（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 模型一 倍长中线模型（原卷版+解析版）

模型一倍长中线模型

【基础模型】

【基本模型】

  一、AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使DE=DA，连接CE，则△ABD≌△CED。（此处可看作△ABD经旋转180°后得到△CED）

  二、△ABC中，D为BC的中点，F为AB边上的任意一点（异于端点），连接ED并延长，使ED=DF，连接CF，则△BDE≌△CDF。

  三、AB∥CD，E为AC的中点，E为AB上任意一点（异于端点），连接FE并延长，交DC的延长线于点G，则△AFE≌△CGE。

【典例】如图，在△ABC中，AD⊥AC，AB=2AC，AD平分BC，求∠BAC的度数。

【分析】

1.凡遇中点条件优先考虑倍长。

2.凡遇90°以及二倍关系时，优先考虑将其整合至同一三角形当中。

【解析】

延长AD到E，使AD=DE。连结BE。

∵AD⊥AC，    

∴∠EAC=90°

∵AD平分BC，

∴DB=DC

在△ADC和△EDB中，DA=DE，∠ADC=∠EDB，DB=DC

∴△ADC≌△EDB，AC=BE，∠E=∠EAC=90°

∵AB=2AC，  

∴AB=2BE，即=BE，∠BAE=30°

∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=30°+90°=120°

【总结】倍长中线法的处理核心是将被倍长的线段的邻边平移到另一边（或第三个端点旁）。

【强化训练】

1. 如图，AD 为△ABC 的中线．

（1）求证：AB＋AC＞2AD．

（2）若 AB＝5，AC＝3，求 AD 的取值范围．

【解答】（1）证明见解析；（2）1＜AD＜4

【解析】

（1）证明：如图，延长 AD 至 E，使 DE＝AD，连接 BE，

∴AE＝2AD．

∵AD 是△ABC 的中线，∴BD＝CD，

在△BDE 和△CDA 中， ，

∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC，

在△ABE 中，AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD；

（2）解：由①可知 AE＝2AD，BE＝AC，

在△ABE 中，AB－BE＜AE＜AB＋BE，

∵AC＝3，AB＝5，∴5－3＜AE＜5＋3，

∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4

【分析】本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将说明不等关系和求线段取值范围的问题转化为说明全等，从而利用全等三角形的性质解决问题．

2、如图，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD．

【点拨】延长AD到点E，使AD＝DE，连接CE．通过证全等将AB转化到△CEA中，同时也构造出了2AD．利用三角形两边之和大于第三边解决问题.

【解析】

证明：如图，延长AD到点E，使AD＝DE，连接CE．

在△ABD和△ECD中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD．

∴△ABD≌△ECD（SAS）．

∴AB＝CE．

∵AC＋CE＞AE，

∴AC＋AB＞AE＝2AD．即AC＋AB＞2AD．

【总结】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边．要证明AB＋AC＞2AD，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ABD绕点D逆时针旋转180°得到△CED，也就把AB转化到△CEA中，同时也构造出了2AD．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．

3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且 AB＝AC．

求证：①CE＝2CD；②CB 平分∠DCE．

【解答】证明过程见解析

【解析】证明：如图，延长 CD 到 F，使 DF＝CD，连接 BF．由题意可得 CF＝2CD，

∵CD 是△ABC 的中线，∴BD＝AD，

在△BDF 和△ADC 中，  ，

∴△BDF≌△ADC（SAS），

∴BF＝AC，∠3＝∠A，

∵CB 是△AEC 的中线，

∴BE＝AB，

∵AC＝AB，

∴BE＝AC，

∴BE＝BF，

∵∠CBE 是△ABC 的一个外角，

∴∠CBE＝∠BCA＋∠A＝∠BCA＋∠3，

∵AC＝AB，∴∠BCA＝∠CBA，

∴∠CBE＝∠CBA＋∠3＝∠CBF，

在△CBE 和△CBF 中， ，

∴△CBE≌△CBF（SAS），

∴CE＝CF，∠4＝∠5，

∴CE＝2CD，

∴CB 平分∠DCE

4、已知△ABC中，AB=8，AC=6，AD是中线，求AD的取值范围.

