专题19 抛物线中的定点、定值、定直线问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用）

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一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知点，过点作直线l与抛物线相交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为，，则（ ）
A．B．C．2D．无法确定
【解析】设直线方程为，联立抛物线方程可得，
设，，可得，
则
故选：A
2．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），（点为坐标原点），过点作直线的垂线与轴交于点，则（ ）
A．6B．C．4D．
【解析】法一：依题意，设，由，得为的中点且，
则，易得直线的垂线的方程为.
令，得，故，由抛物线的定义易知，
故，故选:A.
法二：特殊值法.不妨设，则，则，易得直线的垂线的方程为.令，得，故，又，故.故选:A.
3．过抛物线的焦点的直线l交抛物线于两点，若点P关于x轴对称的点为M，则直线QM的方程可能为
A．B．
C．D．
【解析】由题意，抛物线的焦点为，准线方程为，
设直线方程为，联立方程，整理得，
设，则，，
过三点向准线作垂线，垂足分别为，准线与轴交于点，
则
而，所以，
因为有公共点，所以三点共线，即直线一定过点,
由四个选项可知，只有选项经过点.故选：D.
4．已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【解析】设直线方程为 ，
联立 ，整理得： ，
需满足 ，即 ，则 ，
由 ，得： ，
所以 ，即 ，故 ，
所以直线l为：，当时，，即直线l恒过定点，故选：A.
5．已知抛物线的焦点为，过且不与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，为轴上一点，满足，则（ ）
A．为定值B．为定值
C．不是定值，最大值为D．不是定值，最小值为
【解析】若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意；
由题意，，设直线的方程为，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，则，
所以，，
线段的中点为，所以，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以，，因此，.故选：A.
6．已知点，设不垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点、，若轴是的角平分线，则直线一定过点（ ）
A．B．C．D．
【解析】根据题意，直线的斜率不等于零，且直线过的定点应该在轴上，
设直线为，与抛物线方程联立，消元得，
设，由轴是的角平分线，
∴且， ，
∴、的斜率互为相反数，即，整理得，即，∴，解得，故直线过定点.故选：A．
7．已知、、是抛物线上三个不同的点，且抛物线的焦点是的重心，若直线、、的斜率存在且分别为、、，则（ ）
A．3B．C．1D．0
【解析】设，，则，，
两式相减，得，则，
设，同理可得，，
因为焦点是的重心，所以，
则，故选：D.
8．已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线交此抛物线于M．N两点，交y轴于点E，若，，则（ ）
A．B．C．1D．
【解析】根据条件可得F（1，0），
则设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），
所以E（0，﹣k），联立，整理可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
则x1+x2＝，x1x2＝1，因为，，
所以λ1（1﹣x1）＝x1，λ2（1﹣x2）＝x2，即有λ1＝，λ2＝，
所以.故选：D.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．如图，过点作两条直线和：（）分别交抛物线于，和，（其中，位于轴上方），直线，交于点．则下列说法正确的（ ）
A．，两点的纵坐标之积为
B．点在定直线上
C．点与抛物线上各点的连线中，最短
D．无论旋转到什么位置，始终有
【解析】设点，
将直线l的方程代入抛物线方程得：.则，故A正确；
由题得，则，，
直线的方程为，直线的方程为，
消去y得，将代入上式得，故点Q在直线上，故B正确；
设抛物线上任一点，则，当时，最小，此时，即最短，故C正确；
因为，但，所以D错误.
故选：ABC.
10．已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（ ）
A．B．当时，
C．当时，直线AB的斜率为2D．直线AB过定点
【解析】因为为准线上的点，所以，解得，故A错；
根据抛物线方程得到，则，设切点坐标为，，
则，整理得，同理得，
所以，为方程的解，，
所以，则，故B正确；
由B选项得，所以，故C错；
由B选项得，又，联立得，
同理得，所以直线AB的方程为，恒过点，故D正确．
故选：BD．

