期中常考题型 专题训练6（幂函数与函数模型）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册

这是一份期中常考题型 专题训练6（幂函数与函数模型）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册，共10页。
期中专题复习六——幂函数与函数模型考向一  幂函数的概念与图像性质 1、如果函数是关于的幂函数，那么的值为　　．答案：1或2解析：由幂函数自变量的系数为1可得的值1或2，经检验两个值都成立。 2、幂函数的图像经过点，若满足，则　   　．答案： 解析：由幂函数图像经过点可得，，。 3、函数的图像是（  ）．答案：A 解析：为偶函数，因为指数大于1，图像关于轴对称与的图像类似。4、函数的图像是（  ）A.     B. C.      D. 答案：C解析：函数定义域为，排除A,B；因为大于1，函数为下凸型递增抛物线，参考的图像。5、如图是函数的图像，则下列结论正确的是（  ）A. 是奇数，且     B. 是偶数，是奇数，且C. 是偶数，是奇数，且   D. 是奇数，是偶数，且答案：C解析：图像关于轴对称，为偶数，排除A,D；图像为上凸型递增抛物线，参考的图像，指数小于1。6、已知幂函数在第一象限内的图像如图所示，且分别取，则相应曲线的值依次为　 　．   答案： 解析：由幂函数性质得出  考向二  幂函数的性质应用1、函数是幂函数，且在上单调递增，则　 　．答案：-1解析：由幂函数性质求出即可2、已知幂函数的图像关于轴对称，且在上单调递减，则 　 　．答案：1解析：由幂函数性质易得 3、若，则实数的取值范围是　 　． 答案： 解析：易知的定义域为，在定义域内是增函数，所以 ，解得。4、已知幂函数，若，则的取值范围是　 　．答案： 解析：函数的定义域是，且单调递减，所以 ，解得 。5、已知幂函数为偶函数。（1）      求函数解析式；（2）      若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围。答案：（1）；（2）或 解析：（1）由幂函数的定义可得，解得或，由偶函数定义得，。（2）二次函数，对称轴为；函数在区间上为单调函数，所以区间在对称轴的同一侧，解得或。6、已知幂函数的图像过点，函数是偶函数，且当时，。（1）      求的解析式；（2）      解不等式：。答案：（1）， ；（2） 解析：（1）由幂函数定义可得；当时，，，又因为是偶函数，所以。（2）利用单调性和奇偶性很容易得到不等式的解集为。 考向三  函数模型1、李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为， (其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为______元． 答案：33000解析：依题意，可设甲这一家销售了辆电动车，则乙这家销售了辆电动车，总总利润，所以，当时，取得最大值，且，故答案为：.2、大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是，则总利润最大时，该门面经营的天数是________． 答案：300解析：由题意，总利润当时，，所以当时,.当时，， 综上，当天时，总利润最大．  3、某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施.方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗为30000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费.问：（1）工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明.（2）若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？答案：（1）方案二  （2）方案一解析：设工厂每月生产件产品时，依方案一的利润为，依方案二的利润为，由题意知，，当时，因为，所以应选择方案二处理污水.（2）当时，，因为，所以应选择方案一处理污水。 4、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（Ⅰ）当时，求函数的表达式；（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）答案：见解析解析：（Ⅰ）由题意，当时，；当时，设．再由已知得，解得.故函数的表达式为. （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得.当时，为增函数，故当时，在区间上取得最大值.当时，，当且仅当时，等号成立.所以，当时，在区间上取得最大值．综上，当时，在区间上取得最大值.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．5、某景区提供自行车出租，该景区有辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过元，则自行车可以全部租出；若超出元，则每超过元，租不出的自行车就增加辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金（元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分）．（1）求函数的解析式；（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 答案：（1）；（2）当每辆自行车的日租金定为元时，才能使一日的净收入最多． 解析：（1）当时，，令，解得，是整数，，；当时，，令，有，结合为整数得，.；（2）对于，显然当时，；对于，当时，.，当每辆自行车的日租金定为元时，才能使一日的净收入最多．