专题12 函数的奇偶性、零点的综合运用-2021-2022学年高一数学培优辅导（人教A版必修第一册）

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专题12  函数的奇偶性、零点的综合运用【方法点拨】1.图象关于某一条（垂直于x轴）直线对称的函数的零点成对出现，特别的，若关于直线对称的函数有唯一零点，则（这是一必要但不充分的条件！）.2.要善于发现函数隐藏的对称性.【典型例题】例1   （2021·姜堰中学､如东中学､沭阳如东中学高三联考·12）已知函数(e为自然对数的底数)有唯一零点，则m的值可以为                            (      )A.1    B.-1     C.2     D.-2【答案】BC【分析】发现函数的对称性，【解析】所以的图象关于直线对称，欲使有唯一零点，必有即，解之得或验证：当时，由得，，且单增所以函数有唯一零点，又，所以当时，函数有唯一零点.同法验证也符合题意.所以或，选BC.例2   已知关于x的方程有唯一解，则实数a的值为________.【答案】1【分析】利用隐藏的对称性，易得f(0)＝0，求得a＝1或a＝－3，再利用数形结合，将增解舍弃.【解析】通过对函数f(x)＝x2＋2alog2(x2＋2)＋a2－3的研究，可发现它是一个偶函数，那么它的图象就关于y轴对称，若有唯一解，则该解必为0．将x＝0代入原方程中，可求得a＝1或a＝－3．这就意味着，当a＝1或a＝－3时，原方程必有一解0，但是否是唯一解，还需进一步验证．当a＝1时，原方程为x2＋2log2(x2＋2)－2＝0，即2log2(x2＋2)＝2－x2，该方程实数根的研究可能过函数y＝2log2t和函数y＝4－t的交点情况来进行，不难发现，此时是符合题意的；而当a＝－3时，原方程为x2－6log2(x2＋2)＋6＝0，即x2＋6＝6log2(x2＋2)．通过研究函数y＝4＋t和y＝6log2t可以发现，此时原方程不止一解，不合题意，需舍去．点评：     f(0)＝0仅是函数存在零点的必要条件，要注意检验充分性，一般是代入检验进行取舍.例3    已知函数，若函数有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是       ．【答案】(27，+∞)【解析】易知是偶函数，问题可转化为有且仅有两个不同的零点.分离函数得，由图形易知k＞0，问题进一步转化为有两个交点问题.考虑两曲线相切的临界状态的k值，由图象随k变化规律求出k的范围.可化为，则其有两等正根设为设，即则，解得，所以当时，即k＞27时，上述两个函数图象有两个交点综上所述，实数k的取值范围是(27，)．【巩固练习】1.若函数的零点有且只有一个，则实数             .2.已知函数有唯一零点，则a=（       ）A．   B．    C．   D．13.已知函数(e为自然对数的底数)有两个零点，则的值为          .4. 已知函数有四个零点，则的取值范围是          . 【答案与提示】1.【答案】2.【答案】C 3.【答案】44.【答案】【提示】易知是偶函数，只需时，与x正半轴有两个交点，故.