∩DE＝D，
所以AB⊥平面PDE，因为CD∥AB，
所以CD⊥平面PDE，
因为CD平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PDE.
(2)因为AD＝2，所以PD＝2eq \r(3)，
在Rt△PDC中，PC＝4，同理PB＝4，
易知S△PBC＝eq \r(15)，S△EBC＝eq \f(\r(3),2)，
设点E到平面PBC的距离为h，连接EC，
由VP－EBC＝VE－PBC得，
eq \f(1,3)S△EBC·PD＝eq \f(1,3)S△PBC·h，
所以h＝eq \f(\r(15),5).
B组 能力提升练
9．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝eq \f(1,2)AB＝2，E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，如图2.在图2所示的几何体D－ABC中，
(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体F－BCE的体积．
解析：(1)证明：∵AC＝eq \r(AD2＋CD2)＝2eq \r(2)，∠BAC＝∠ACD＝45°，AB＝4，
∴在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC×AB×cs 45°＝8，
∴AB2＝AC2＋BC2＝16，
∴AC⊥BC.
∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，
∴BC⊥平面ACD.
(2)∵AD∥平面BEF，AD平面ACD，平面ACD∩平面BEF＝EF，
∴AD∥EF.
∵E为AC的中点，
∴EF为△ACD的中位线．
∵VF－BCE＝VB－CEF＝eq \f(1,3)×S△CEF×BC，
∴S△CEF＝eq \f(1,4)S△ACD＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)×2×2＝eq \f(1,2)，
∴VF－BCE＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2eq \r(2)＝eq \f(\r(2),3).
10．(南昌调研)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝3，AC⊥BC，点M在线段AB上．
(1)若M是AB的中点，证明：AC1∥平面B1CM；
(2)是否存在点M使得三棱锥B1－BCM的体积是三棱柱ABC－A1B1C1的体积的eq \f(1,9)？若存在，试求BM的长度；若不存在，请说明理由．
解析：(1)证明：如图，连接BC1，交B1C于点E，连接ME.
因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以侧面BB1C1C为矩形．又M是AB的中点，
所以ME为△ABC1的中位线，所以ME∥AC1.
因为ME平面B1CM，AC1平面B1CM，所以AC1∥平面B1CM.
(2)存在点M使得三棱锥B1BCM的体积是三棱柱ABCA1B1C1的体积的eq \f(1,9).
理由如下：
假设存在点M使得三棱锥B1－BCM的体积是三棱柱ABC－A1B1C1的体积的eq \f(1,9).
由题意知VB1－BCM＝eq \f(1,3)S△BCM·BB1，VABC－A1B1C1＝S△ABC·BB1，设BM＝λBA,0＜λ＜1，则eq \f(1,3)λS△ABC·BB1＝eq \f(1,9)S△ABC·BB1，
所以λ＝eq \f(1,3)，即BM＝eq \r(2)，
故当BM＝eq \r(2)时，三棱锥B1－BCM的体积是三棱柱ABC－A1B1C1的体积的eq \f(1,9).