专题13 函数的概念及其基本性质（能力提升）-2021年暑假高一升高二数学复习基础巩固+能力提升专题（人教A版2019）

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【新教材2019人教必修第一册】暑假高一能力提升 专题13 函数的概念及其基本性质解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．（2019·宜昌市点军区第二中学高一月考）设集合P={x|0≤x≤2}，Q={y|0≤x≤2}，则图中能表示P到Q的函数的是A．（1）（2）（3）（4） B．（3）（4）C．（4） D．（3）【答案】C【分析】根据函数的定义，在定义域内的任何一个x值，都有唯一确定的y值与之对应，且函数的定义域和值域不能为空集，根据这一定义得到结果.【详解】根据函数的定义，在定义域内的任何一个x值，都有唯一确定的y值与之对应，（1）、（2）中定义域内的1对应了2个函数值，故（1）、（2）不表示函数；（3）中定义域（1，2]内的x值，没有与之对应的y值，故（3）错误，故选C．【点睛】这个题目考查了函数的概念和图像，函数中一个x对应一个y值，一个y值可以对应2个y值．2．（2020·四川阆中中学开学考试）函数的定义域为（    ）.A． B． C． D．【答案】C【分析】列出使不等式有意义的限制条件，即对数的真数大于0，分母的被开方数大于0，解不等式组即可得答案.【详解】由题意得：，解得：.故选：C.【点睛】本题考查函数定义域的求解，考查基本运算求解能力，属于基础题.3．（2017·上海市育才中学高一月考）已知函数对于任意，满足，则满足条件的函数可以是A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数单调性的定义，可得函数在R上为增函数，对选项一一判断即可.【详解】已知函数对于任意，满足，根据函数单调性的定义，得函数是一个在R上的增函数.选项A，函数在R上的减函数，所以不满足条件；选项B，函数在上递减，所以不满足条件；选项C，函数在上递增，所以满足条件；选项D，函数在上递减，在上递增，所以不满足条件.故选：C【点睛】本题考查了函数的单调性的性质及应用，属于基础题.4．（2020·四川内江·高一期末（理））已知函数，对于任意时下列说法正确的是（    ）A．函数最小值为7 B．函数最小值为C．函数最大值为7 D．函数最大值为【答案】A【分析】将函数化简为，再结合对勾函数的单调性即可求解．【详解】由题意可知，，由对勾函数可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为，没有最大值． 故选：A．【点睛】本题主要考查了函数最值的求解，要注意对勾函数单调性的应用．5．（2020·安徽其他（理））偶函数对于任意实数，都有成立，并且当时，，则下列结论错误的是（    ）.A．B．函数的最大值是4C．函数的图象关于直线对称D．方程的解集是【答案】C【分析】求出函数是以4为周期的周期函数，可判断A；作出函数的图象可判断B，C，D的正误；【详解】对任意实数都有，由于为偶函数，所以.所以.所以函数是以4为周期的周期函数.所以.故A项正确；作出函数的大致图象如下：观察图象可知，函数的最大值是4，故B项正确；函数的图象不关于直线对称，故C项错误；方程的解依次是，即方程的解集是.故D项正确.故选：C.【点睛】本题考查抽象函数和具体函数相结合的图象和性质，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.6．（2019·浙江西湖·学军中学高一期末）函数的值域是  A． B． C． D．【答案】A【详解】由，知，解得令，则.，即为和两函数图象有交点，作出函数图象，如图所示： 由图可知，当直线和半圆相切时最小，当直线过点A(4,0)时，最大.当直线和半圆相切时，，解得，由图可知.当直线过点A(4,0)时，，解得.所以，即.故选A.7．（2018·湖北荆门·高一期末）对于任意的实数表示中较小的那个数，即已知函数设，下列说法正确的是（    ）A．的单调递减区间是 B．的最大值是2，无最小值C． D．的图像关于轴对称【答案】B【分析】首先弄清楚的含义，换成相当于分段函数，再根据函数的性质可逐项判断排除.【详解】由题意得，即，其图象如下A. 的单调递减区间是，错误；B. 的最大值是2，无最小值，正确；C. ，错误；D. 的图像不关于轴对称，错误. 故选：B.【点睛】本题考查了对函数新定义的理解，考查了函数的性质.8．（2018·北京市第一六六中学高三月考）如图,将一张边长为的正方形纸折叠,使得点始终落在边上,则折起的部分的面积最小值为A． B． C． D．【答案】B【分析】设，可证明、，从而可求、，从而可得所求梯形的面积表达式为，从而可求其最小值.