第19讲 三角函数的性质-2022年新高考艺术生40天突破数学90分练习题

第19讲 三角函数的性质

一．选择题（共43小题）

1．（2020秋•湖北期末）下列函数中，最小正周期为的是　　

A． B． C． D．

【解析】解：、该函数的最小正周期为，故不符合题意．

、该函数的最小正周期为，故不符合题意．

、该函数的最小正周期为，故不符合题意．

、该函数的最小正周期为，故符合题意．

故选：．

2．（2020秋•成都期末）下列函数的最小正周期为且为奇函数的是　　

A． B． C． D．

【解析】解：为偶函数，不符合题意；

的最小正周期，不符合题意；

为偶函数，不符合题意；

为奇函数，且，符合题意．

故选：．

3．（2020春•洛阳期中）已知函数，则下列判断错误的是　　

A．的最小正周期为 

B．的图象关于直线对称 

C．的值域为， 

D．的图象关于点对称

【解析】解：，

对于，其最小正周期为，正确；

对于，，不为的对称轴，错误；

对于，其值域为，，正确；

对于，，由正弦函数的性质可知，正确．

故选：．

4．（2019秋•兴宁区校级期末）已知函数的最小正周期为，则该函数图象　　

A．关于点对称 B．关于直线对称 

C．关于点对称 D．关于直线对称

【解析】解：由已知可得，，

因为，所以是对称中心，所以正确；

因为，所以直线不是对称轴，所以错误；

因为，所以不是对称中心，所以错误；

因为，所以直线不是对称轴，所以错误．

故选：．

5．（2020秋•泸州月考），是函数的图象与轴的两个交点，且，两点间距离的最小值为，则的值为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【解析】解：根据题意，可得函数的周期为，

解得．

故选：．

6．（2020•东湖区校级模拟）若函数的图象的一条对称轴为，则的最小值为　　

A． B．2 C． D．3

【解析】解：把函数，

根据所得图象的一条对称轴方程是，

可得：，，

可得：，

由于：，

故的最小值为．

故选：．

7．（2020春•浙江期中）已知函数，为偶函数，其图象与直线的某两个交点横坐标为，，若的最小值为，则　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：函数，为偶函数，

故：．

函数的图象与直线的交点的横坐标为，，

若的最小值为，

则：，

解得：．

故选：．

8．（2020•江汉区校级模拟）下列函数中最小正周期是且图象关于直线对称的是　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：的周期，不满足条件．

当时，，，

．，

．，

故满足条件的是，

故选：．

9．（2020秋•广东月考）设点是函数的图象的一个对称中心，若点到图象的对称轴的距离的最小值是，则的最小正周期是　　

A． B． C． D．

【解析】解：点到图象的对称轴的距离的最小值是，

可得，

解得：，

故选：．

10．（2020秋•肥东县期中）若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点，成中心对称，，则　　

A． B． C． D．

【解析】解：数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，

则函数的周期为，

解得：．

函数的关系式为：．

令，

解得：，

当时，．

故选：．

11．（2020春•城关区校级期中）已知函数，的部分图象如图所示，则　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：由题意可得，，

周期，，

，

代点，可得，

结合可得，

解得，

故选：．

12．（2019秋•黑龙江期末）函数，，在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：由函数的最小值为可得，再根据，求得，

再根据五点法作图可得，求得，故函数的解析式为，

故选：．

13．（2019秋•乐山期末）已知函数的图象的一个对称中心是，则的可能取值为　　

A． B． C． D．

【解析】解：由题意可得，，即，，

故当时，，

故选：．

14．（2019秋•庐江县期末）函数的图象　　

A．关于点，对称 B．关于原点对称 

C．关于轴对称 D．关于直线对称

【解析】解：由于函数是非奇非偶函数，故排除和．

又时，函数值不是最值，故排除．

对于函数，令，，可得

，，故函数的对称中心为，，，

故选：．

15．（2019秋•兴庆区校级期末）函数在区间上的值域是　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：，，

