（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 类型一 数式规律（原卷版+解析版）

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类型一数式规律数式规律探索问题是考查学生创新能力的重要方式，其特点是：给出一组具有某种特定关系的 数、式，或是某一具体的问题情境，要求通过观察、分析、推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳 或猜想出一般性的结论 1、（2021·天水）观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（　　）A．2S2－S   B．2S2＋S   C．2S2－2S   D．2S2－2S－2【答案】A【解析】根据等式的规律，可知2100＋2101＋2102＋…＋2199＋2200＝2100(1＋2＋22＋…＋299＋2100)＝2100(1＋2101－2)＝2×(2100)2－2100，又2100＝S，即可用含S的式子表示这组数据的和为2S2－S．因此本题选A．2、（2021·娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（   ）14292632038435……   a18bxA．135         B．153       C．170       D．189【答案】C【解析】本题考查了数字类的规律题，由观察分析：每个正方形内有： 由观察发现： 又每个正方形内有： ，因此本题选C．3、（2021·玉林）观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10，12，…，若最后三个数之和是3000，则n等于（　　）A．499    B．500    C．501 D．1002【答案】C【解析】根据排列规律可知第n个数为2n，第(n－1)个数为2n－2，第（n－2）个数为2n－4，由于三个数的和为3000，所以可得2n＋2n－2＋2n－4＝3000，解得n＝501，故选择C．4、（2021·云南）按一定规律排列的单项式：a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，…，第n个单项式是（　　）A．（﹣2）n﹣1a B．（﹣2）na C．2n﹣1a D．2na【答案】A．【解析】根据题意，找出规律：单项式的系数为（﹣2）的幂，其指数为比序号数少1，字母为a．∵a＝（﹣2）1﹣1a，﹣2a＝（﹣2）2﹣1a，4a＝（﹣2）3﹣1a，﹣8a＝（﹣2）4﹣1a，16a＝（﹣2）5﹣1a，﹣32a＝（﹣2）6﹣1a，…由上规律可知，第n个单项式为：（﹣2）n﹣1a．5、探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T=_________，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T是（　　）A．363        B．153      C．159      D．456【答案】B；【解析】把6代入计算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；开始重复，则T=153．故选B．【点评】此题只需根据题意，任意找一个符合条件的数进行计算，直至计算得到重复的数值，即是所求的黑洞数．可以任意找一个3的倍数，如6．第一次立方后得到216；第二次得到225；…；第十次得到153；开始重复，则可知T=153．6．(1)有一列数，…，那么依此规律，第7个数是______；（2）已知依据上述规律，则        ．【答案】(1) ； （2）.【解析】(1) 符号：单数为负，双数为正，所以第7个为负.分子规律：第几个数就是几，即第7个数分子就是7，分母规律：分子的平方加1，第7个数分母就是50.所以第7个数是.（2）【点评】(1) 规律：（n为正整数）；（2）规律：（n为正整数）.7．（1）先找规律，再填数：（2）对实数a、b，定义运算★如下：a★b=，例如2★3=2-3=.计算[2★（﹣4）]×[（﹣4）★（﹣2）]=         .【答案】（1）；（2）1；【解析】（1）规律为：（n为正整数）.（2） [2★（﹣4）]×[（﹣4）★（﹣2）]=2-4×（-4）2=1.8.a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则           ．【答案】因为，……..三个一循环，因此 9、在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算8×9和6×7的两个示例．
 （1）用法国“小九九”计算7×8，左、右手依次伸出手指的个数是多少？
（2）设a、b都是大于5且小于10的整数，请你说明用题中给出的规则计算a×b的正确性？【答案】2，3【解析】（1）按照题中示例可知：要计算7×8，左手应伸出7-5=2个手指，右手应伸出8-5=3个手指；
    （2）按照题中示例可知：要计算a×b，左手应伸出（a-5）个手指，未伸出的手指数为5-（a-5）=10-a；右手应伸出（b-5）个手指，未伸出的手指数为5-（b-5）=10-b
两手伸出的手指数的和为（a-5）+（b-5）=a+b-10，