11．已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点）则下列说法正确的是（ ）
A．若、、三点共线，则的最小值为
B．若，则的面积为
C．若，则直线过定点
D．若，过的中点作于点，则的最小值为
【解析】对于A选项，易知抛物线的焦点为，
当直线与轴重合时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，，则，
易知，，所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，A对；
对于B选项，设点，，可得，所以，，
则，所以，，B对；
对于C选项，易知的斜率存在，设直线的方程为，
设点、，由于直线不过原点，所以，，
联立可得，，
由韦达定理可得，所以，，
因为，则，解得，
所以，直线的方程为，故直线过定点，C错；
对于D选项，过点作于点，过点作于点，
设，，所以，
因为
，
所以，则的最小值为，当且仅当时，等号成立，D对．
故选：ABD．
12．已知抛物线，为轴正半轴上一点，则（ ）
A．存在点，使得过点任意作弦，总有为定值
B．不存在点，使得过点任意作弦，有为定值
C．存在点，使得过点任意作弦，总有为定值
D．不存在点，使得过点任意作弦，有为定值
【解析】设，，，
由，可得，则有，
所以，
，
所以+，
所以当且仅当时，，
即存在点，使得为定值，故A正确，B错误；
由题意可得，
，
所以，
如果为定值，则必有，而此方程组无解，
所以不为定值，故C错误，D正确.
故选：AD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．设A、B为抛物线上的点，且（O为原点），则直线必过的定点坐标为 ．
【解析】设直线的方程为，
联立方程组，解得，即，
因为，则的方程为，
联立方程组，解得，即，
可得直线的方程为，令，可得，即直线必经过定点.
14．已知抛物线和直线，点为直线上的动点（不在轴上），以点为圆心且过原点的圆与直线交于，两点，若直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的斜率分别为，，则 ．
【解析】如图，设直线，的方程分别为，，则，，，
因为为圆的直径，，所以．
联立，消去得，，，同理可得，，
，，．
15．已知AB，CD是过抛物线焦点F且互相垂直的两弦，则的值为 .
【解析】由题设，直线、的斜率一定存在，
设为，，，联立抛物线方程，可得且，
∴，，而，，
∴，
由，设为，，，联立抛物线，
可得，同理有，，∴，
综上，.
16．经过抛物线的焦点的直线交此抛物线于，两点，抛物线在，两点处的切线相交于点，则点必定在直线 上．（写出此直线的方程）
【解析】抛物线中，焦点为，设直线方程为，代入抛物线整理得，设，，则，．
由得，∴过点切线斜率为，切线方程为，即，同理过点切线方程为，两式相除得，整理得，
解得，所以点在准线上．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知抛物线，，是C上两个不同的点．
(1)求证：直线与C相切；
(2)若O为坐标原点，，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上．
【解析】（1）联立得，因为在C上，则，
所以，因此直线与C相切．
（2）由（1）知，设，切线的方程为，切线的方程为，
联立得，因为，，所以．
又因为，所以，
解得，所以．故点P在定直线上．
18．设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为和．求证：为定值．
【解析】（1）由题意，，直线l的方程为，代入，得．于是，∴焦点弦，解得p＝2．故抛物线E的方程为．
（2）因在E上，∴m＝2．设E在P处的切线方程为，代入，得．由，解得t＝1，
∴P处的切线方程为y＝x＋1，从而得．
易知直线MN的斜率存在，设其方程为，设，．
将代入，得．
于是，，且，．
∴
．
故为定值2．
19．已知过点的直线交抛物线于A，B两点，且（点O为坐标原点），M，N，P是抛物线上横坐标不同的三点，直线MP过定点，直线NP过定点.
(1)求该抛物线的标准方程；
(2)证明：直线MN过定点.
【解析】（1）设直线AB方程为，，，
联立得，消x得，得，，
因为，所以，即，，
所以抛物线的解析式为：.
（2）设，，，
因为M、P、C三点共线，所以，即，①
因为N、P、D三点共线，所以，即，②
直线MN方程为：，即③
由①②得，即，
代入③得，所以直线MN过定点.
20．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（M在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，
(1)求的值.
(2)若斜率不为0的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）如图所示，过点作，垂足为交轴于点，
由题得，所以，因为，所以△是等边三角形，
因为是的中点，所以，故，
所以，，所以，所以，即.

（2）由（1）可知抛物线的方程是，
设直线的方程为，，
因为，所以，
即，即.
又，所以，故.
联立，消去，得，其中，
则，所以，所以.
设点到直线和直线的距离分别为，则由得，
所以点到直线与到直线的距离之比是定值，定值为3.
21．已知动圆与圆外切，与轴相切，记圆心的轨迹为曲线，．
(1)求的方程；
(2)若斜率为4的直线交于、两点，直线、分别交曲线于另一点、，证明：直线过定点．
【解析】（1）设，动圆的半径为，圆的圆心为，半径为1，
因为动圆与圆外切，可得或，
化为或，
所以点的轨迹的方程为：或．
（2）
证明：设直线的方程为，设，，，，
联立，化为，△，解得．所以，，
直线的方程为，与联立，
解得，，所以，．同理可得，，
，
所以直线的方程为：，
化为，
，，
根据对应系数相等可得，得，则，
所以直线恒过定点，．
22．已知抛物线E：（p>0），过点的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．当l1的斜率为时，
(1)求E的标准方程：
(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．
【解析】（1）当的斜率为时，得方程为，
由,消元得，，，；
由弦长公式得，
即，解得或（舍去），满足，
从而的标准方程为.
（2）法一：因为l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点，所以直线斜率存在
设直线的方程为，设，
由，消去得，则.
设直线的方程为，
同理，消去得可得．
直线方程为，即，
化简得，同理，直线方程为，
因为在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证的横坐标为定值即可．由消去，
因为直线与相交，所以，
解得
所以点的横坐标为2，即直线与的交点在定直线上．
法二：设直线方程为，由消去得，
设，则．
设直线的方程为，同理可得．
直线方程为，即，
化简得，同理，直线方程为，．
因为在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证的横坐标为定值即可．由消去，
因为直线与相交，所以，
解得
所以点的横坐标为2，即直线与的交点在定直线上．