期中常考题型 专题训练3（基本不等式）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册

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期中专题复习之基本不等式考向一  不等式的性质1、已知实数，则下列正确的是　　A． B． C． D．【分析】根据实数，取，即可判断，和的大小关系．【解答】解：由实数，取，则，，所以．故选：．2、（多选）已知，则下列选项正确的是　　A． B． C． D．【分析】，可得．利用不等式的基本性质即可判断出结论．【解答】解：，．，，．因此正确，错误．故选：．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3、已知，，，那么下列命题中正确的是　　A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则【分析】根据不等式的性质，对、、、四个选项通过举反例进行一一验证．【解答】解：．若，则（错，若，则不成立；．若，则（错，若，则不成立；．若且，则（对，若且，则．若且，则（错，若，则不成立．故选：．4、（多选）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是　　A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则【分析】．取，，即可判断出正误；．若，作差，即可比较出大小关系；．若，作出，即可比较出大小关系；．若且，则，，而可能为0，即可比较出大小关系．【解答】解：．取，，则不成立．．若，则，，因此正确．．若，则，，，正确；．若且，则，，而可能为0，因此不正确．故选：．5、（多选）设，，下列不等式恒成立的有　　A． B． C． D．【分析】利用不等式的基本性质和基本不等式即可判断出各选项的正误．【解答】解：对于，，正确；对于：由基本不等式可知，当，时，，不等式成立需满足，，不正确；对于：由基本不等式可知，当，时，，不等式成立需满足，，不正确；对于，，两边同时加得：，即，所以，正确；故选：．  考向二  构造定值利用基本不等式 1、已知，为正实数，则下列判断中正确的个数是　　①若，则；②若，则的最小值是10；③；④函数的最小值为1．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由大前提及均值不等式可分别判断所给命题的真假．【解答】解：已知，为正实数，①，所以①正确；②，所以②不正确；③，同理，，所以③正确；④，当且仅当，即时取等号，而，所以，不能取等号，所以 ④不正确．故选：．2、设，则的最大值为　　A． B． C． D．【分析】先对已知进行配凑，，然后结合基本不等式即可求．【解答】解：，则当且仅当即时取得最大值故选：．3、已知，则的最小值为　　A． B． C．2 D．4【分析】根据基本不等式即可求出最小值．【解答】解：，，，当且仅当时取等号，的最小值为2，故选：．4、已知，则的最小值为　　．【分析】由，利用基本不等式即可求解．【解答】解：，则，当且仅当且，即，时去等号，的最小值24．故答案为：24．5、已知，，且，则的最小值为　　A．5 B．6 C．7 D．8【分析】把所求巧用“1“的代换即可求解．【解答】解：因为，，且，，，，；．故选：．6、若正数，满足，则的最小值是　　．【分析】将方程变形，代入可得，然后利用基本不等式即可求解．【解答】解：，，当且仅当即时取等号故答案为：57、已知实数，，且，则的最小值为　　．【分析】由可得，则，根据基本不等式即可求出．【解答】解：由，可得，则，则，则，，当且仅当，即时取等号，故的最小值为，故答案为：． 8、设，则的值域为_________【答案】【解析】【分析】先将原式化为，再由基本不等式，即可求出其最值，进而可得出结果.【详解】因为，所以，因此，当且仅当，即时，等号成立；所以的值域为：；故答案为  9、若对任意恒成立，则的取值范围为（   ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式求得的最大值，再根据恒成立，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对任意，则有，当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为，又由对任意时，恒成立，所以，即的取值范围为，故选D.10、函数的最大值为______,此时的值为______.【答案】    (1). -3    (2). 2【解析】【分析】先将原式化为，再由基本不等式，即可求出结果.【详解】因为，又，所以，当且仅当时取等号；此时.即最大值为，此时. 考向三  基本不等式的实际应用1、为了缓解市民吃肉难的生活问题，某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1000元，猪肉在运输途中的损耗费（单位：元）是汽车速度值的2倍．（说明：运输的总费用运费装卸费损耗费）（1）若汽车的速度为每小时50千米，试求运输的总费用；（2）为使运输的总费用不超过1260元，求汽车行驶速度的范围；（3）若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？【分析】（1）根据条件计算出行驶时间，损耗费，则可表示出总费用；（2）设速度为，表示出费用，则，求出不等式解集即可；（3）利用基本不等式即可求出的最小值，求出符合条件的即可．【解答】解：（1）当速度为每小时50千米时，时间小时，损耗费为100元，则总费用元；（2）设速度为千米小时，总费用为元，则，所以，解得，所以此时速度范围为，；（3），当且仅当即时取“”，即当速度为60千米小时时，运输总费用最小．2、第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行，来自151个国家和地区的3617家企业参展，规模和品质均超过首届．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”，专（业精（品尖（端特（色产品精华荟萃．某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2020年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产千台空调，需另投入资金万元，且．经测算生产10千台空调需另投入的资金为4000万元．由调研知，每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2020年的企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式；（2）2020年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少？注：利润销售额成本【分析】（1）根据条件将代入可求出，进而分段表示出即可；（2）利用二次函数最值、基本不等式求出分段函数的最值即可．【解答】解：（1）由题意，所以，当时，；当时，，所以．（2）当，当时，当，，因为，所以，当且仅当时，即时等号成立，此时，所以万元，因为，所以2020年产量为100（千台）时，企业所获利润最大，最大利润是8990万元．3、为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴．现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为米，如图所示．（1）将两个养殖池的总面积表示为的函数，并写出定义域；（2）当温室的边长取何值时，总面积最大？最大值是多少？【分析】（1）依题意得温室的另一边长为米．求出养殖池的总面积，然后求解函数的定义域即可．（2），利用基本不等式求解函数的最值即可．【解答】解：（1）依题意得温室的另一边长为米．因此养殖池的总面积，因为，，所以．所以定义域为．（2），当且仅当，即时上式等号成立，当温室的边长为30米时，总面积取最大值为1215平方米．4、2018年淮安新能源汽车厂计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，若生产辆时，需另投入成本万元，满足．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完（其中（1）求出2018年的利润（万元）的函数关系式（利润销售额成本）；（2）2018年产量为多少辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．【分析】（1）根据年利润销售额投入的总成本固定成本，分和当两种情况得到与的分段函数关系式；（2）当时根据二次函数求最大值的方法来求的最大值，当时，利用基本不等式来求的最大值，最后综合即可．【解答】解：（1）当时，；当时，；．（2）当时，，当时，；当时，；当且仅当，即时，；当时，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元．