第21讲 三角函数的性质-2023年新高考艺术生突破数学90分讲义

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第21讲 三角函数的性质 【知识点总结】1.“五点法”作图原理在确定正弦函数的图像时，起关键作用的5个点是.在确定余弦函数的图像时，起关键作用的5个点是.2.三角函数的图像与性质 在上的图像定义域值域（有界性）最小正周期（周期性）奇偶性（对称性）奇函数偶函数单调增区间单调减区间对称轴方程对称中心坐标最大值及对应自变量值时时最小值及对应自变量值时时       函数正切函数图像 定义域值域周期性奇偶性奇函数，图像关于原点对称单调性在上是单调增函数对称轴无对称中心3.与的图像与性质（1）最小正周期：.（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A].（3）最值假设.①对于，②对于，（4）对称轴与对称中心.假设.①对于，②对于，正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置.（5）单调性.假设.①对于，②对于，（6）平移与伸缩（，）的图象，可以用下面的方法得到：①画出函数的图象；②把的图象向左（）或向右（）平移个单位长度，得到函数的图象；③把图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；④把图象上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象. 【典型例题】例1．（2018·福建省泉州市泉港区第一中学高三期中（文））函数的部分图象如图示，则下列说法不正确的是　　A．B．的图象关于点成中心对称C．在R上单调递增D．已知函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于原点对称例2．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数的定义域为（    ）A．（）B．（）C．（）D．（）例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(ω>0)，若f(x)在上恰有两个零点，则ω的取值范围是（    ）A． B． C． D．例4．（2022·全国·高三专题练习）若在上是减函数，则的最大值是（    ）A． B． C． D．例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝2sin是偶函数，则θ的值为（    ）A．          B．         C． D．（多选题）例6．（2022·全国·高三专题练习）若关于的方程在区间上有且只有一个解，则的值可能为（    ）A． B． C．0 D．1例7．（2022·全国·高三专题练习）将函数的图像向右平移个单位，可得下列哪些函数（    ）A． B．C． D．例8．（2021·安徽·芜湖一中高三阶段练习（理））已知函数.x      f(x)      （1）求函数在区间上的值域；（2）用五点法在网格纸中作出在区间上的大致图象.      例9．（2021·全国·高三专题练习）    已知，函数．（Ⅰ）若，求的单调递增区间；（Ⅱ）若的最大值是，求的值．       例10．（2021·江苏高邮·高三阶段练习）已知函数的部分图象如图.（1）求函数的解析式;（2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，求值域.        【技能提升训练】一、单选题1．（2021·江西·丰城九中高三阶段练习（理））设点是函数的图象C的一个对称中心，若点到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是（    ）A． B． C． D．2．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知函数在区间上的图象大致如下，且；则图象的一条对称轴方程可以是（   ）A． B． C． D．3．（2021·河南·高三阶段练习（理））的图象向左平移个单位，恰与的图象重合，则的取值可能是（    ）A． B． C． D．4．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，周期为，且在区间单调递增的是（    ）A． B． C． D．5．（2022·全国·高三专题练习）将函数的图象上每一个点向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的单调递增区间为A． B．C． D．6．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为（　　）A． B．C． D．7．（2022·全国·高三专题练习）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数在上的值域为（    ）A． B． C． D．8．（2021·北京市第五中学高三阶段练习）已知，则的值域为（    ）A． B． C． D．9．（2021·全国·高三专题练习）函数的最大值为（    ）A． B．3C． D．410．（2022·全国·高三专题练习）设函数，，若，函数是偶函数，则的值为（    ）A．或 B．或 C．或 D．或11．（2022·全国·高三专题练习）将函数的图象向右平移个单位后得到一个奇函数的图象，则该函数的解析式可能为（    ）A． B．C． D．12．（2022·全国·高三专题练习）设函数（且）．若，，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．413．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数的图象向左平移后得到偶函数的图象，则函数在下列区间上是单调递减的是（    ）A． B． C． D．14．（2022·全国·高三专题练习（文））下列函数中，周期为π，且在区间上单调递增的是（    ）A． B． C． D．15．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数（）的图象经过点，一条对称轴方程为.则函数的周期可以是（    ）A． B． C． D．16．（2022·全国·高三专题练习（文）），是函数的两个相邻零点.则（    ）A．3 B．2 C．1 D．17．（2022·全国·高三专题练习）函数图像向右平移个单位后所得函数图像与函数的图像关于轴对称，则最小值为（    ）A．2 B．3 C．4 D．618．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（    ）A．关于点对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于直线对称19．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数，则下列结论中不正确的是（    ）A．的图象关于点，对称B．的图象关于直线对称C．在，上单调递减D．在，上的最小值为020．（2022·全国·高三专题练习）将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值为（    ）A． B． C． D．21．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数（）的图象关于点对称，则的取值不可能是（    ）A．4 B．6 C．8 D．1222．（2022·全国·高三专题练习（理））下列区间是函数的单调递减区间的是（    ）A． B． C． D．23．（2022·全国·高三专题练习）如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为（    ）A． B．C． D．24．（2022·全国·高三专题练习（理））将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则等于（    ）A． B． C． D．25．（2022·全国·高三专题练习）要得到函数的图象，则（    ）A．