未伸出的手指数的积为（10-a）×（10-b）=100-10a-10b+a×b
根据题中的规则，a×b的结果为10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）
而10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）=10a+10b-100+100-10a-10b+a×b=a×b
所以用题中给出的规则计算a×b是正确的．10．将正偶数按下表排列：    第1列  第2列  第3列  第4列    第1行    2    第2行    4      6    第3行    8     10      12    第4行   14     16      18     20    ……根据上面的规律，则2006所在行、列分别是________．【答案】第45行第13列【解析】观察数列2，4，6，8，10，...每个比前一个增大2，2006是这列数字第1003个.每行数字的个数按照1，2，3，4，5，...，n 递增，根据等差数列求和公式，第n行（包括n行）以前的所有数字的个数.如果2006在第n行，那么设,解得n约为44.5，n取整数，因此n=45。到第44行（含44行）共有数字（44+1）×=990个；到第45行（含45行）共有数字（45+1）×=1035个；2006是第1003个，在45行13列.11．（2021·铜仁）观察下列等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；2+22+23+24+25＝26﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240＝　   　（结果用含m的代数式表示）．【答案】2m2﹣m【解析】由题意可得220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝220（1+221﹣2）＝220（220×2﹣1），再将220＝m代入，原式＝m（2m﹣1）=＝2m2﹣m．12．（2021·泰安）右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，......，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，......，第n个数记为an，则a4＋a200﹦___________．   【答案】20110【解析】本题考查了对有理数探索规律和有理数的运算，根据表中数据排列，会发现a2=3=2+1、a3=6=3+2+1、则a4=1+2+3+4=10，a200=1+2+3+4+…+199+200==20100，所以，a4＋a200﹦20110，因此本题答案为20110．13.（2021·达州）已知k为正整数，无论k取何值，直线l1：y=kx+k+1与直线l2：y=（k+1）x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是       ；记直线l1和l2与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1=       ，S1+S2+S3+…+S100的值为          .【答案】（﹣1,1），，【解析】联立函数解析式得kx+k+1=（k+1）x+k+2，解得x=﹣1，将x=﹣1代入直线l1的解析式得y=1，所以交点为（﹣1，1）．当k=1时，直线l1：y=x＋2和直线l2：y=2x+3与x轴的交点分别为（﹣2，0）和（﹣，0），所以围成的三角形面积S1=××1=，依次可得：S2=，S3=，S4=，……，发现Sn=，所以S1+S2+S3+…+S100=++++……+=（1﹣+﹣+﹣+……+﹣）=（1﹣）=×=. 14. （2021·张家界）观察下面的变化规律：，……根据上面的规律计算：__________．【答案】【解析】本题考查规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．由题干信息可抽象出一般规律：（均为奇数，且）．故．故答案：．15．(2021·青海)观察下列各式的规律：①1×3－22＝3－4＝－1；②2×4－32＝8－9＝－1；③3×5－42＝15－16＝－1．请按以上规律写出第4个算式______．用含有字母的式子表示第n个算式为______．【答案】4×6－52＝－1；n(n＋2)－(n＋1)2＝－1【解析】等式左边第一个数与序号数相同，第二、三两个数分别比第一个数大2、大1，等式右边总是－1，因此第4个算式是4×6－52＝－1．第n个算式是n(n＋2)－(n＋1)2＝－1．16．（2021·咸宁）按一定规律排列的一列数：3，，，，，，，，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是__________．【答案】 bc=a【解析】本题考查了数字的变化规律，∵一列数：3，，，，，，，，…，可发现：第n个数等于前面两个数的商，∵a，b，c表示这列数中的连续三个数，∴bc=a，因此本题填bc=a．17．（2021·滨州）观察下列各式：，根据其中的规律可得________（用含n的式子表示）．