2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：利用导数研究函数的最值（一）（含解析）

《利用导数研究函数的最值》（一）

考查内容：主要涉及利用导数求函数的最值，已知函数的极值求参数（取值范围）

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已经知道函数在上，则下列说法不正确的是(    )

A．最大值为9 B．最小值为

C．函数在区间上单调递增 D．是它的极大值点

2．若函数恰有两个零点，则在上的最大值为（    ）

A． B．1 C． D．

3．函数在上的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．

4．直线分别与曲线，相交于，两点，则的最小值为（）

A．1 B．2 C． D．

5．函数，直线与的图象相交于、两点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

6．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

7．已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则的值为(    )

A． B． C．1 D．

8．已知函数在区间（1，3）上有最大值，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数，若时，在处取得最大值，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

10．若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数()在上的最大值为3，则(  )

A． B． C． D．

12．设函数，若不等式在上有解，则实数的最小值为（   ）

A． B． C． D．

二．填空题

13．设函数，若无最大值，则实数的取值范围是__．

14．已知函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围是_____________．

15． 已知e为自然对数的底数，若对任意，总存在唯一的，使得，成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

16．不等式对于定义域内的任意恒成立，则的取值范围为__

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．设函数的图象与直线相切于点.

（1）求函数的解析式；

（2）求函数在区间上的最值；

18．设为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为.

（1）求、、的值；

（2）求函数的单调递增区间，极大值和极小值，并求函数在上的最大值与最小值．

19．已知函数．

（1）求函数的单调区间．

（2）若对恒成立，求实数的取值范围.

20．，.

（1）若在是增函数，求实数a的范围；

（2）若在上最小值为3，求实数a的值；

（3）若在时恒成立，求a的取值范围.

21．已知，函数，．

（1）求函数在处的切线；

（2）若函数在处有最大值，求实数a的取值范围．

22．已知函数．

（1）若函数有两个零点，求的取值范围；

（2）证明：当时，关于的不等式在上恒成立．

《利用导数研究函数的最值》（一）解析

1.【解析】，令，解得或，

所以当，时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，C错误；

所以是它的极大值点，D正确；

因为，所以函数的最大值为9，A正确；

因为，所以函数的最小值为，B正确.故选：C

2.【解析】令，

所以或，显然，

∵恰有两个零点，，∴另一个极值点必为零点，

，解得，所以.

所以

∴在上的最大值为，故选：C．

3.【解析】，当时，；

当时，．

又，所以．故选：B

4.【解析】设A（a，2a+1），B（a，a+lna），

∴|AB|＝，令y，则y′1，

∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

∴x＝1时，函数y的最小值为，

∴|AB|＝，其最小值为2.故选：B．

5.【解析】联立，解得，可得点.

联立，解得，可得点.

由题意可得，解得，，

令，其中，.

当时，，此时，函数单调递减；

当时，，此时，函数单调递增.

所以，.

因此，的最小值为.故选：A.

6.【解析】对函数进行求导，得，当，，当或时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在处函数取得极小值，因为函数在端点处的函数值无法取到，所以区间内必存在极小值点，且此极小值点为最小值，因此，解得，又因为，即函数在时的函数值与处的极小值相同，为了保证在区间上最小值在取到，所以，综上，.故选：C

7.【解析】由已知及奇函数的性质可得，在上有最大值，

又，当时，在区间上单调递增，不满足题意；

当时，且时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，所以，解得.故选：C

8.【解析】.
令，

由韦达定理可得若函数有零点，则必有一个负零点和一个正零点，
又由函数在区间（1，3）上有最大值，

则在区间（1，3）上有零点，
由零点存在性定理可得，解得.
∴实数a的取值范围是.故选：A.

