（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 类型五 其他类型（原卷版+解析版）

类型五-其他类型

1.岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．

（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？

（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面积最多为多少亩？

【答案】见解析。

【解析】（1）设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是（600+x）亩．根据“复耕土地面积+改造土地面积＝1200亩”列出方程并解答；

由题意，得x+（600+x）＝1200,解得x＝300．

则600+x＝900．

所以改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩。

（2）设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是（300﹣y）亩，根据“休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的”列出不等式并解答．

 由题意，得y≤（300﹣y）．

解得 y≤75．

故休闲小广场总面积最多为75亩．

所以休闲小广场总面积最多为75亩．

2.中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？

【答案】共有39人，15辆车．

【解析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．

根据题意得：+2＝，

去分母得：2x+12＝3x﹣27，解得：x＝39，

∴＝15，

则共有39人，15辆车．

3.某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．

（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？

（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？

【答案】见解析。

【解析】（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗（2x﹣40）棵，

由题意可得，30x+20（2x﹣40）＝9000，

70x＝9800，x＝140，

∴购买甲种树苗140棵，乙种树苗240棵。

（2）设购买甲树苗y棵。乙树苗（10-y）棵，

根据题意得：30y+20（10-y）230

10y30   y3

购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；

购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵；

购买方案4：购买甲树苗0棵，乙树苗10棵。

4.为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？

【答案】甲乙两个工程队还需联合工作10天．

【解析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．

由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，

解得x＝7，

所以乙工程队每天掘进5米，

（天）

所以甲乙两个工程队还需联合工作10天．

5.某商场有A，B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A商品和2件B商品，共需135元．

（1）设A，B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；

（2）B商品每件的成本是20元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件．

①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？

②求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？

【答案】见解析。

【解析】 此题主要考查了二次函数的应用以及用配方法求出最大值，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．

（1）根据题意得：，

解得：；

（2）①由题意得：y=（x﹣20）[100﹣5（x﹣30）]

∴y=﹣5x2+350x﹣5000，

②∵y=﹣5x2+350x﹣5000=﹣5（x﹣35）2+1125，

∴当x=35时，y最大=1125，

∴销售单价为35元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元．

6.为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：

学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．

（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？

（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为　   　辆；

（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？

【答案】见解析。

【解析】（1）设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人，根据“若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论。

依题意，得：，

解得：．

答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．

（2）利用租车总辆数＝师生人数÷35结合每辆客车上至少要有2名老师，即可得出租车总辆数为8辆。

∵（234+16）÷35＝7（辆）……5（人），16÷2＝8（辆），

∴租车总辆数为8辆．

故答案为：8．

（3）设租35座客车m辆，则需租30座的客车（8﹣m）辆，根据8辆车的座位数不少于师生人数及租车总费用不超过3000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出租车方案数，设租车总费用为w元，根据租车总费用＝400×租用35座客车的数量+320×租用30座客车的数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．

依题意，得：，

解得：2≤m≤5．

∵m为正整数，

∴m＝2，3，4，5，

∴共有4种租车方案．

设租车总费用为w元，则w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，

∵80＞0，

∴w的值随m值的增大而增大，

∴当m＝2时，w取得最小值，最小值为2720．

∴学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元．

7.某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．

（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；

（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？

【答案】见解析。

【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，

依题意，得：＝，

解得：x＝5，

经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，

∴x+10＝15．

答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元．

（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，

依题意，得：，

解得：15≤m≤16．

∵m为整数，∴m＝15或16．

∴商店有2种购买方案，方案①：购进A商品65个、B商品15个；

方案②：购进A商品64个、B商品16个．

8.为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．

（1）求这两年藏书的年均增长率；

（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？

【答案】见解析。

【解析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率；

根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几．

（1）设这两年藏书的年均增长率是x，

5（1+x）2＝7.2，

解得，x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），

答：这两年藏书的年均增长率是20%；

（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（7.2﹣5）×20%＝0.44（万册），

到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：×100%＝10%，

答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．

9.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．

（1）求进馆人次的月平均增长率；

（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率

不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．

【答案】见解析。

【解析】一元二次方程应用。先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解；根据所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．

