专题19 圆锥曲线中的定值问题-2022年高考数学高分突破冲刺练（全国通用）

这是一份专题19 圆锥曲线中的定值问题-2022年高考数学高分突破冲刺练（全国通用），文件包含专题19圆锥曲线中的定值问题-2022年高考数学高分突破冲刺练全国通用解析版docx、专题19圆锥曲线中的定值问题-2022年高考数学高分突破冲刺练全国通用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
专题19  圆锥曲线中的定值问题一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知抛物线：，：交于，两点（为坐标原点），，的焦点分别为，，若直线，交于点，且，则的值为（    ）A．8 B． C．2 D．【解析】设，则由得，，即．因为，所以．由题意知，，所以直线的方程为，即，又点在直线上，所以．设，则，解得或，因为，所以，即，所以．故选:D．2．已知椭圆，设直线l与椭圆相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，记椭圆E的离心率为e，直线l的斜率为k，若C，D恰好是线段的两个三等分点，则（    ）A． B． C． D．【解析】设，，分别是线段的两个三等分点，，，则 ，得，，利用点差法，两式相减得，整理得到，即，即 。，故选：B3．已知椭圆，圆，过椭圆上任一与顶点不重合的点引圆的两条切线，切点分别为，直线与轴，轴分别交于点，则（　　）A． B． C． D．【解析】设，则切线的方程为，切线的方程为，因为点在切线上，所以，，所以直线的方程为，所以，因为点在椭圆上，所以，所以，故选：D4．已知椭圆的左右顶点分别为，过轴上点作一直线与椭圆交于两点（异于），若直线和的交点为，记直线和的斜率分别为，则（　　）A． B．3 C． D．2【解析】设，，，设直线的方程： 由和三点共线可知 ，解得： ，，（*）联立 ，得，，，代入（*）得， ， ，. 故选：A5．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点，若，则（    ）A． B．1 C．2 D．【解析】离心率为，解得，得，所以椭圆，过右焦点且斜率为的直线为：，即，为简化计算，令，则，由，联立可得：， ①设，由可得，由①可得：，因为，所以，解得，所以，由，可得.故选：A.6．设点为椭圆上的动点（除左右顶点外），椭圆的焦点为，离心率为，为的内心，则直线和直线的斜率之积为（    ）A． B． C． D．【解析】如图，连接延长交轴于，由内角平分线定理得，利用等比性质得，设，，，则，，∴，，又，，∴由可得，化简得，又∵，∴，∴，，∴．故选：B．7．已知动点，关于坐标原点对称，，过点，且与直线相切.若存在定点，使得为定值，则点的坐标为（    ）A． B． C． D．【解析】设，因为点关于坐标原点对称，所以是线段的中点，又因为以为圆心的圆过两点，所以有，因此有，因为点关于坐标原点对称，，所以.又因为以为圆心的圆与直线相切，所以有，把、代入中，得：，化简得：，因此点的轨迹是抛物线，该抛物线的焦点坐标为，准线方程为：，，由抛物线的定义可知：，所以有，由题意可知存在定点，使得当运动时，为定值，因此一定有，此时定点是该抛物线的焦点.故选：B.8．设P为椭圆C：（）上的动点，，分别为椭圆C的左、右焦点，为的内心，则直线与直线的斜率积（    ）A．非定值，但存在最大值且为 B．是定值且为C．非定值，且不存在定值 D．是定值且为【解析】如图所示，连接并延长交轴于，由三角形内角平分线定理可知：，所以，因此可得：.设，因此有：，可得：，由可得：，的坐标为：，，，由椭圆的定义可知：，再由三角形内角平分线定理可知：，由，因此有：.故选：D 9．已知点，动点满足：，直线与点的轨迹交于，两点，则直线，的斜率之积（    ）A． B． C． D．不确定【解析】，故，化简整理得到，故轨迹方程为椭圆，，，故椭圆方程为：.设，，则，化简得到，故，.故选：.10．过抛物线上点作三条斜率分别为，，的直线，，，与抛物线分别交于不同于的点．若，，则以下结论正确的是（    ）A．直线过定点 B．直线斜率一定C．直线斜率一定 D．直线斜率一定【解析】由题意，，，均不为0，设，则，同理可得，，由，得，即，①设直线的方程为，联立抛物线方程可得，则，代入①式可得，，此时直线的方程为，故直线斜率是定值，故B正确，A错误；由，得，即，②，同理设直线的方程为，联立抛物线方程可得，则，代入②式可得，此时的方程为，恒过定点，斜率不是定值，故C错误；由，，得，即，即③，同理设直线的方程为，联立抛物线方程可得，则，代入③式可得，此时的方程为恒过定点，斜率不为定值.故D错误.故选：B11．已知椭圆，过x轴上一定点N作直线l，交椭圆C于A，B两点，当直线l绕点N任意旋转时，有（其中t为定值），则（    ）A． B． C． D．【解析】设点，当直线与轴不重合时,设的方程为,代入椭圆方程,得: ,即.，，当直线l绕点N任意旋转时，有（其中t为定值）,当时, ，当时, ，,解得: 代入当时, .故选:B.12．已知双曲线1（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，记直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，当ln|k1|+ln|k2|最小时，双曲线离心率为（    ）A． B． C．1 D．2【解析】设,由题意知点为过原点的直线与双曲线的交点,∴由双曲线的对称性得关于原点对称,∴,,∴,∵点都在双曲线上,∴,，两式相减,得：，所以，∴,令,构造函数,由得,当时,;当时,所以当时,函数取得最小值,当且仅当时成立.此时离心率.故选：B二．填空题13．已知椭圆，是坐标平面内的两点，且与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在椭圆上，则__________.