2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：利用导数研究函数的最值（二）（含解析）

《利用导数研究函数的最值》（二）

考查内容：主要涉及函数单调性、极值与最值的综合问题

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知函数，给出以下四个结论：

(1)是偶函数；   

(2)的最大值为2；  

(3)当取到最小值时对应的；

(4)在单调递增，在单调递减.

正确的结论是（    ）

A．(1) B．(1)(2)(4) C．(1)(3) D．(1)(4)

2．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）

A． B．

C． D．

3．函数在上为减函数，则（   ）

A． B． C． D．

4．若函数在内有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数在处取得极值，则（  ）

A． B． C． D．

6．“”是“函数有极值”的（    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

7．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ）

A． B． 

C． D．

8．已知函数，函数（），若对任意的，总存在使得，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

9．已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是(    )

A． B． C． D．

10．已知函数，，如果存在，使得对任意的，都有成立.则实数的取值范围是（    ）

A． B． 

C． D．

11．已知函数，若恒成立，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式有解，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

二．填空题

13．若存在，使得不等式成立，则实数m的最大值为________．

14．已知函数，.若存在，使得成立，则的最小值为______.

15．关于的不等式恒成立，实数的取值范围是__________.

16．已知为常数，函数有两个极值点，则的取值范围为____

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，，求的最小值.

18．已知函数．

（1）当时，求的最值；

（2）讨论的零点个数．

19．已知函数，．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数有两个极值点，，求的最小值．

20．已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求的单调区间；

（3）若对于任意，都有，求实数的取值范围.

21．已知函数.

（1）当时，求证：当时，；

（2）若函数有两个零点，求的值.

22．设函数.

（1）证明：函数在单调递增；

（2）当时，恒成立，求整数的最小值.

《利用导数研究函数的最值》（二）解析

1.【解析】∵，∴，

∴函数为偶函数，故（1）对；又，

∴当时，，则，∴在上单调递增，

结合偶函数的性质可知在单调递减，

∴函数在处取得最小值，无最大值，

故（3）对，（2）（4）错，故选：C．

2.【解析】，

若f(x)在(1,3)上不单调，令g(x)=2ax2−4ax−1，

则函数g(x)=2ax2−4ax−l与x轴在(1,3)有交点，

a=0时，显然不成立，

a≠0时,只需，解得： .本题选择D选项.

3.【解析】因为在上为减函数，所以在上恒成立，则.故选A.

4.【解析】，因为函数在内有且只有一个极值点，所以，，又当时，，令，满足题意．所以，选C.

5.【解析】

本题选择C选项.

6.【解析】若函数函数有极值，则应该有解，即，得；根据函数极值的定义，可知“”时，“函数不一定有极值”，所以“”是“函数有极值”的必要不充分条件，故选B.

7.【解析】由题意可得：，

满足题意时：恒成立，即：，

令，则：，

很明显是定义域内的单调递增函数，则：，

则函数在定义域内单调递增，，

由恒成立的结论有：实数的取值范围是.本题选择C选项.

8.【解析】由题意，函数的导数为，

当时，，则函数为单调递增；

当时，，则函数为单调递减，

即当时，函数取得极小值，且为最小值，

又由，可得函数在的值域，

由函数在递增，可得的值域，

由对于任意的，总存在，使得，

可得，即为，解得，故选B.

9.【解析】因为

所以

因为在上是单调减函数，所以

即，所以 ，

当时， 恒成立，当 时， ，

，  ，

令 ，可知双刀函数，在 上为增函数，所以 ，即，所以选C

10.【解析】求导函数，可得，

，，，

，

在上单调递增，，

如果存在，使得对任意的，都有成立，

，.故选：A.

11.【解析】由题意，函数，则，

当时，，单调递增，此时函数无最小值，

不符合题意，舍去；

当时，令，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以当时，函数取得最小值，最小值为，

因为恒成立，即，可得，

则，，

设，则，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

所以当时，函数取得最大值，最大值为，

故的最大值为.故选：B.