（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：

128+128（1+x）+128（1+x）2＝608

化简得：4x2+12x﹣7＝0

∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，

∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）

答：进馆人次的月平均增长率为50%．

（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，

∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128×＝432＜500

答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．

10.在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．

①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？

②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？

【答案】见解析。

【解析】①设乙种物品单价为x元，则甲种物品单价为（x+10）元，由题意得：

＝

解得x＝90

经检验，x＝90符合题意

∴甲种物品的单价为100元，乙种物品的单价为90元．

②设购买甲种物品y件，则乙种物品购进（55﹣y）件

由题意得：5000≤100y+90（55﹣y）≤5050

解得5≤y≤10 ,∴共有6种选购方案．

11. 某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量30人．若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需费用10300元．

（1）求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；

（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？

【答案】见解析。

【解析】（1）设租用A，B两型客车，每辆费用分别是x元、y元，

，

解得，，

答：租用A，B两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元；

（2）设租用A型客车a辆，租用B型客车b辆，

，

解得，，，，

∴共有三种租车方案，

方案一：租用A型客车2辆，B型客车5辆，费用为9900元，

方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆，费用为9400元，

方案三：租用A型客车5辆，B型客车1辆，费用为9800元，

由上可得，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆最省钱．

12.安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？

【答案】见解析。

【解析】（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b

当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140；

∴，

解得：，

∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100；

（2）由题意得：

（60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090，

整理得：x2﹣10x+9＝0，

解得：x1＝1．x2＝9，

∵让顾客得到更大的实惠，

∴x＝9，

答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．

13.工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系.

（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？

【答案】见解析。

【解析】本题主要考查一次函数和二次函数的应用.

认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值全部是整数；根据利润=（售价-成本）×件数，列出利润的表达式，求出最值．

（1）当0＜x≤20且x为整数时，y=40；
当20＜x≤60且x为整数时，y=-x+50；
当x＞60且x为整数时，y=20；
（2）设所获利润w（元），
当0＜x≤20且x为整数时，y=40，
∴w=(40-16)×20=480元，
当0＜x≤20且x为整数时，y=40，
∴当20＜x≤60且x为整数时，y=-x+50，

∴w=(y-16)x=(-x+50-16)x，
∴w=-x2+34x，
∴w=-（x-34）2+578，
∵-＜0，
∴当x=34时，w最大，最大值为578元．
答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元．

14.襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数表达式为：

y＝

(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元)，请直接写出年利润关于售价x(元/件)的函数表达式；

(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？

(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围．

【答案】（1）W＝

（2）800万（3）45≤x≤55.

【解析】(1)W＝

(2)由(1)知，当40≤x<60时，W＝－2(x－50)2＋800.

∵－2<0，∴当x＝50时，W有最大值800.

当60≤x≤70时，W＝－(x－55)2＋625.

∵－1＜0，∴当60≤x≤70时，W随x的增大而减小，

∴当x＝60时，W有最大值为600.

∵800>600，∴W最大值为800万元．

答：当该产品的售价定为50元/件时，销售该产品的年利润最大，最大利润为800万元；

(3)当40≤x＜60时，令W＝750，得

－2(x－50)2＋800＝750，解得x1＝45，x2＝55.

由函数W＝－2(x－50)2＋800的性质可知，

当45≤x≤55时，W≥750，

当60≤x≤70时，W最大值为600＜750.

答：要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的销售价x(元/件)的取值范围为45≤x≤55.

15.小慧和小聪沿图3－3－2①中景区公路游览．小慧乘坐车速为30 km/h的电动汽车，早上7：00从宾馆出发，游玩后中午12：00回到宾馆．小聪骑车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20 km/h，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午10：00小聪到达宾馆．图②中的图象分别表示两人离宾馆的路程s(km)与时间t(h)的函数关系．试结合图中信息回答：

图3－3－2

(1)小聪上午几点钟从飞瀑出发？

(2)试求线段AB，GH的交点B的坐标，并说明它的实际意义；

(3)如果小聪到达宾馆后，立即以30 km/h的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？

【答案】（1）7:30（2）如下（3）11:00

【解析】(1)小聪从飞瀑到宾馆所用的时间为50÷20＝2.5(h)，

∵小聪上午10：00到达宾馆，

∴小聪从飞瀑出发的时刻为10－2.5＝7.5，即7：30.