【解析】

解：延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，

∵BD=CD，DE=AD，∠ADB=∠EDC，

∴△ABD≌△ECD，∴CE=AB，

∵AB=8，AC=6，CE=8，

设AD=x，则AE=2x，

∴2＜2x＜14，

∴1＜x＜7，

∴1＜AD＜7．

5. 如图，在△ABC 中，AD 交 BC 于点 D，点 E 是 BC 的中点，EF∥AD 交 CA 的延长线于点 F，交 AB 于

点 G，BG＝CF．求证：AD 为△ABC 的角平分线．

【解答】证明见解析

【解析】证明：如图，延长 FE 到 M，使 EM＝EF，连接 BM．

∵点 E 是 BC 的中点，

∴BE＝CE，

在△CFE 和△BME 中， ，

∴△CFE≌△BME（SAS），

∴CF＝BM，∠F＝∠M，

∵BG＝CF，

∴BG＝BM，

∴∠3＝∠M，

∴∠3＝∠F，

∵AD∥EF，

∴∠2＝∠F，∠1＝∠3，

∴∠1＝∠2，

即 AD 为△ABC 的角平分线

6. 如图，在正方形 ABCD 的边 CB 的延长线上取一点 E，△FEB 为等腰直角三角形，∠FEB＝90°，连接

FD，取 FD 的中点 G，连接 EG，CG．求证：EG＝CG 且 EG⊥CG．

【解答】证明见解析

【解析】证明：如图，延长 EG，交 CD 的延长线于 M．

由题意，∠FEB＝90°，∠DCB＝90°，

∴∠DCB＋∠FEB＝180°，

∴EF∥CD，

∴∠FEG＝∠M，

∵点 G 为 FD 中点，

∴FG＝DG，

在△FGE 和△DGM 中， ，

∴△FGE≌△DGM（AAS），

∴EF＝MD，EG＝MG，

∵△FEB 是等腰直角三角形，

∴EF＝EB，

∴BE＝MD，

在正方形 ABCD 中，BC＝CD，

∴BE＋BC＝MD＋CD，即 EC＝MC，

∴△ECM 是等腰直角三角形，

∵EG＝MG，

∴EG⊥CG，∠ECG＝∠MCG＝45°，

∴EG＝CG.

7、已知：ΔAOB和ΔCOD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH。

（1）如图1所示，易证OH=AD且OH⊥AD（不需证明）

（2）将ΔCOD绕点O旋转到图2，图3所示位置是，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论。

【答案】（2）证明见解析

【分析】（1）只要证明△AOD≌△BOC，即可解决问题；

①如图2中，结论：OH=AD，OH⊥AD．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，

由△BEO≌△ODA即可解决问题；

②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．由△BEO≌△ODA即可解决问题；

【解答】（1）证明：如图1中，

∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，

∴OC=OD，OA=OB，∵在△AOD与△BOC中，，

∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，

∵点H为线段BC的中点，∴OH=HB，

∴∠OBH=∠HOB=∠OAD，又因为∠OAD+∠ADO=90°，

所以∠ADO+∠BOH=90°所以OH⊥AD

（2）解：①结论：OH=AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，

易证△BEO≌△ODA∴OE=AD∴OH=OE=AD

由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，∴OH⊥AD．

②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．

易证△BEO≌△ODA∴OE=AD∴OH=OE=AD

由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°，∴∠AGO=90°∴OH⊥AD．

8、在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．

（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；

（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由

（3）若|CF﹣AE|=2，EF=2，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．

【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为或.

【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；

（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；

（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.

【解答】（1）如图1中，延长EO交CF于K，

∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，

∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，

∵△EFK是直角三角形，∴OF=EK=OE；

（2）如图2中，延长EO交CF于K，

∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，

∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，

∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，

∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，

∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；

（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，

∵|CF﹣AE|=2，EF=2，AE=CK，∴FK=2，

在Rt△EFK中，tan∠FEK=，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，

∴EK=2FK=4，OF=EK=2，

∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，

在Rt△PHF中，PH=PF=1，HF=，OH=2﹣，

∴OP=.

如图4中，点P在线段OC上，当PO=PF时，∠POF=∠PFO=30°，

∴∠BOP=90°，

∴OP=OE=，

综上所述：OP的长为或.