高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练2.8《函数与方程》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．(江西赣中南五校联考)函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是(　　)

A．(0,1)　　　　　　　 B．(1,2)

C．(－2，－1)  D．(－1,0)

解析：∵f(－2)＝－，f(－1)＝－，

f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，

∴f(0)f(1)＞0，f(1)f(2)＞0，

f(－2)f(－1)＞0，f(－1)f(0)＜0，故选D.

答案：D

2．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)·(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)

A．(a，b)和(b，c)内

B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内

D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

解析：令y1＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＝(x－b)[2x－(a＋c)]，y2＝－(x－c)(x－a)，由a<b<c作出函数y1，y2的图象(图略)，由图可知两函数图象的两个交 点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，即函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．

答案：A

3．(贵阳模拟)函数f(x)＝lg x－sin x在(0，＋∞)上的零点个数是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：函数f(x)＝lg x－sin x的零点个数，即函数y＝lg x的图象和函数y＝sin x的图象的交点个数，如图所示．显然，函数y＝lg x的图象和函数y＝sin x的图象的交点个数为3，故选C.

答案：C

4．(宁夏育才中学月考)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)  B．(－∞，0)

C．(－1,0)  D．[－1,0)

解析：当x＞0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝，所以只需要当x≤0时，ex＋a＝0有一个根即可，即ex＝－a.当x≤0时，ex∈(0,1]，所以－a∈(0,1]，即a∈[－1,0)，故选D.

答案：D

5．已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若x0∈(－1,1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3)∪(1，＋∞)  B．(－∞，－3)

C．(－3,1)  D．(1，＋∞)

解析：依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1，故选A.

答案：A

6．(聊城模拟)若方程|3x－1|＝k有两个解，则实数k的取值范围是________．

解析：曲线y＝|3x－1|与直线y＝k的图象如图所示，由图象可知，如果y＝|3x－1|与直线y＝k有两个公共点，则实数k应满足0＜k＜1.

答案：(0,1)

7．已知函数若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．

解析：作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示：

由图可知k∈(0,1]．

答案：(0,1]

8．函数f(x)＝的零点个数是________．

解析：当x＞0时，令ln x－x2＋2x＝0，

得ln x＝x2－2x，

作y＝ln x和y＝x2－2x图象，

显然有两个交点．

当x≤0时，令4x＋1＝0，

∴x＝－.

综上共有3个零点．

答案：3

9．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是________．

解析：∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，

∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，

∴a＝4x－2x＝2－，

∵x∈[－1,1]，

∴2x∈，

∴2－∈，即a∈.

答案：

B组　能力提升练

10．已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

解析：分别画出函数f(x)，g(x)的草图，可知有2个交点．故选A.

答案：A

11．(保定模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝－2x＋1，设函数g(x)＝|x－1|(－1＜x＜3)，则函数f(x)与g(x)的图象所 有交点的横坐标之和为(　　)

A．2  B．4

C．6  D．8

解析：因为f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋1＋1)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以f(x)的周期为2.又f(x)为偶函数，所以f(1－x)＝f(x－1)＝f(x＋1)，故f(x)的图象关于直线x＝1对称．函数g(x)＝|x－1|的图象关于直线x＝1对称，在同一坐标系内作出f(x)与g(x)在(－1,3)上的图象，如图，由图可知四个交点的横坐标关于x＝1对称，其和为2×2＝4，选B.

答案：B

12．若函数f(x)＝xln x－a有两个零点，则实数a的取值范围为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：令g(x)＝xln x，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图象有两个交点．由g′(x)＝ln x＋1，令g′(x)＜0，即ln x＜－1，可解得0＜x＜；令g′(x)＞0，即ln x＞－1，可解得x＞，所以，当0＜x＜时，函数g(x)单调递减；

当x＞时，函数g(x)单调递增，由此可知，当x＝时，g(x)min＝－.作出函数g(x)和h(x)的简图，据图可得－＜a＜0.

答案：D

13．(郑州质量预测)对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是(　　)

A．[2,4]   B.

C.  D．[2,3]

解析：函数f(x)＝ex－1＋x－2的零点为x＝1，设g(x)＝x2－ax－a＋3的零点为b，若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b|≤1，∴0≤b≤2.由于g(x)＝x2－ax－a＋3的图象过点(－1，4)，∴要使其零点在区间[0,2]上，则g≤0，即2－a·－a＋3≤0，解得a≥2或a≤－6(舍去)，易知g(0)≥0，即a≤3，此时2≤a≤3，满足题意．

答案：D

14．已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)的零点个数为________．

解析：令y＝2f2(x)－3f(x)＝0，则f(x)＝0或f(x)＝.函数f(x)＝，的图象如图所示：

由图可得：f(x)＝0有2个根，f(x)＝有3个根，

故函数y＝2f2(x)－3f(x)的零点个数为5.

答案：5

15．已知函数f(x)＝x|x－4|＋2x，存在x3＞x2＞x1≥0，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1x2·f(x3)的取值范围是________．

解析：f(x)＝x|x－4|＋2x＝作出f(x)的图象如图，

由图象可知，x1＋x2＝6，且2＜x1＜3，

∴x1x2f(x3)＝x1(6－x1)f(x1)＝x1(6－x1)·(－x＋6x1)＝(－x＋6x1)2＝[－(x1－3)2＋9]2，∵2＜x1＜3，∴－(x1－3)2＋9∈(8,9)，∴x1x2f(x3)∈(64,81)．

答案：(64,81)