3.1 函数及其表示-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

函数及其表示【要点梳理】要点一、函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，xA．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域.要点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：     {x|a≤x≤b}=[a，b]；；    ；.要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．  优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．        优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．    优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．要点三、映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.要点诠释：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.函数与映射的区别与联系：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.(5)如果A有m个元素，B有n个元素，则从集合A中到集合B的映射（不加限制）有个。3.函数定义域的求法(1)确定函数定义域的原则定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.（2）抽象函数定义域的确定  注意1：不管括号中的形式多复杂，定义域只是自变量的取值集合。  注意2：在同一函数作用下，括号内整体的取值范围相同。4.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.【典型例题】类型一、函数的概念例1.已知集合，，则从到的函数有       个.  举一反三：【变式1】下列各问的对应关系是否是给出的实数集上的一个函数？为什么？（1）；（2），；（3），对任意的.      例2．下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，为什么？（1）；（2）；（3）；（4）；  举一反三：【变式1】判断下列命题的真假(1)y=x-1与是同一函数；(2)与y=|x|是同一函数；(3)是同一函数；(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数.   类型二、函数定义域的求法例3.求下列函数的定义域(用区间表示).(1)；       (2)；　　　　(3).       举一反三：【变式1】求下列函数的定义域（用区间表示）：(1)；      (2)；      （3）.     例4.（1）已知函数y=f（x）的定义域为[―1，2]，求函数y=f（1―x2）的定义域．（2）已知函数y=f（2x―3）的定义域为（―2，1]，求函数y=f（x）的定义域．     举一反三：【变式1】已知的定义域为，求的定义域. 例5.已知函数的定义域为，求实数的取值范围.      类型三、求函数的值及值域例6. 已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)；   (2)f(g(2))，g(f(2))；      (3)f(g(x))，g(f(x))        例7. 求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4，①；②；.  举一反三：【变式1】 求下列函数的值域：（1）；  （2）；  （3）；  （4）．   类型四、映射与函数例8. 判断下列对应哪些是从集合A到集合B的映射，哪些是从集合A到集合B的函数？（1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x，y）|}，对应法则是：A中的点与B中的（x，y）对应．（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：作三角形的外接圆；（3）A=N，B={0，1}，对应法则是：除以2的余数；（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，对应法则是f：（5）A={0，1，2}，B={0，1， }，对应法则是f： 举一反三：【变式1】判断下列对应是否是实数集R上的函数：（1）f：把x对应到3x+1；（2）g：把x对应到|x|+1；（3）h：把x对应到；（4）r：把x对应到． 类型五、函数解析式的求法例9.求函数的解析式(1)已知是二次函数，且，求；(2)若f(2x-1)=x2，求f(x)；（3）已知，求.       举一反三：【变式】求下列函数的解析式（1）已知，求；（2）已知，求．     类型六、函数的图象例10.作出下列函数的图象.（1）；  （2）；    （3）．     类型七、分段函数例11.设函数若，则=          ．      举一反三：【变式1】如图，在边长为4的正方形的边上有一点，沿着边线由（起点）向（终点）运动.设点运动的路程为，的面积为.（1）求与之间的函数关系式；（2）画出的图象.     【巩固练习】1．函数的定义域是(　 )A．   B．　 C．  D．2．函数的值域为 （     ）A．[0,3]           B．[-1,0]        C．[-1,3]          D．[0,2]3．对于集合A到集合B的映射，有下述四个结论:①B中的任何一个元素在A中必有原象；  ②A中的不同元素在B中的象也不同；③A中任何一个元素在B中的象是唯一的； ④A中任何一个元素在B中可以有不同的象．其中正确结论的个数是（    ）A．1个      B．2个　　　 C．3个      D．4个 4．设，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合到的函数关系的有 (    )    A．1个      B．2个　　　 C．3个      D．4个 5．设函数则的值为(    )A．        B．        C．        D．  6．已知f（x2―1）定义域为[0，3]，则f（2x―1）的定义域为（    ）A．    B．    C．    D． 7．向高为的水瓶里注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是图中的（    ）8．已知函数，则:的值是（    ）A．2008      B．2009      C．       D． 2010 9．若的定义域是，则的定义域是     ． 10．已知，则不等式的解集是         ．   11．若函数在（a，a+6）（b＜－2）上的值域为（2，+∞），则a+b=____．   12．已知，则=   ．   13．当为何值时，方程（1）无解；（2）有两个实数解；（3）有三个实数解；（4）有四个实数解．