【答案】【解析】本题考查了观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，观察分母的变化为3、5、7，…，2n+1，分子的变化为： n2+（-1）n+1，因此本题填． 18．（2021·东营）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，…，依次进行下去，记点的横坐标为，若=2，则=             ．【答案】2【解析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．求根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出、、、、、…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2021除以3，根据商和余数的情况确定出即可．解：∵=2，∴点的纵坐标为1+1=2，∴点（1，2），∵⊥轴，点在双曲线，∴点（1，-1），∵⊥轴，∴点的纵坐标为-1，，解得，∴点（-2，-1），同理可求（-2，），∴（-，），（-，2），∴（1，2），（1，-1），…，∴依此类推，每3次变化为一个循环组依次循环，∵2021÷3=673余1，∴为第674循环组的第一个点，与点重合，∴==2．19．（2021·昆明）观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是           .【答案】【解析】本题考查了数字变化规律探究．解答过程如下：∵第1个数是，第2个数是，第3个数是，第4个数是，第5个数是，…，∴这一组数的第n个数是.20．（2021·武威）已知y＝﹣x+5，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应y值的总和是　　．【解析】当x＜4时，原式＝4﹣x﹣x+5＝﹣2x+9，当x＝1时，原式＝7；当x＝2时，原式＝5；当x＝3时，原式＝3；当x≥4时，原式＝x﹣4﹣x+5＝1，∴当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应y值的总和是：7+5+3+1+1+…+1＝15+1×2017＝2032．故答案为：2032．21、观察下列等式：第一行     3=4－1   第二行     5=9－4第三行      7=16－9第四行      9=25－16 …     …　按照上述规律，第n行的等式为____________   【答案】：2n+1=（n+1）2- n2。【解析】：等式的左边的特点是：奇数3、5、7、9 …，这些奇数可以用对应的序号表示，3=2×1+1， 5=2×2+1，7=2×3+1，9=2×4+1，其中1、2、3、4等恰好是对应的序号，所以，第n 个奇数为2n+1，这样，我们就把等式左边的规律找出来了；等式右边的特点是：被减数为4、9、16、25、…恰好是22，32，42，52，…等对应的幂，幂的底数与对应的序号的关系是：底数=对应序号+1，这样，我们就又找到了一部分规律，第n 个被减数为（n+1）2；减数分别为1、4、9、16…恰好是12，22，32，42，…等对应的幂，幂的底数与对应的序号的关系是：底数=对应序号，这样，我们就又找到了一部分规律，第n 个减数为n2；所以，本题的变化规律为：2n+1=（n+1）2- n2。22、观察下列各式： 请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来                 。【答案】：=(  n+1   )。【解析】：仔细观察我们发现，等式的左边的特点是：被开方数中，第一个加数分别是1、2、3、………等的自然数，第二个加数是一个分数，且分子都是1，是固定不变的，这就是一条规律；分母分别是3、4、5、6………，这些数与第一个加数的关系是：分母=第一个加数+2，这是第二规律；等式的右边的特点是：二次根式的系数分别是2、3、4、5、………，这些数与左边的被开方数中的第一个加数的关系是：二次根式系数=左边的被开方数中的第一个加数+1，这是右边的第一个规律；而被开方数也是一个分数，且分子是1，保持不变，这是一条规律，分数中的分母与左边分数中分母一样。这是第二条规律。这样的话，因为，第n个等式中的第一个加数为n，所以，第n个等式为：=(  n+1   )。23、已知：21=2，22=4，23=8，24=16、25=32，…………………，仔细观察，式子的特点，根据你发现的规律，则22008的个位数字是：     A 2         B 4          C  6       D 8【答案】：C【解析】：仔细观察，不难发现，当幂的指数能被4整除时，这个数的个位数字是6，当被4除，余数是3时，这个数的个位数字为8，当被4除，余数是2时，这个数的个位数字为4，当被4除，余数是1时，这个数的个位数字为2， 所以，问题解决的关键，就是看幂的指数被4除的情形就可了。我们知道2008是能被4整除的，所以，22008的个位数字是6，所以，选C。24、把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列：12，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，…   …   …   …   按此规律，可知第n行有         个正整数【答案】：【解析】：仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行有4个数字，第四行有8个数字，再用我们前面所用的方法，我们就不容易找到变化的规律了。