【详解】如图，过作与，则，连，交于，则由折叠知，与关于直线对称，即，有，，，∵，，∴，∴，设，则，，代入上式得：，∵，，∴，在和中，∵，∴，∴，故，∴梯形的面积为，得当时，梯形面积最小，其最小值，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、全等三角形的判定和性质及翻转变换，是一道综合题，有一定的难度，先证明，再利用相似三角形的性质得出的长，再表示出求出梯形面积，进而求出最小值. 二、多选题9．（2019·江苏姑苏·苏州中学高一期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ）A．与 B．与C．与 D．与【答案】AC【分析】根据同一函数满足定义域与对应法则与值域均相等判断即可.【详解】对A, ,故A正确.对B, 定义域为,定义域为,故B错误.对C, ,故C正确.对D, 定义域为,解得或.定义域为即.故D错误.故选：AC【点睛】本题主要考查了同一函数的判定,需要分析函数的定义域与对应法则等.属于基础题.10．（2021·浙江高一期末）已知函数，下面说法正确的有（    ）A．的图像关于原点对称 B．的图像关于y轴对称C．的值域为 D．，且【答案】ACD【分析】判断的奇偶性即可判断选项AB，求的值域可判断C，证明的单调性可判断选项D，即可得正确选项.【详解】的定义域为关于原点对称,，所以是奇函数，图象关于原点对称，故选项A正确，选项B不正确；，因为，所以，所以，，所以，可得的值域为，故选项C正确；设任意的，则，因为，，，所以，即，所以，故选项D正确；故选：ACD【点睛】利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.11．（2020·江苏海安高级中学高二期末）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（    ）．A．是偶函数 B．的周期C． D．在单调递减【答案】ABC【分析】由的图象关于直线对称，则，即，故是偶函数，可判断A的正误；由，令，可得，则，得到的周期，可判断B的正误；又在递增，结合奇偶性，周期性，再判断CD是否正确.【详解】由的图象关于直线对称，则，即，故是偶函数，A正确；由，令，可得，则，则的周期，B正确；，故C正确；又在递增，则递减，由周期，则在单调递增，故D错误.故答案为：ABC【点睛】本题考查了抽象函数的性质，综合考查了函数的对称性，奇偶性，周期性，单调性，属于中档题.12．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高二月考）在平面直角坐标系中，如图放置的边长为的正方形沿轴滚动（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是(     )A．函数是奇函数 B．对任意的，都有C．函数的值域为 D．函数在区间上单调递增【答案】BCD【分析】根据正方形的运动，得到点的轨迹，作出对应函数图像，根据图像，即可得出结果.【详解】由题意，当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆； 当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆；当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆；当，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆，与的形状相同，因此函数在恰好为一个周期的图像；所以函数的周期是；其图像如下：A选项，由图像及题意可得，该函数为偶函数，故A错；B选项，因为函数的周期为，所以，因此；故B正确；C选项，由图像可得，该函数的值域为；故C正确；D选项，因为该函数是以为周期的函数，因此函数在区间的图像与在区间图像形状相同，因此，单调递增；故D正确；故选：BCD.【点睛】本题主要考查分段函数的应用，熟记函数的性质，灵活运用数形结合的思想求解即可，属于常考题型.  三、填空题13．（2020·内蒙古集宁一中期末（理））已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是____【答案】1【分析】由幂函数的定义可得，解出方程，最后根据该函数是偶函数确定的值.【详解】∵函数是幂函数，∴，解得或，又∵该函数是偶函数，当时，函数是奇函数，当时，函数是偶函数，即的值是1，故答案为1.【点睛】本题主要考查幂函数的定义与简单性质，函数奇偶性的判断，属于基本知识的考查．14．（2020·吴起高级中学高二月考（文））已知函数在上为单调增函数，则实数的取值范围为________．【答案】【分析】先要满足左右两段均为增函数，而且左侧的最高点不高于右侧的最低点，建立关于的不等量关系，即可求解.【详解】函数在上为单调增函数，需，解得.