9.【解析】

令，∴

∴时，，在单调递增；

∴时，，在单调递减．如图

∴，

∴当时，，∴，在上单调递增，不成立．

当时，在上单调递减，成立；

当时，有两个根，

∵当时，，；

当时，，；

当时，，

∴在，上单调递增，在上单调递减，显然不成立．

综上，．故选：C

10.【解析】由得或，

可以判断在处取得极小值，在处取得极大值.令，得或，令，得或，

由题意知函数在开区间内的最大、最小值只能在和处取得，

结合函数的图象可得：，解得，

故的取值范围是.故选：A

11.【解析】， ，令，，

①当时，，，，在上单调递增，，即（舍去），

②当时，，，；时，，，故在上单调递增，在上单调递减，

，即，

令()，，

在上单调递减，且，，故选B.

12.【解析】若 有解，即 的最小值 ，设 ，  ，

整理为： ，

再设 ， ，解得 ，

当 时， ，当， ，

所以当 时，取得最小值， ，

即恒成立，所以当 时， ，

当 时， 所以函数 在 时，取得最小值， ，即，

所以 的最小值是 ，故选B.

13.【解析】f′（x），令f′（x）＝0，则x＝±1，

若f（x）无最大值，则，或，

解得：a∈（﹣∞，﹣1）．故答案为

14.【解析】由题可得，因为函数在区间上存在最值，所以，即，解得，故实数的取值范围是．

15.【解析】设，，，，

，时，，递减，时，，递增，∴，，，∴

在上是减函数，∴，

由题意，∴，即．故选：B．

16.【解析】已知对于定义域内的任意恒成立，

即对于内的任意恒成立，

令，则只需在定义域内即可，

，

，当时取等号，

由可知，，当时取等号，

，

当有解时，令，则，

在上单调递增，又，，

使得，，则，

所以的取值范围为.

17.【解析】（1），，

根据题意，，

解得，.故.

（2），取，解得，.

故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

，，，.

故函数的最大值为，最小值为.

18.【解析】（1）为奇函数，，

即，.

的最小值为，.

又直线的斜率为，因此，

故，，；

（2），，列表如下：

所以函数的单调递增区间为和，

的极大值为，极小值为，

又，，所以当时，取得最小值为，

当时，取得最大值.

19.【解析】（1）令，解得或，

令，解得：.    

故函数的单调增区间为，单调减区间为. 

（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，，，∴，                          

∵对恒成立，

∴，即，∴

20.【解析】（1）∵，∴.

∵在上是增函数，∴在上恒成立，

即在上恒成立.

令，则，.

∵在上是增函数，∴，∴.

所以实数a的取值范围为；

（2）由（1）得，.

①若，即，则，即在上恒成立，

此时在上是增函数，所以，解得（舍去）；

②若，即，令，得.

当时，，所以在上是减函数，

当时，，所以在上是增函数.

所以，解得（舍去）；

③当时，在上恒成立，

∴在区间为减函数，∴，解得.

综上可得，；

（3）因为，在时恒成立，所以，在时恒成立，

即，在时恒成立，

令，所以，

设，所以在时恒成立，

所以在上是增函数，即在上是增函数，

所以，所以在上是增函数，所以，

所以，解得，所以的取值范围.

21.【解析】（1）因为，

则，又有，

故函数在处的切线为．

（2）由知函数的图象过定点，且，又因为函数在处有最大值，则，即．

当时，在上恒成立，在上单调递增，所以在处有最大值，符合题意；

当时，，令，则，，从而知在上单调递增，上单调递减，上单调递增，故函数在上的最大值为或．

又因为，所以，即，令，则在上单调递增，且，可得，则．

综上，实数的取值范围为

22.【解析】（1）令，；

令，，

令，解得，令，解得，

则函数在上单点递增，在上单点递减，．

要使函数有两个零点，则函数的图像与有两个不同的交点．

则，即实数的取值范围为．    

（2），；

设，；

设，，则在上单调递增.

又，.，使得，

即，.

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减.

.

设，.

当时，恒成立，则在上单调递增，

，即当时，.  

当时，关于的不等式在上恒成立.