（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 类型一 行程问题（原卷版+解析版）

类型一行程问题

1.某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米. 甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校. 已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米. 设甲步行的时间为(分)，图1中线段和折线分别表示甲、乙离开小区的路程(米)与甲步行时间(分)的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离(米)与甲步行时间(分)的函数关系的图象(不完整).根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：

(1)求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；

(2)求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；

(3)在图2中，画出当时关于的函数的大致图象. (温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)

【答案】(1)甲步行的速度是80 米/分，乙出发时甲离开小区的路程是800 米；(2)乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是700 米；(3)图象如图所示见解析.

【解析】（1）根据函数图象中的数据可以求得甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；
（2）根据函数图象中的数据可以求得OA的函数解析式，然后将x=18代入OA的函数解析式，即可求得点E的纵坐标，进而可以求得乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；
（3）根据题意可以求得乙到达学校的时间，从而可以函数图象补充完整．

【详解】

(1)由题意，得：甲步行的速度是 (米/分)，

∴乙出发时甲离开小区的路程是 (米).

(2)设直线的解析式为:，

∵直线过点，

∴，

解得，

∴直线的解析式为:.

∴当时，，

∴乙骑自行车的速度是 (米/分).

∵乙骑自行车的时间为 (分)，

∴乙骑自行车的路程为 (米).

当时，甲走过的路程是 (米)，

∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是 (米).

(3)乙步行的速度为：80-5=75（米/分），
乙到达学校用的时间为：25+（2700-2400）÷75=29（分），
当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象如图所示．

【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．

2.小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与小王的行驶时间之间的函数关系．

请你根据图象进行探究：

（1）小王和小李的速度分别是多少？

（2）求线段所表示的与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

【答案】（1）小王和小李的速度分别是、；（2）．

【解析】根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度；
根据中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标，从而可以解答本题．

【详解】

解：（1）由图可得，

小王的速度为：，

小李的速度为：，

答：小王和小李的速度分别是、；

（2）小李从乙地到甲地用的时间为：，

当小李到达甲地时，两人之间的距离为：，

∴点的坐标为，

设线段所表示的与之间的函数解析式为，

，解得，

即线段所表示的与之间的函数解析式是．

【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确坐标轴中xy所表示的对象量，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．

3.“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑车前往乙地，她与乙地之间的距离y(km)与出发时间之间的函数关系式如图1中线段AB所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离S(km)与出发时间x(h)之间的函数关系式如图2中折线段CD-DE-EF所示.

（1）小丽和小明骑车的速度各是多少？

（2）求E点坐标，并解释点的实际意义.

【答案】（1），；（2）E(,).

【解析】(1)观察图1可知小丽骑行36千米用了2.25小时，根据速度=路程÷时间可求出小丽的速度，观察图2可知小丽与小明1小时机遇，由此即可求得小明的速度；

(2)观察图2，结合两人的速度可知点E为小明到达甲地，根据相关数据求出坐标即可.

【详解】

(1)V小丽=36÷2.25=16(km/h)，

V小明=36÷1-16=20(km/h)；

(2)36÷20=(h)，

16×=(km)，

所以点E的坐标为(，)，

实际意义是小明到达了甲地.

【点睛】本题考查了一次函数的应用——行程问题，弄清题意，正确分析图象，得出有用的信息是解题的关键.

4.甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条多路上的两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开处后行走的路程（单位：）与行走时（单位：）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离（单位：）与甲行走时间x（单位:）的函数图象，则_____．

【答案】

【解析】从图1，可见甲的速度为，从图2可以看出，当x= 时，二人相遇，即： =120，解得：乙的速度=80，已的速度快，从图2看出已用了b分钟走完全程，甲用了a分钟走完全程，即可求解．

【详解】

解：从图1，可见甲的速度为，

从图2可以看出，当时，二人相遇，即：，解得：

乙的速度：，

∵乙的速度快，从图2看出已用了分钟走完全程，甲用了分钟走完全程，

.