答：小聪早上7：30从飞瀑出发；

(2)设直线GH的函数表达式为s＝kt＋b，

由于点G的坐标为，点H的坐标为(3，0)，

则有解得

∴直线GH的函数表达式为s＝－20t＋60，

又∵点B的纵坐标为30，

∴当s＝30时，得－20t＋60＝30，解得t＝，

∴点B的坐标为.

答：点B的实际意义是上午8：30小慧与小聪在离宾馆30  km(即景点草甸)处第一次相遇；

(3)方法一：设直线DF的函数表达式为s＝k1t＋b1，该直线过点D和F(5，0)，

由于小慧从飞瀑回到宾馆所用时间为50÷30＝(h)，

∴小慧从飞瀑准备返回时t＝5－＝(h)，

即点D的坐标为.

则有解得

∴直线DF的函数表达式为s＝－30t＋150，

∵小聪上午10：00到达宾馆后立即以30 km/h的速度返回飞瀑，所需时间为50÷30＝(h)．

如答图，HM为小聪返回时s关于t的函数图象，

∴点M的横坐标为3＋＝，∴M，

设直线HM的函数表达式为s＝k2t＋b2，该直线过点H(3，0)和M ，

则有

∴直线HM的函数表达式为s＝30t－90，

由30t－90＝－30t＋150，解得t＝4，即11：00.

答：小聪返回途中上午11：00遇见小慧；

方法二：如答图，过点E作EQ⊥x轴于点Q，由题意，可得点E的纵坐标为两人相遇时距宾馆的路程，

又∵两人速度均为30 km/h，

∴该路段两人所花时间相同，即HQ＝QF，

∴点E的横坐标为4.

答：小聪返回途中上午11：00遇见小慧．

16.月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图3－3－3所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为W(万元)．(注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损记做下一年的成本)

图3－3－3

(1)请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式．

(2)求出第一年这种电子产品的年利润W(万元)与x(元/件)之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．

(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润W(万元)取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x(元)定在8元以上(x＞8)，当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润W(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图，求销售价格x(元/件)的取值范围．

【答案】（1）y＝（2）当每件的销售价格定为16元时，第一年的年利润的最大值为－16万元．（3）当11≤x≤21时，第二年的年利润W不低于103万元．

【解析】 (1)求y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式，结合图象，是一个分段函数，已知点坐标，运用待定系数法可求；

(2)根据“年利润＝年销售量×每件的利润－成本(160万元)”，可求出年利润W(万元)与x(元/件)之间的函数关系式，但要注意的是和第(1)问一样是分段函数，根据每段的函数特征分别求出最大值，再比较这两个数值的大小，从而确定第一年的年利润的最大值；

(3)根据条件“第二年的年利润不低于103万元”，可得W≥103，这是一个一元二次不等式，观察年利润W(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图，从而得出结果．

解：(1)当4≤x≤8时，设 y＝，将A(4，40)代入，得

k＝4×40＝160.

∴y与x之间的函数关系式为y＝.

当8＜x≤28时，设y＝kx＋b，将B(8，20)，C(28，0)代入，得   解得

∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋28.

∴综上所述，得y＝

(2)当4≤x≤8时，W＝(x－4)×y－160＝(x－4)×－160＝－.

∵W随着x的增大而增大，

∴当x＝8时，Wmax＝－ ＝－80.

当8＜x≤28时，W＝(x－4)×y－160 ＝(x－4)×(－x＋28)－160＝－x2＋32x－272＝－(x－16) 2－16.

∴当x＝16时，Wmax＝－16.∵－16＞－80，

∴当每件的销售价格定为16元时，第一年的年利润的最大值为－16万元．

(3)∵第一年的年利润为－16万元．

∴16万元应作为第二年的成本．

又∵x＞8，

∴第二年的年利润W＝(x－4)(－x＋28)－16

＝－x2＋32x－128，

令W＝103，则－x2＋32x－128＝103，解得x1＝11，x2＝21.

在平面直角坐标系中，画出W与x的函数示意图如答图，观察示意图可知：当W≥103时，11≤x≤21.

∴当11≤x≤21时，第二年的年利润W不低于103万元．