高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练提能练02《平面向量、三角函数与解三角形》(教师版)

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1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc＝1，b＋2ccs A＝0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为( )
A．2＋eq \r(3) B．2＋eq \r(2)
C．3 D．3＋eq \r(2)
解析：由题意可得，sin B＋2sin Ccs A＝0，
即sin(A＋C)＋2sin Ccs A＝0，
得sin Acs C＝－3sin Ccs A，即tan A＝－3tan C.
又cs A＝－eq \f(b,2c)0.
从而tan B＝－tan(A＋C)＝－eq \f(tan A＋tan C,1－tan Atan C)＝eq \f(2tan C,1＋3tan2C)＝eq \f(2,\f(1,tan C)＋3tan C)，
由基本不等式，得eq \f(1,tan C)＋3tan C≥2 eq \r(\f(1,tan C)×3tan C)＝2eq \r(3)，当且仅当tan C＝eq \f(\r(3),3)时等号成立，此时角B取得最大值，且tan B＝tan C＝eq \f(\r(3),3)，tan A＝－eq \r(3)， 即b＝c，A＝120°，又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝eq \r(3)，故△ABC的周长为2＋eq \r(3).
答案：A
2．(南宁二中模拟)已知在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝120°，C是OB的中点，P为弧AB上任意一点，且eq \(OP,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为( )
A．2 B.eq \f(\r(21),3)
C.eq \f(2\r(21),3) D.eq \f(4\r(21),3)
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则O(0,0)，
A(2,0)，C(－eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))，则eq \(OA,\s\up6(→))＝(2,0)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))，
设P(2cs θ，2sin θ)，则λ(2,0)＋μ(－eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))＝(2cs θ，
2sin θ)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2λ－\f(1,2)μ＝2cs θ，,\f(\r(3),2)μ＝2sin θ，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(μ＝\f(4,\r(3))sin θ，,λ＝cs θ＋\f(1,\r(3))sin θ，))则λ＋μ＝eq \f(5,\r(3))sin θ＋cs θ＝eq \f(2\r(21),3)sin(θ＋φ)，其中tan φ＝eq \f(\r(3),5)，据此可知，当sin(θ＋φ)＝1时，λ＋μ取得最大值eq \f(2\r(21),3).故选C.
答案：C
3．(山西芮城中学模拟)模均为2的向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为eq \f(π,3)，点C在以O为圆心的圆弧AB(劣弧)上，eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，则m＋n的最大值是( )
A．2eq \r(3) B.eq \f(2\r(3),3)
C.eq \r(3) D．3eq \r(3)
解析：∵eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，
∴eq \(OC,\s\up6(→))2＝(meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→)))2，
∴4＝4m2＋4n2＋2mneq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝4m2＋4n2＋2mn×2×2×cs eq \f(π,3)，
即m2＋n2＋mn＝1，
故(m＋n)2－1＝mn≤eq \f(m＋n2,4)(当且仅当m＝n时，等号成立)，
故(m＋n)2≤eq \f(4,3)，m＋n的最大值为 eq \r(\f(4,3))＝eq \f(2\r(3),3).
答案：B
4．已知在△ABC中，AB