故答案为．

【点睛】本题考查了一次函数的应用，把一次函数和行程问题结合在一起，关键是能正确利用待定系数法求一次函数的解析式，明确三个量的关系：路程=时间×速度．

5.长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置开始行进的时间为，排头与的距离为

（1）当时，解答：

①求与的函数关系式（不写的取值范围）；

②当甲赶到排头位置时，求的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置的距离为，求与的函数关系式（不写的取值范围）

（2）设甲这次往返队伍的总时间为，求与的函数关系式（不写的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．

【答案】（1）①；②；（2）与的函数关系式为：，此时队伍在此过程中行进的路程为．

【解析】（1）①排头与O的距离为S头（m）．等于排头行走的路程+队伍的长300，而排头行进的时间也是t（s），速度是2m/s，可以求出S头与t的函数关系式；

②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S即可；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m）是在S的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间=总时间t－甲从排尾赶到排头的时间，于是可以求S甲与t的函数关系式；

（2）甲这次往返队伍的总时间为T（s），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程=队伍速度×返回时间．

【详解】（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），∴S头=2t+300；

②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）=300÷v=300÷2=150 s，此时S头=2t+300=600 m，甲返回时间为：（t﹣150）s，∴S甲=S头﹣S甲回=2×150+300﹣4（t﹣150）=﹣4t+1200；

因此，S头与t的函数关系式为S头=2t+300，当甲赶到排头位置时，S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲=﹣4t+1200．

（2）T=t追及+t返回，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v400；

因此T与v的函数关系式为：T，此时队伍在此过程中行进的路程为400m．

【点睛】本题考查了行程问题中相遇、追及问题，同时还考查了函数思想方法的应用，切实理解变量之间的变化关系，由于时间有重合的部分，容易出现错误．

6.在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

（1）请写出甲的骑行速度为__________米/分，点M的坐标为__________；

（2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；

（3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等．

【解析】（1）由题意得：甲的骑行速度为：=240（米/分），

240×（11–1）÷2=1200（米），

则点M的坐标为（6，1200），

故答案为：240，（6，1200）；

（2）设MN的解析式为：y=kx+b（k≠0），

∵y=kx+b（k≠0）的图象过点M（6，1200）、N（11，0），

∴，解得，

∴直线MN的解析式为：y=–240x+2640；

即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y=–240x+2640；

（3）设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，

乙的速度：1200÷20=60（米/分），

如图1所示：∵AB=1200，AC=1020，

∴BC=1200–1020=180，

分5种情况：

①当0<x≤3时，1020–240x=180–60x，解得x=>3，

此种情况不符合题意；

②当3<x<–1时，即3<x<，甲、乙都在A、C之间，

∴1020–240x=60x–180，解得x=4，

【名师点睛】本题考查了待定系数法一次函数的解析式的运用，一次函数与二元一次方程组的关系的运用，行程问题的数量关系的运用，注意由图像得出有用的信息及分类讨论思想在解题时的应用．

7.有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有PQR三点顺次在同一条笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从P、Q两点同时同向出发，历时7分钟同时到达R点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，其中FG∥x轴，请结合图象，回答下列问题：

（Ⅰ）求甲机器人前2分钟的速度．

（Ⅱ）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式．

（Ⅲ）直接写出两机器人出发多少分钟时相距21千米．

【解析】解：（Ⅰ）由题意可得，

甲的速度为：（70+60×2）÷2＝（70+120）÷2＝190÷2＝95米/分，

答：甲机器人前2分钟的速度是95米/分；

（Ⅱ）由题意可得，

点F对应的纵坐标为：（95﹣60）×1＝35，

∴点F的坐标为（3，35），

设线段EF所在直线的函数解析式是y＝kx+b，

，解得，，

即线段EF所在直线的函数解析式是y＝35x﹣70；

（Ⅲ）设前二分钟y与x的函数解析式为y＝cx+d，

，得，

即前二分钟y与x的函数解析式为y＝﹣35x+70，

令y＝21，则21＝﹣35x+70，得x＝，

将y＝21代入y＝35x﹣70，得x＝，

设当4≤x≤7时，y与x的函数解析式为y＝mx+n，

，得，

即当4≤x≤7时，y与x的函数解析式为y＝，

将y＝21代入y＝，得x＝，

即两机器人出发分钟、分钟或分钟时相距21千米．

8.张师傅开车到某地送货，汽车出发前油箱中有油50升，行驶一段时间，张师傅在加油站加油，然后继续向目的地行驶．已知加油前、后汽车都匀速行驶，汽车行驶时每小时的耗油量一定．油箱中剩余油量Q（升）与汽车行驶时间t（时）之间的函数图象如图所示．

（1）张师傅开车行驶　   　  小时后开始加油，本次加油　   　升．

（2）求加油前Q与t之间的函数关系式．

（3）如果加油站距目的地210千米，汽车行驶速度为70千米/时，张师傅要想到达目的地，油箱中的油是否够用？请通过计算说明理由．

【解析】解：（1）观察函数图象可知：张师傅开车行驶3小时后开始加油，

45﹣14＝31（升）．

故答案为：3；31．

（2）设加油前Q与t之间的函数关系式为Q＝kt+b（k≠0），

将（0，50）、（3，14）代入Q＝kt+b，

得：，

解得：，

加油前Q与t之间的函数关系式为Q＝﹣12t+50（0≤t≤3）．

（3）该车每小时耗油量为：（50﹣14）÷3＝12（升），

∴到达目的地还需耗用12×（210÷70）＝36（升），

∵45＞36，

∴张师傅要想到达目的地，油箱中的油够用．

9.小明放学后从学校回家，出发5分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明．小强出发10分钟时，小明才想起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程y（米）与小强所用时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．

