2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：利用导数研究函数的极值（一）（含解析）

《利用导数研究函数的极值》（一）

考查内容：主要涉及求已知函数的极值

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．函数有（    ）

A．极大值6，极小值2 B．极大值2，极小值6

C．极小值－1，极大值2 D．极小值2，极大值8

2．函数在上的极大值为（    ）

A． B．0 C． D．

3．已知函数，则的极大值点为(  )

A． B． C． D．

4．函数的一个极小值点为（    ）

A． B． C． D．

5．函数在的极大值是（    ）

A．19 B．3 C．-1 D．-17

6．若是函数的一个极值点，则函数的极小值为（    ）

A． B． C． D．

7．若函数的极小值为-1，则函数的极大值为（    ）

A．3 B．-1 C． D．2

8．正项等比数列中的是函数的极值点，则（ ）

A． B．

C． D．

9．若函数的极大值为M，极小值为N，则（    ）

A．与a有关，且与少有关 B．与a无关，且与b有关

C．与a无关，且与b无关 D．与a有关，且与b无关

10．已知函数，则（）

A．只有极大值 B．只有极小值 

C．既有极大值也有极小值 D．既无极大值也无极小值

11．已知，则

A．当时，存在极小值 B．当时，存在极大值

C．当时，存在极小值 D．当时，存在极大值

12．已知函数，其导函数为，则以下4个命题：

①的单调减区间是；②的极小值是-15；③有且只有一个零点；④当时，对任意的，恒有.

其中真命题的个数为（   ）

A．1 B．2

C．3 D．4

二．填空题

13．函数的极小值是__________

14．已知函数，则的极大值为________．

15．若是函数的极值点，则的极大值为___

16．已知函数的图象关于对称，记函数的所有极值点之和与积分别为，，则______.

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知函数，在处的切线方程是，其中是自然对数的底数.

（1）求实数，的值；

（2）求函数的极值.

18．已知函数在处取得极值.

（1）求常数k的值； 

（2）求函数的单调区间与极值.

19．已知函数，.

（1）若，求的单调递增区间和单调递减区间；

（2）求的极值点.

20．已知函数.

（1）讨论的极值；

（2）若有两个零点，，证明：.

21．已知函数，.

（1）求函数的极值；

（2）当时，若直线：与曲线没有公共点，求的取值范围.

22．已知，函数.

（1）判断极值点的个数；

（2）若是函数的两个极值点，证明：.

《利用导数研究函数的极值》（一）解析

1.【解析】令，解得，则随的变化如下表

所以，当时，函数有极大值为；当时，函数有极小值为.故选:A.

2.【解析】由可得，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

所以函数在上的极大值为，故选：A

3.【解析】因为，所以，

所以，

因此，所以，由得：；由得：；所以函数在上单调递增，在上单调递减，因此的极大值点.故选D

4.【解析】因为，所以，

A选项，当时，，在的左侧附近，；在的右侧附近，，所以是极大值点，故A错；

B选项，当时，，在的左侧附近，；在的右侧附近，，所以是极大值点，故B错；

C选项，当时，，所以不是极值点；

D选项，当时，，在的左侧附近，；在的右侧附近，，所以是极小值点，故D正确.故选：D.

5.【解析】由于,由得出.
当时, ,该函数在单调递减,
当时, ,该函数在单调递增,
当时, ,该函数在单调递增.
则该函数在处取得极大值3,故选：B.

6.【解析】∵，∴，由题意得，解得，∴，

∴．

当或时，；当时，．

所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，当时，函数取得极小值，

故选：B．

7.【解析】，显然当时，，当时，，∴是极大值点，1是极小值点，于是有，，从而，即极大值为3．故选A．

8.【解析】由，则，因为是函数的极值点，所以，又，所以，所以，故选A．

9.【解析】

当时；当时；当时；因此当时取极大值；当时取极小值；

，故选：C

10.【解析】，∴且，解得，，，，∵，

∴在处取得极小值，故选B．

11.【解析】f′（x），

a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，

故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，

故f（x）极小值＝f（a），无极大值，

a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，无极值，故选C．

12.【解析】，其导函数为.

令，解得，.当时，即时，函数单调递增，当时，即时，函数单调递减，故当时，函数有极小值，极小值为，当时，函数有极大值，极大值为，故函数只有一个零点，①②③正确；∵，且，

∴令，则，记，因为当时，，则在（2，＋∞）单调递增，又因为，

∴当时，，当时，，∴以在（2，a）递减，在递增，又，∴成立，故④正确．故选D.

13.【解析】函数，则，

令，由得或，如下表所示：

函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，故在处有极小值，极小值为.

14.【解析】 ，

因此，时取极大值

15.【解析】，，

由题意可得，解得.

，，

令，得或.

列表如下：

所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，所以，函数的极大值为.故答案为：.

16.【解析】因为的图象关于对称，所以，

即，解得，所以，

此时

关于直线对称，

.

令，得或，

从而，，

故.故答案为:.

17.【解析】（1）由，得，

由在处的切线方程是，知切点为，斜率为，

所以，解之得．

（2），，令，得，

由表可知，当时，取得极大值1；无极小值.

18.【解析】（1）由题意，又函数在处取得极值，所以是方程的两个解，∴中，解得；

（2）由（1），，或时，，的增区间为和，时，，的减区间是，

所以时，极大值，时，极小值．

综上，增区间是和，减区间是，极大值是，极小值是．

19.【解析】（1），，，

，令，解得：或，

令，解得：，而，

故在递减，在递增；

（2），，

，

令，解得：或，

，，

时，，，时，，

故在递减，在，递增；

故有极小值点，极小值点是，无极大值点.

20.【解析】（1），

①当时，由于，故，，

所以在内单调递减，无极值；

②当时，由，得，

在上，，在上，，

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，

函数有极小值，无极大值，

综上：当时，无极值；当时，有极小值，无极大值.

（2）函数有两个零点，，不妨设，

由（1）得，且，

则，，，即，

要证：，需证：，

只需证：，只需证：，

只需证：，只需证：，

令，即证，设，

则，即函数在单调递减，

则，即得.

21.【解析】（1）定义域为，.

①当时，，为上的增函数，所以函数无极值.

②当时，令，解得.

当，，在上单调递减；

当，，在上单调递增.

故在处取得极小值，且极小值为，无极大值.

综上，当时，函数无极值；

当时，有极小值为，无极大值.

（2）当时，，

直线：与曲线没有公共点，等价于关于的方程

在上没有实数解，即关于的方程在上没有实数解，

即在上没有实数解.

令，则有.令，解得，

当变化时，，的变化情况如下表：

且当时，；时，的最大值为；当时，，从而的取值范围为.

所以当时，方程无实数解，

解得的取值范围是.

22.【解析】（1）由题意得，，

令，，

则在上递增，且，

当时，，递减；当，，

递增，∴

∵，，∴，.

当时，，递增；

当时，，递减，

∴是的极大值点

∵，，∴，.

当时，，递减；

当时，，递增，

∴是的极小值点.∴在上有两个极值点

（2）证明：是函数的两个极值点.

由（1）得，且，

即，所以.

∴，，，

由，则，即，所以

∴设，则，

∴在时单调递减，则

∴，则.∴