专题10 三“分”打天下-2021-2022学年高一数学培优辅导（人教A版必修第一册）

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部分分式-------将假分式化为一个整式与一个真分式的和称作部分分式，其实质就是通分的逆过程.部分分式的常用方法有凑配法、换元法、长除法等.
分离变量-------求参数的取值范围问题是高中数学常见的基本问题,一般来说遇含参问题应“能分则分”，目的是避免参数参与运算，从而避免分类讨论.而分离参数，又可以进行“全分”、“半分”，即将参数完全分离和不完全分离.
分离函数-------遇到函数的零点个数判断、零点所在区间等，常需要通过分离函数，如函数的零点就是函数与函数交点的横坐标，通过分离函数的方法，转化为两函数图象交点的个数、交点横坐标所在区间问题.
上述三种方法在解题中应用广泛，用法灵活多变，需在用中不断体会其“妙”、“神”，逐步提高自身的解题能力.
【典型例题】
例1 函数的最小值是 .
A.2； B. 7； C. 9； D. 10.
【答案】C
【分析】直接部分分式，再使用基本不等式.
【解析一】（换元法）令，则
则
由基本不等式得，当且仅当，，即，等号成立
所以当时，函数的最小值是9，选C.
【解法二】（凑配法）
（下略）.
【解法三】（长除法）同数的长除法，如图
则，
即（下略）.
例2 （多选题）（2020-2021·江苏徐州高一上学期期中名校联考）关于的一元二次方程有两个根，且满足，则实数的值是（ ）.
A．－2； B．－3； C．－4； D．－5.
【答案】BC
【分析】分离参数得，转化为与有两个交点，其横坐标为，且满足.
【解析】将方程分离参数得：
设，如图，则，所以
选BC.
例3 若函数(且)有两个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】题中已知为超越方程，解方程的根是不可能的，应分离函数，转化为两函数图象有两个不同交点问题.
【解析】由得
设，，问题即转化为这两函数图象有两个不同交点时求的范围问题.
分及两类讨论，由图象易得当时，图象有两个不同交点
所以实数的取值范围是.
点评：
1.函数的零点就是函数图象与x轴交点的横坐标，解决实际问题时，往往需分离函数，将零点个数问题转化为两个函数图象交点个数问题，将零点所在区间问题，转化为交点的横坐标所在区间问题.
2.利用图象法解决零点问题，分离函数的基本策略是：一静一动，一直一曲，动直线、静曲线.
例4 已知函数在内恒小于零，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【分析】由题意得出对任意的恒成立，然后对底数分和两种情况讨论，结合图象找出关键点得出关于的不等式（组）求解，可得出实数的取值范围.
【解析】，
则不等式对任意的恒成立.
当时，，则，此时，则不等式对任意的不成立；
当时，如下图所示：
由图象可知，若不等式对任意的恒成立，
则，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为.
【巩固练习】
1. 函数的最小值是( )
A. 2＋2B. 2－2C. 2D. 2
2. 若关于的方程在区间内有两个解，则实数的取值范围是_________.
3. 已知二次函数, 为实数.
（1）若此函数有两个不同的零点，一个在内,另一个在内，则的取值范围是_____________
(2)若此函数的两个不同零点都在区间内，则的取值范围是____________．
4.已知关于x的方程有三个不同的实数解，则实数k的取值范围是______
5.若关于x的不等式 在区间上恒成立，则实数m的取值范围是______.
A．； B．； C．； D．.
【答案与提示】
1. 【答案】A
【分析】先将函数变形可得y==（x﹣1）++2，再利用基本不等式可得结论．
【解析】y==（x﹣1）++2
∵x＞1，∴x﹣1＞0
∴（x﹣1）+≥2（当且仅当x=+1时，取等号）
∴y=≥2+2
故选A．
2.【答案】
3.【答案】，
4.【答案】
【提示】，画图得出k的取值范围．
5.【答案】B．