12.【解析】由题可得：（），

因为函数有两个不同的极值点，，

所以方程有两个不相等的正实数根，

于是有解得.

若不等式有解，

所以

因为

.

设，

，故在上单调递增，

故，所以，

所以的取值范围是.故选：C.

13.【解析】因为，所以等价于，

记，由题意知，

因为，

所以当时，；当时，，

所以在单调递减，在单调递增，

所以当时，，

而，，又，

所以，所以

所以实数的最大值为.故答案为：.

14.【解析】，

，则

，上恒成立，

所以在单调递增，所以 则

设 ，则

令得 ；令得

在上单调递减，在上单调递增，

，的最小值为，故答案为：

15.【解析】在恒成立，即恒成立，

即，令，则，

当，即，解得，

当，即，解得

所以在上为减函数，在上增函数，

所以，所以

故答案为：.

16.【解析】由题意，函数的定义域为，

则，

因为函数有2个极值点，所以有两个不相等的实数根，令，则，

若时，，所以函数单调递增，

所以函数在上不可能有两个实数根，（舍去）；

若时，令，即，解得，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以当时，函数求得极大值，极大值为，

又由时，，时，，

要使得在区间有两个不相等的实数根，

则满足，解得，

即实数的取值范围是.故答案为：.

17.【解析】（1），，

，

由得或，

①若，则，由得；得或，所以，若，则在递增，在递减，在递增；

②若，则，，在定义域递增；

③若，则，由得；得或，

所以，若，则在递增，在递减，在递增.

（2）由（1）知，有两个极值点时，且，不妨设和，

，，

所以，

设，

则，，

由得，在内单调递减，

由得，在内单调递增.

所以当时，.

所以，当且时，的最小值为.

18.【解析】（1）因为，所以，

所以，令，得；令，得，

则在上单调递增，在上单调递减，

故在时取得最大值，，没有最小值．

（2）令，得．

设，则，

当时，，当时，，

所以 在上单调递增，在上单调递减，

所以，而当时，；当时，．

所以的图像如图所示

①当时，方程无解，即没有零点；

②当时，方程有且只有一解，即有唯一的零点；

③当时，方程有两解，即有两个零点；

④当时，方程有且只有一解，即有唯一的零点．

综上，当时，没有零点；

当或时，有唯一的零点；

当时，有两个零点．

19.【解析】（1）当时，，，

，，则，所以，

即曲线在点处的切线方程为．

（2）函数，，，

因为，是函数的极值点，所以，是方程的两不等正根，则有，，，所以，，即，，且有，，

令，则，，，当上单调递减，当上单调递增．所以．

所以的最小值为．

20.【解析】（1）因为函数，

所以，.

又因为，则切点坐标为，

所以曲线在点处的切线方程为.

（2）函数定义域为，由（1）可知，.

令，解得.与在区间上的情况如下：

所以，的单调递增区间是；的单调递减区间是.

（3）当时，“”等价于“”.

令，，，.

令解得，

当时，，所以在区间单调递减.

当时，，所以在区间单调递增.

而，.

所以在区间上的最大值为.

所以当时，对于任意，都有.

21.【解析】（1）当时，

则，解得由，则知：

知时，，即恒成立

知为上的减函数，即，证毕；

（2）由题意知有两个零点，设函数，则

，即，解得或，则

所以，极小值为；极大值为；当时，，

当时，且，则 草图如下：

综上，有两个零点，有，即当时，有两个零点.

22.【解析】（1）因为，记，所以，

当时，恒成立，所以，在单调递增，

所以，，所以当时，恒成立，

所以，函数在单调递增

（2）由（1）知，，令解得，

当时，，即单调递减；

当时，，即单调递增；

又，，所以在上存在唯一，

满足，即.

当时，，即单调递增；

当时，，即单调递减；

所以，当时，，

因为，可得

所以，，由，可得.

因为恒成立，且，所以整数的最小值为