，，

，，

即函数在区间，上的值域为，．

故选：．

16．（2013•和平区一模）若，为常数）的最大值是3，最小值是，则的值为　　

A． B．4或 C． D．

【解析】解：，为常数）的最大值是3，最小值是，，且．

解得，，即，且，，

故选：．

17．（2020秋•太原期末）函数的单调减区间是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解析】解：，

由，得

．

函数的单调减区间是，．

故选：．

18．（2020秋•贵州月考）函数的单调递增区间是　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解析】解：令，得．

故的单调递增区间是．

故选：．

19．（2019秋•武汉期末）函数的一个单调递减区间是　　

A． B． C． D．

【解析】解：依题意可知，，

解得，时，，

所以的一个单调递减区间是，

故选：．

20．（2019秋•宜昌期末）下列函数中，最小正周期为，且在区间上单调递减的是　　

A． B． C． D．

【解析】解：．函数的周期为，不符合条件；

．函数的周期为，不符合条件；

．函数的周期为，但是在不单调，不符合条件；

．函数的周期为且在单调递减，符合条件．

故选：．

21．（2019秋•德城区校级月考）函数，的部分图象如图所示，则的单调递增区间为　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解析】解：根据函数的图象，，故，

所以，当时，（1），

所以由于，解得，

所以，令，

解得，

故函数的单调递增区间为，．

故选：．

22．（2019秋•马尾区校级期末）已知直线与函数的相邻两交点间的距离为，则函数的单调递增区间为　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解析】解：直线与函数的相邻两交点间的距离为，

所以函数的最小正周期为，

所以，解得，

所以，

令，

解得，

所以函数的单调递增区间为．

故选：．

23．（2019•河南模拟）若函数具有下列两个性质：①在区间上单调递增，②其图象关于直线对称，则的解析式可以是　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：（1）对，，不符合条件②，故错；

（2）对，符合条件②，由知，在上递减，不符合条件①，故错；

（3）对，，不符合条件②，故错；

（4）对，符合条件②，由知，在上递增，符合条件①，故对．

故选：．

24．（2019•宜宾模拟）已知函数，则下列关于它的说法正确的是　　

A．图象关于轴对称 

B．图象的一个对称中心是 

C．周期是 

D．在上是增函数．

【解析】解：函数，

．

则：①函数的图象关于原点对称，故选项错误．

函数的最小正周期为，

故选项错误．

②当时，

故选项正确．

③令：，

整理得：，

所以函数在上单调递减．

故选项错误．

故选：．

25．（2019•安阳一模）已知函数，的部分图象如图所示，则下列区间使函数单调递减的是　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：函数，的部分图象如图所示，

则：，

所以：，

则：，

当时，，

所以：，

解得：，

由于：，

当时，，

所以函数，

令：，

解得：，

当时，函数的单调递减区间为．

故选：．

26．（2020秋•哈尔滨期末）函数的图象的一条对称轴方程是　　

A． B． C． D．

【解析】解：由，，得，，

当时，对称轴为，

故选：．

27．（2020秋•海南期末）已知函数是奇函数，则　　

A． B． C． D．

【解析】解：是奇函数，

，，

得，，

，

当时，，

故选：．

28．（2020秋•西宁期末）已知函数的图象过点，则图象的一个对称中心为　　

A．， B． C．， D．

【解析】解；由已知函数过定点，代入可得，

又，所以，

则函数，

令，，解得，，

当时，，即，为函数的一个对称中心，正确，

故选：．

29．（2020秋•绵阳月考）函数的图象的一条对称轴是　　

A． B． C． D．

【解析】解：令，

解得，，

再令，可得，

故选：．

30．（2020春•吉林月考）函数的对称轴不可能为　　

A． B． C． D．

【解析】解：由，，

得，即函数的对称轴为，，

当时，，当时，，

当时，，

故不可能是，

故选：．

31．（2020•靖远县四模）已知直线是函数图象的一条对称轴，则的最小值是　　

A． B． C． D．

【解析】解：由题意，函数的最大值为3，最小值为；，

则，

即，

因为，所以．

故选：．

32．（2020春•河池期末）已知函数图象上相邻的两条对称轴间的距离为，则该函数图象的对称中心可能是　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：图象上相邻的两条对称轴间的距离为，