【解析】设的中点为，椭圆的左右焦点分别为，，如图，连接，，是的中点，是的中点，是的中位线；，同理；，在椭圆上，根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知：，． 14．已知点在抛物线上，过点的直线交抛物线于，两点，若直线，的斜率分别为，，则等于___________.【解析】由题意将的坐标代入抛物线的方程可得，解得，所以抛物线的方程为；由题意可得直线 的斜率不为0，所以设直线的方程为：，设，，，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，则，， 由题意可得，所以．15．过双曲线的右焦点的直线交双曲线于、两点，交轴于点，若，，规定，则的定值为.类比双曲线这一结论，在椭圆中，的定值为________.【解析】如图，设椭圆的右焦点为，过点的直线为，代入椭圆的方程得：，设，，则，，过点分别作轴的垂线，垂足为，则，，所以将，代入化简得：.16．已知三点到点的距离都是它到直线的距离的倍且，当直线与的斜率之积为（其中为坐标原 点）时，则点与点的距离之和的值为____________【解析】不妨设，则到直线的距离为，又，化简得：，动点的轨迹方程为，设    ，，，将代入得：，整理得：，即，，，又在曲线上，，，，即，的运动轨迹为半长轴，半短轴的椭圆，，即，点即为椭圆的两个焦点，根据椭圆的定义可得三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知圆：与圆：的公共点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）设点为圆：上任意点，且圆在点处的切线与交于，两点.试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）设公共点为，则，，即公共点的轨迹为椭圆.且，∴，又，∴，故曲线：.（2）方法一:当直线斜率不存在时，：，代入得，故，易知：；当直线斜率存在，设：，与圆相切，将方程代入，得，∴，，将代入，得，即综上，恒有，.法二:当直线斜率不存在时，：，代入得，；当直线斜率存在，设：，∵与圆相切，∴，即.将方程代入，得，∴，，，同理可得，故将，，及代入，可得.综上.18．已知椭圆：()的一个焦点与抛物线：的焦点重合，两条曲线在第一象限内的交点满足．（1）求椭圆以及抛物线的标准方程；（2）过椭圆另一焦点作直线(斜率存在但不为)与椭圆相交于A、两点，在椭圆长轴上取一点，使得为定值，试求点的坐标及这个定值．【解析】（1）由已知公共焦点，则，∴，设，则由抛物线定义有，即，则，∵点在椭圆上，∴代入方程得，解得，，∴椭圆的标准方程是，抛物线的标准方程为；（2）由（1）可知点的坐标为，设直线：，联立，消去化简得，设、，则，，设()，则：，若为定值，则，解得，此时，故点的坐标为，定值为．19．在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为，直线相交于点M且它们的斜率之积是，记动点M的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）过点作直线交曲线E于两点，且点P位于x轴上方，记直线的斜率分别为．①证明：为定值；②设点Q关于x轴的对称点为，求面积的最大值．【解析】（1）设点坐标为，则直线的斜率分别为，依题意知，化简得；（2）①设直线的方程为，则，又，消得，得因此，故为定值；②坐标为，则直线方程为，令解得:，即直线恒过点，故，当，即时，等号成立，此时面积最大值为．20．已知O为坐标系原点，椭圆的右焦点为点F，右准线为直线n.（1）过点的直线交椭圆C于两个不同点，且以线段为直径的圆经过原点O，求该直线的方程；（2）已知直线l上有且只有一个点到F的距离与到直线n的距离之比为.直线l与直线n交于点N，过F作x轴的垂线，交直线l于点M.求证：为定值.【解析】（1）设过点的直线为交于椭圆联立消去y得又因为以线段为直径的圆经过原点，则，则所求直线方程，（2）已知椭圆的离心率为，右准线直线n的方程为，因为直线上只有一点到F的距离与到直线n的距离之比为，所以直线与椭圆相切，设直线的方程为，联立消去y得到：①联立点N坐标为得到,由①21．已知椭圆的左、右顶点分别为，，为上不同于，的动点，直线，的斜率，满足，的最小值为-4.（1）求的方程；（2）为坐标原点，过的两条直线，满足，，且，分别交于，和，.试判断四边形的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【解析】（1）设，则，故，∴，又，由题意知：，解得，∴椭圆的方程为.（2）根据椭圆的对称性，可知，，∴四边形为平行四边形，所以.设，的斜率分别为，，，，则①，②.又，，即.当的斜率不存在时，，.由①②，得，结合，解得，.∴.当的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组得，得，则，即，.∵，∴，整理得：.由直线过，，将代入，整理得.综上，四边形的面积为定值，且为.22．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C有且仅有一个公共点．（1）求椭圆C的方程及A点坐标；（2）设直线l与x轴交于点B．过点B的直线与C交于E，F两点，记点A在x轴上的投影为G，T为BG的中点，直线AE，AF与x轴分别交于M，N两点．试探究是否为定值?若为定值，求出此定值；否则，请说明理由．【解析】（1）设椭圆的半焦距为，则，则，，所以椭圆的方程为：，将椭圆的方程与直线的方程联立得：,所以，解得：，所以，，故椭圆的方程为，此时将代入得：，所以，此时。所以点坐标为；（2）将直线联立，得到，所以。因为，，所以，①当斜率时，，或，，，或，，此时有，②当斜率时，设：，代入得：，设，，所以，，所以：，则，同理，，所以，对分子：对分母：，所以.综上，为定值.