我们不妨换一种思路。利用幂指数的思想试一试。由于第一个数字是1，联想到任何不是零的数的任何次幂都是1，所以，指数0=序号1-1，又因为第二行有2个数字，第三行有4个数字，第四行有8个数字，这些数字都是偶数，所以底数一定是偶数，是2、或4或6等等，但是，第二个数为2，指数等于2-1=1，所以，底数为2，这样，我们就找到规律，第n行中的数字个数为。25、将正整数按如图所示的规律排列下去。若用有序实数对（，）表示第排，从左到右第个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是         。【答案】：23【解析】：仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行有3个数字，第四行有4个数字，……第n行有n 个数字，这是第一条变化规律；我们再来观察一下，每一行最后的一个数字的特点，不难发现，第二行的最后一个数字3=第一行中的数字个数1+第二行数字个数2，第三行最后的数字6=第一行数字个数1+第二行数字2+第三行数字个数3；因此，第n行的最后一个数字=1+2+3+4+ …………+n=，所以，第六行最后的数字为：==21，所以，第七行的第一个数字为22，第二个数字位23，因为（7，2）的意义就是第七行第二个数的意思，所以，（7，2）表示的实数是 23。26.验证: =.验证：= = = ；验证: =．验证：== = ．(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n为任意自然数,且n≥2)表示的等式,并­给出证明．【答案】    (1)4=． 验证:4==== (2)由题设及(1)的验证结果,可猜想对任意自­然数n(n≥2)都有:n=．证明：∵n = ==，∴n=．27．我们把分子为1的分数叫做单位分数．如，，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，，，…（1）根据对上述式子的观察，你会发现，请写出□，○所表示的数；（2）进一步思考，单位分数（n是不小于2的正整数）＝，请写出△，⊙所表示的式，并加以验证．【答案】（1）□表示的数为6，○表示的数为30；（2）△表示的式为，⊙表示的式为．验证：，所以上述结论成立．28．（2021·安徽）观察以下等式：第1个等式：×(1 + )＝2 - ，第2个等式：×(1 + )＝2 - ，第3个等式：×(1 + )＝2 - ，第4个等式：×(1 + )＝2 - ，第5个等式：×(1 + )＝2 - ，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：　   　；（2）写出你猜想的第n个等式：　   　（用含n的等式表示），并证明．【解析】（1）由给出的5个等式发现，等式的左边是两个因数的乘积，第一个因数的分子依次是1，3，5，7，9，……；分母依次是3，4，5，6，7.另一个因数是两个数的和，其中一个加数固定是1，另一个加数是分数，这个加数的分子都是2，分母依次是1，2，3，4，5，根据这个规律可写出第6个等式；（2）根据（1）中发现的规律写出第n个等式，并运用分式的运算方法进行证明.【答案】解：(1)×(1＋)＝2－；(2)×(1＋)＝2－；证明:因为左边＝×(1＋)＝×＝＝2－＝右边，所以等式成立.29．（2021•宁夏）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：鞋号（正整数）222324252627…脚长（毫米）160±2165±2170±2175±2180±2185±2…为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据bn定义为[bn]如表2：序号n123456…鞋号an222324252627…脚长bn160±2165±2170±2175±2180±2185±2…脚长[bn]160165170175180185…定义：对于任意正整数m、n，其中m＞2．若[bn]＝m，则m﹣2≤bn≤m+2．如：[b4]＝175表示175﹣2≤b4≤175+2，即173≤b4≤177．（1）通过观察表2，猜想出an与序号n之间的关系式，[bn]与序号n之间的关系式；（2）用含an的代数式表示[bn]；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？【解析】解：（1）an＝21+n；[bn]＝160+5（n﹣1）＝5n+155；（2）由an＝21+n与[bn]＝5n+155解得：[bn]＝5an+50，把an＝42代入an＝21+n得n＝21，所以[b21]＝5×42+50＝260，则：260﹣2≤b21≤260+2，即258≤b21≤262．答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是258mm～262mm；（3）根据[bn]＝5n+155可知[bn]能被5整除，∵270﹣2≤271≤270+2，∴[bn]＝270，将[bn]＝270代入[bn]＝5an+50中得an＝44．故应购买44号的鞋．