（1）求函数图象中a的值；

（2）求小强的速度；

（3）求线段AB的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

【答案】见解析。

【分析】对于（1），结合图象，全面、仔细分析运动对象和运动过程，（0,300）这个点的含义是：小明出发5分钟时，离学校300米，此时小强出发.由此可知小明离开学校后的速度.点A（10，a）的含义是：小强出发10分钟后，小明离学校a米，此时小明运动的时间为10+5=15分钟，结合以上两个条件，可以求出a的值；对于（2），小强出发12分钟后与小明相遇，此时小明运动了15+2=17分钟，其中最后两分钟是折返后的行程，由此可计算出两人相遇地点与学校之间的距离，再根据小强运动到相遇地点所用的时间，即可计算出小强的速度；对于（3），先确定点B的坐标，再根据待定系数法即可求出线段AB的函数解析式.

【解析】（1）a==900

（2）小明的速度为300÷5=60（米/分）

小强的速度为（900-60×2）÷12=65（米/分）

（3）由题意得B（12,780）

设AB所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0),

把A（10,900），B（12,780）代入得：，解得，

∴线段AB的解析式为y=-60x+1500，(10≤x≤12)

10.小丽的家和学校在一条笔直的马路旁，某天小丽沿着这条马路上学，先从家步行到公交站台甲，再乘车到公交站台乙下车，最后步行到学校（在整个过程中小丽步行的速度不变），图中折线ABCDE表示小丽和学校之间的距离y（米）与她离家时间x（分钟）之间的函数关系．

（1）求小丽步行的速度及学校与公交站台乙之间的距离；

（2）当8≤x≤15时，求y与x之间的函数关系式．

【点拨】（1）根据函数图象，小丽步行5分钟所走的路程为3900﹣3650=250米，再根据路程、速度、时间的关系，即可解答；

（2）利用待定系数法求函数解析式，即可解答.

【解析】

解：

（1）根据题意得：

小丽步行的速度为：（3900﹣3650）÷5=50（米/分钟），

学校与公交站台乙之间的距离为：（18﹣15）×50=150（米）；

（2）当8≤x≤15时，设y=kx+b，

把C（8，3650），D（15，150）代入得：，

解得：

∴y=﹣500x+7650（8≤x≤15）．

【总结】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂函数图象，获取相关信息，利用得到系数法求函数解析式．

11.小亮早晨从家里出发匀速步行去上学，小亮的妈妈在小亮出发后10分钟，发现小亮的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小亮上学的路线追赶小亮，结果与小亮同时到达学校．已知小亮在整个上学途中，他出发后t分钟时，他所在的位置与家的距离为s千米，且s与t之间的函数关系的图象如图中的折线段OA﹣AB所示．

（1）试求折线段OA﹣AB所对应的函数关系式；

（2）请解释图中线段AB的实际意义；

（3）请在所给的图中画出小亮的妈妈在追赶小亮的过程中，她所在位置与家的距离S（千米）与小亮出发后的时间t（分钟）之间函数关系的图象．（友情提醒：请对画出的图象用数据作适当的标注）

【解析】

解：（1）设线段OA所在直线的解析式为y=kx，

将x=12，y=1代入得：12k=1，解得：k=．

线段OA对应的函数关系式为：s=t（0≤t≤12）

线段AB对应的函数关系式为：s=1（12＜t≤20）．

（2）图中线段AB的实际意义是：小亮出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟．

（3）小亮的妈妈在追赶小亮的过程中，她所在位置与家的距离S（千米）与小亮出发后的时间t（分钟）之间函数关系的图象如图中折线段CD﹣DB所示．

根据题意可知：小亮从家到学校用时20分钟，妈妈用时10分钟，故妈妈的速度是小亮的2倍，故此妈妈从C到D妈妈用时6分钟中，从D倒B用时4分钟．故此可画出函数图象．

12.“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：

（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？

（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？

【答案】（1）当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步．

（2）走路快的人走500步才能追上走路慢的人．

【解析】（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．列方程求解即可。

由题意得

x：600＝100：60   ∴x＝1000

∴1000﹣600﹣100＝300

所以当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步．

（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解．

由题意得

y＝200+y

∴y＝500

所以走路快的人走500步才能追上走路慢的人．