（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 类型三 图形形状不确定类问题（原卷版+解析版）

类型三图形形状不确定类问题

1.一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是__________．

【答案】6或7

【分析】

求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．

【详解】

解：由多边形内角和，可得

（n-2）×180°=720°，

∴n=6，

∴新的多边形为6边形，

∵过顶点剪去一个角，

∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，

故答案为6或7．

【点睛】

本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键．

2.（2021·云南中考真题）已知的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点D．若的一条边长为6，则点D到直线的距离为__________．

【答案】3或或或

【分析】

将△ABC放入正方形中，分∠ABC=90°，∠BAC=90°，再分别分AB=BC=6，AC=6，进行解答．

【详解】

解：∵△ABC三个顶点都是同一个正方形的顶点，

如图，若∠ABC=90°，

则∠ABC的平分线为正方形ABCD的对角线，D为对角线交点，

过点D作DF⊥AB，垂足为F，

当AB=BC=6，

则DF=BC=3；

当AC=6，

则AB=BC==，

∴DF=BC=；

如图，若∠BAC=90°，过点D作DF⊥BC于F，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，AD=DF，

又∠BAD=∠BFD=90°，BD=BD，

∴△BAD≌△BFD（AAS），

∴AB=BF，

当AB=AC=6，

则BC=，

∴BF=6，CF=，

在正方形ABEC中，∠ACB=45°，

∴△CDF是等腰直角三角形，则CF=DF=AD=；

当BC=6，

则AB=AC==，

同理可得：，

综上：点D到直线AB的距离为：3或或或，

故答案为：3或或或．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，知识点较多，解题时要结合题意画出符合题意的图形，分情况解答．

3.如图，在中，，，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则的度数是_______．

【答案】或

【分析】

分①点P在BC的延长线上，②点P在CB的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得出答案．

【详解】

解：①当点P在BC的延长线上时，如图

∵，，

∴

∴

∵以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，

∴AC=PC

∴

∵

∴

∴

②当点P在CB的延长线上时，如图

由①得，

∵AC=PC

∴

∴

故答案为：或

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论不重不漏是解题的关键．

4.已知与在同一平面内，点C，D不重合，，，，则CD长为_______．

【答案】，，

【分析】

首先确定满足题意的两个三角形的形状，再通过组合得到四种不同的结果，每种结果分别求解，共得到四种不同的取值；图2、图3、图4均可通过过A点向BC作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的性质可求出相应线段的长，与CD关联即可求出CD的长；图5则是要过D点向BC作垂线，构造直角三角形，解直角三角形即可求解．

【详解】

解：如图1，满足条件的△ABC 与△ABD的形状为如下两种情况，点C，D不重合，则它们两两组合，形成了如图2、图3、图4、图5共四种情况；

如图2，，此时，，由题可知：

，

∴是等边三角形，

∴；

过A点作AE⊥BC，垂足为E点，

在中，∵，

∴,

;

在中，;

∴；

（同理可得到图4和图5中的，，．）

∴．

如图3，，此时，，由题可知：

，

∴是等边三角形，

∴；

过A点作AM⊥BC，垂足为M，

在中，∵，

∴,

;

在中，;

（同理可得到图4和图5中的，，．）

∴CD=；

如图4，由上可知：；

如图5，过D点作DN⊥BC，垂足为N点；

∵，

∴，

∴在中，,

；

∵,

∴在中，;

综上可得：CD的长为，，．

故答案为：，，．

【点睛】

本题主要考查了对几何图形的分类讨论问题，内容涉及到勾股定理、直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半、解直角三角形、等边三角形等知识，考查了学生对相关概念与性质的理解与应用，本题对综合分析能力要求较高，属于填空题中的压轴题，涉及到了分类讨论与数形结合的思想等．

5.（2021·浙江绍兴市·中考真题）问题：如图，在中，，，，的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．

答案：．

探究：（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．

①当点E与点F重合时，求AB的长；

②当点E与点C重合时，求EF的长．

（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．

【答案】（1）①10；②5；（2），，

【分析】

（1）①利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出，，即可完成求解；
②证明出即可完成求解；
（2）本小题由于E、F点的位置不确定，故应先分情况讨论，再根据每种情况，利用 ，以及点 C，D，E，F相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可．

【详解】

（1）①如图1，四边形ABCD是平行四边形，

，

．

平分，

．

．

．

同理可得：．

点E与点F重合，

．

②如图2，点E与点C重合，

同理可证，

∴▱ABCD 是菱形，

，

点F与点D重合，

．

（2）情况1，如图3，

可得，

．

情况2，如图4，

同理可得，，

又，

．

情况3，如图5，

由上，同理可以得到，

又，

．

综上：的值可以是，，．

【点睛】

本题属于探究型应用题，综合考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、菱形的判定与性质等内容，解决本题的关键是读懂题意，正确画出图形，建立相等关系求解等，本题综合性较强，要求学生有较强的分析能力，本题涉及到的思想方法有分类讨论和数形结合的思想等．

6.（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，在菱形中，是锐角，E是边上的动点，将射线绕点A按逆时针方向旋转，交直线于点F．

（1）当时，

①求证：；

②连结，若，求的值；

（2）当时，延长交射线于点M，延长交射线于点N，连结，若，则当为何值时，是等腰三角形．

【答案】（1）①见解析；②；（2）当或2或时，是等腰三角形．

【分析】

（1）根据菱形的性质得到边相等，对角相等，根据已知条件证明出，得到，由，，得到AC是EF的垂直平分线，得到，，再根据已知条件证明出，算出面积之比；

（2）等腰三角形的存在性问题，分为三种情况：当时，，得到CE= ；当时，，得到CE=2；当时，，得到CE= ．

【详解】

（1）①证明：在菱形中，

，

，

，

，

∴（ASA），

∴．

②解：如图1，连结．

由①知，，

．

在菱形中，，

∴，

设，则．

，

∴，

∴，

∴．

（2）解：在菱形中，，

，

，

同理，，

∴．

是等腰三角形有三种情况：

①如图2，当时，，

，

，

，

．

②如图3，当时，

，

，

，

∴．

③如图4，当时，

，

，

，

．

综上所述，当或2或时，是等腰三角形．

【点睛】

本题主要考查了菱形的基本性质、相似三角形的判定与性质、菱形中等腰三角形的存在性问题，解决本题的关键在于画出三种情况的等腰三角形（利用两圆一中垂），通过证明三角形相似，利用相似比求出所需线段的长．