可将函数的图象向右平移个单位得到B．可将函数的图象向左平移个单位得到C．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来倍得到D．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来2倍得到26．（2022·全国·高三专题练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度27．（2022·全国·高三专题练习）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将它的图象向右平移个单位长度，得到了一个奇函数的图象，则的最小值为（    ）A． B．C． D．28．（2022·全国·高三专题练习（理））将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，然后将所得图象向左平移个单位，可得函数的图象，则（    ）A．2 B．0 C． D．29．（2022·全国·高三专题练习）如图，一个大风车的半径为8 m，12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是（    ）A．h(t)＝－8sint＋10 B．h(t)＝－cost＋10C．h(t)＝－8sint＋8 D．h(t)＝－8cost＋1030．（2022·全国·高三专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆的半径为4米，盛水筒从点处开始运动，与水平面的所成角为，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒距离水面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的函数关系式是（    ）  A． B．C． D．31．（2021·广西·高三阶段练习（理））函数（，）的部分图象如图所示，的图象与轴交于点，与轴交于点，点在的图象上，点､关于点对称，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递减B．函数的最小正周期是C．函数的图象关于直线对称D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为偶函数32．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））已知的一段图象如图所示，则（    ）A．B．的图象的一个对称中心为C．的单调递增区间是D．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象二、多选题33．（2021·湖北·高三阶段练习）已知函数了（）在上有且仅有6个零点，则实数的值可能为（    ）A． B． C．3 D．34．（2021·江苏省滨海中学高三阶段练习）函数的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（    ）A．直线是函数图像的一条对称轴B．函数的图像关于点对称C．函数的单调递增区间为D．将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像35．（2022·全国·高三专题练习）已知三角函数，以下对该函数的说法正确的是（    ）A．该函数周期为 B．该函数在上单调递增C．为其一条对称轴 D．将该函数向右平移个单位得到一个奇函数36．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象关于直线对称，则（    ）A．函数为奇函数B．函数在上单调递增C．若，则的最小值为D．函数的图象关于中心对称37．（2022·上海·高三专题练习）设函数的图像，下面结论正确的是（    ）A．函数的最小正周期为 B．函数 在区间上是增函数C．函数图像关于对称D．函数图像可由右移个单位得到38．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数（其中，，）的部分图像，则下列结论正确的是（    ）A．函数的图像关于直线对称B．函数的图像关于点对称C．将函数图像上所有的点向右平移个单位，得到函数，则为奇函数D．函数在区间上单调递增39．（2021·江苏如皋·高三期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（    ）A．B．C．函数为奇函数D．函数在区间上单调递减三、填空题40．（2021·北京景山学校远洋分校高三阶段练习）己知函数部分图象如图所示，则图中的值为___________.41．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为________.42．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是_______________.43．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的最大值为________．44．（2022·全国·高三专题练习（文））函数在上的最小值是________．45．（2022·浙江·高三专题练习）函数的值域为________．46．（2021·湖南·模拟预测）函数的最大值为__________.47．（2022·全国·高三专题练习）设当时，函数取得最大值，则______.48．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数，若的图象向右平移个单位后与的图象重合，当最小时，给出下列结论：①的最小值为4②在上单调递增③在上单调递减④的图象关于直线对称⑤的图象关于点中心对称其中，正确结论的编号是__________（填写所有正确结论的编号）．49．（2022·全国·高三专题练习）设函数．若的图象关于直线对称，则的取值集合是__________．50．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在处取得最小值，则_________四、解答题51．（2021·江西·宁冈中学高三开学考试（理））已知函数（）.             （1）请结合所给表格，在所给的坐标系中作出函数一个周期内的简图；（2）求函数的单调递增区间；（3）求的最大值和最小值及相应的取值.     52．（2021·西藏·拉萨中学高三阶段练习（文））函数的部分图象如图：
（1）求其解析式（2）写出函数在上的单调递减区间．      53．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．（I）若是第一象限角，且．求的值；（II）求使成立的x的取值集合．      54．（2021·全国·高三专题练习）已知函数的周期是.（1）求的单调递增区间；（2）求在上的最值及其对应的的值.       55．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，函数（）的最小正周期是.（1）求的值及函数的单调递减区间；（2）当时，求函数的值域.   56．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的值域.    57．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）当，时，求的值域．     58．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，（1）求函数的定义域和最小正周期；（2）若将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，然后再向右平移()个单位长度，所得函数的图象关于轴对称，求的最小值.   59．（2021·福建省福州第一中学高三期中）已知函数的图象如图所示. （1）求函数的解析式；（2）首先将函数的图象上每一点横坐标缩短为原来的，然后将所得函数图象向右平移个单位，最后再向上平移个单位得到函数的图象，求函数在内的值域.