故答案为：.【点睛】本题考查分段函数的单调性，要注意分界点处函数值的大小关系，容易遗漏，属于中档题.15．（2019·张家口市宣化第一中学高三月考（文））若，则_______【答案】15【解析】试题分析：∵f（x）=，∴f（x）+f（1﹣x）=+=3，∴f（）+f（）+f（）+…+f（）=5×3=15．考点：函数的值16．（2020·云南会泽·高一期末）已知函数是定义在区间上的奇函数,当时，图像如图，则不等式的解为____________.【答案】【分析】根据图像得到的解为，根据奇函数性质得到和的解为，综合得到答案.【详解】函数是定义在区间上的奇函数.当时，根据图像知的解为；当时，，满足；当时，根据奇函数性质知的解为；综上所述：的解为故答案为【点睛】本题考查了解不等式，意在考查学生对于函数图像和函数性质的综合应用. 四、解答题17．（2020·湖南天心·长郡中学高一期末）已知为奇函数，且（1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明．【答案】（1）；（2）递减，见解析【分析】(1)函数 是奇函数，所以 ，得到，从而解得； (2) 在区间上任取两个数，且，判断的符号，得到，由此证明函数的单调性.【详解】(1)    由题意知，则，解得；(2)函数 在上单调递减，证明如下：在区间上任取两个数，且，因为，所以即，，所以即，函数在上单调递减.【点睛】本题考查由函数的奇偶性求参数，利用定义证明函数的单调性，属于基础题.18．（2019·辽源市田家炳高级中学校高一期中（文））求函数的解析式.（1）已知f（x）是一次函数，且满足，求f（x）；（2）函数，求的表达式；（3）已知，求的解析式.【答案】(1)；(2) ；(3).【分析】（1）设出函数解析式，根据已知条件待定系数即可；（2）求出的分割点，再代值即可；（3）通过配凑法求解，用配凑出解析式，即可求得结果.【详解】（1）设，因为故可得整理得故可得，故.（2）令，解得，故当时，，当时，，，综上所述：.（3）因为故故，又因为，故【点睛】本题考查求函数解析式的方法，涉及待定系数法，配凑法以及分段函数的解析式求解，属综合性经典题型.19．（2017·湖北襄阳四中高一月考）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数在上的单调性，并说明理由；（3）若，试求的值.【答案】（1）奇函数（2）在上单调递减.（3）1【解析】试题分析：（1）令可得，再令得，可得结论；（2）根据证明函数单调性的步骤解题即可，解题中要注意所给函数性质的运用；（3）根据将化为一个值的形式，再由求值。试题解析：（1）函数为奇函数。理由如下：令，则，得，令，则，所以，所以函数是上的奇函数。（2）设，因为，，，所以，，所以，所以因此在上单调递减.（3）因为，所以。点睛：抽象函数是函数中的一个重要成员，其特点是不知函数的解析式，因此对解题带来了困难。解决抽象函数问题时要注意以下几点：①读懂题意，明确所给抽象函数所具有的特征及定义域、特殊值；②用赋值法解题，有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决；③熟练应用条件中所给的函数的性质，学会正用性质、逆用性质解题。20．（2020·湖南雨花·期末）某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价（即每张床每天的租金）不超过10元时，床位可以全部租出，当床价高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位定一个合适的价格，条件是：①要方便结账，床价应为1元的整数倍;②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入）．（1）把y表示成x的函数，并求出其定义域; （2）试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面的两个条件，又能使净收入最多? 【答案】（1）函数y= ，定义域为{x|}；（2）当床位定价为22元时净收入最多．【解析】试题分析：（1）净收入等于收入减去支出，依题意需分为和两种情况求解析式，同时注意净收入必须大于零且价格为正整数，所以对每段函数的定义域需严格限制；（2）由分段函数的特点，需对两段函数分别求最大值，两段中最大的那个最大值即为所求．试题解析： （1）依题意有 y= 且，因为， 由 得．由 得， 所以函数为 y= 定义域为{x|}．（2）当x=10时）取得最大值425元， 当x＞10时 当且仅当时，y取最大值， 但，所以当x=22时）取得最大值833元，比较两种情况，可知当床位定价为22元时净收入最多．考点：函数的实际应用．【方法点睛】（1）函数实际应用的解题步骤：（1）设变量x，函数y，注意单位；（2）依题意列出函数关系式；（3）求最值；（4）作答，即将所求的数学结论还原到实际问题上来．（2）易错点：函数的定义域最容易出错，从而导致最值、值域出错．如本题，定义域一要注意分和，二要注意净收入大于零，三要注意价格必须为正整数，从而正确限制x的范围．21．（2020·湖南茶陵三中月考）已知定义在上的偶函数满足：当时，.（1）求函数在上的解析式；（2）设，，若对于任意，都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据偶函数的定义求解；（2）用换元法求出的最小值，再求出的最大值，然后由可得的范围．【详解】（1）设，则，因为定义在偶函数，所以，因为，所以所以.（2）因为对任意，都有成立，所以.又因为是定义在上的偶函数，所以在区间和区间上的值域相同.当时,单调递增，，又.所以，所以，故的取值范围为.【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查不等式恒成立问题，不等式恒成立问题常常转化为求函数的最值，但要注意要根据不等号的方向，存在量词与全称量词等确定是求最大值还是求最小值，否则易出错．22．（2019·福建省华安县第一中学高一月考）已知函数具有以下性质：如果常数，那么函数 在区间上是减函数，在区间上是增函数.（1）已知函数， ，求函数的值域.（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意的 ，总存在，使得 成立，求实数a的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设，，，则，，根据函数的性质，可得单调性，根据单调性可得值域；（2）根据单调性求出函数在上的值域，再根据的值域是的值域的子集列式可解得结果.【详解】（1）解：令，因为，所以，，则，令，，由已知得：函数在区间上是减函数，在区间上是增函数.因为，，，所以，所以函数的值域为.（2）解：由（1）知函数的值域为，又函数，的值域为，因为对任意的，总存在，使得成立，所以，那么，解得：.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．