，即周期，即，得，

则，

由，得，，

当时，得，此时对称中心为，，

故选：．

33．（2020春•南平期末）已知函数，，若函数的图象关于对称，则值为　　

A． B． C． D．

【解析】解：函数，，若函数的图象关于对称，

可得，，，

所以，所以．

故选：．

34．（2020•宝山区二模）若函数的图象关于直线对称，则的值为　　

A．1 B． C． D．

【解析】解：，

设，，则，

即，

的图象关于直线对称，

，，

则，，

，

故选：．

35．（2020•成都模拟）已知函数，则函数的图象的对称轴方程为　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：由函数，

则，，得：，，

故选：．

36．（2019秋•三明期末）函数图象的一条对称轴方程是　　

A． B． C． D．

【解析】解：由，，

，

当是，，

故函数图象的一条对称轴方程是，

故选：．

37．（2020秋•天河区期末）已知函数，，的部分图象如图所示，则函数的解析式为　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：由函数的图象知，，

，

由五点法作图可得，且，

，

函数的解析式为．

故选：．

38．（2020秋•大通县期末）函数，的部分图象如图所示，则的单调递增区间为　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：由图可知，，．

由五点法作图，可得，可得，

．

由，得，

所以，的递增区间为，

故选：．

39．（2020秋•湖州期末）为了得到函数的图象，可以将函数图象　　

A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 

C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位

【解析】解：，

即将函数图象向左平移个长度单位，即可，

故选：．

40．（2020秋•南通期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象　　

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【解析】解：设将函数的图象平移个单位得到的图象，

则，则由得，得，

即只需将函数的图象向左平移个单位长度即可，

故选：．

41．（2020秋•威宁县期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象　　

A．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度 

B．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度 

C．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度 

D．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度

【解析】解：因为，

先将函数向左平移个单位，可得函数的图象，

再向上平移1个单位长度，即可得到函数的图象．

故选：．

42．（2020秋•湖北期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象　　

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【解析】解：，

只需将函数的图象向左平移个单位即可得到函数的图象．

故选：．

43．（2020•马鞍山三模）将函数的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，得到，

再将其向左平移个单位长度，得到．

故选：．

二．填空题（共3小题）

44．（2020秋•荔湾区校级期末）已知函数的最小正周期是，则　2　，单调递增区间是　　．

【解析】解：由周期的求解方法可知；，可得；

可得函数，

令

，

即函数的递增区间为：，，

故答案为2，，

45．（2020秋•丰台区期末）若函数的一个零点为，则　　．

【解析】解：因为函数的一个零点为，所以，可得，，

又因为，所以，

故答案为：

46．（2020秋•红岗区校级期中）函数，，的单调增区间是　，　；

【解析】解：，

由，．

得，．

当时，递增区间为，，

当取其它值时与区间，无交集；

即在，内的单调增区间是，．

故答案为：，．

三．解答题（共4小题）

47．（2019秋•如东县校级月考）已知函数．若，求函数的值域．

【解析】解：，

，

由得，，．

，

即函数的值域为．

48．（2018春•深圳期末）设函数．

（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（2）当时，求函数的最大值．

【解析】解：（1）

，函数的周期，

当时，即，，函数单调增，

函数的单调递增区间为，；

（2）当时，，

，

当，．

49．（2020秋•利通区校级期末）已知函数．

（1）求函数图象的对称轴方程；

（2）求的单调增区间；

（3）当，时，求函数的最大值，最小值．

【解析】解：函数，

（1）令，，

解得，；

图象的对称轴方程为：

，；

（2）令，，

解得，；

的单调增区间，，；

（3）当，时，，，

，，

函数的最大值为，

最小值为．

50．（2018秋•抚顺期末）某同学在利用“五点法”画函数（其中，，的图象时，列出了如表格中的部分数据．

（1）请将表格补充完整，并写出的解析式；

（2）讨论在区间，上的单调性．

【解析】解：（1）由，解得，，

所以．

表格如下

（2）令，

解得．

令，

解得．

由于，，

所以函数的单调递增区间为，，函数的递减区间为和．