专题19 统计（能力提升）-2021年暑假高一升高二数学复习基础巩固+能力提升专题（人教A版2019）

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【新教材2019人教必修第二册】
暑假高一能力提升 专题19 统计
解析版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．（2021·全国高一课时练习）现要完成下列两项调查：①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.这两项调查宜采用的抽取方法是（ ）
A．①简单随机抽样，②分层随机抽样 B．①分层随机抽样，②简单随机抽样
C．①②都用简单随机抽样 D．①②都用分层随机抽样
【答案】B
【分析】
利用分层抽样、简单随机抽样的性质直接求解．
【详解】
在①中，由于购买能力与收入有关，应该采用分层随机抽样；
在②中，由于个体没有明显差别，而且数目较少，应该采用简单随机抽样.
故选：B.
【点睛】
本题考查抽样方法的判断，考查运算求解能力，是基础题．
2．（2021·辽宁沈阳市·高一期末）某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600，从中抽取60个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行：
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号是（ ）
A．522 B．324 C．535 D．578
【答案】A
【分析】
按照随机数表取数，不大于600的留下，大于600的去掉即可得．
【详解】
所得样本编号依次为436，535，577，348，522，
第5个是522．
故选：A．
【点睛】
本题考查随机数表抽样法，属于简单题．
3．（2020·安徽黄山市·高一期末）2020年春节后，因受疫情影响，某高中学校为学生导学助学开展网课，为了解网课教学方式对学生视力影响情况，在学校抽取了名同学进行视力调查.如图为这名同学视力的频率分布直方图，其中前组的频率成等比数列，后组的频数成等差数列，设最大频率为，在4.6到5.0之间的数据个数为，则的值分别为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据频率分布直方图，分别求得，，，，进而求得的频率，在结合等差数列，求得，求得，，，，，进而求得的值，即可求解.
【详解】
这100名同学视力的频率分布直方图，其中前4组的频率成等比数列，
因为的频率为；
的频率为；
的频率为；
的频率为；
的频率为，
所以后6中的频数成等差数列，所以，解得，
所以的频率为，的频率为，的频率为，
的频率为，的频率为，
所以的频率为，
所以，在到之间的数据个数为.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的频率、频数的求法，以及等差数列、等比数列的性质等基础知识的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
4．（2020·全国高一课时练习）为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表：
得分
3
4
5
6
7
8
9
10
频数
2
3
10
6
3
2
2
2

设得分的中位数为，众数为，平均数为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由频率分步表求出众数、中位数和平均数，比较即可．
【详解】
由图知，众数是；
中位数是第15个数与第16个数的平均值，
由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6，
所以中位数是；
平均数是；
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了求出一组数据的众数、中位数、平均值的应用问题，是基础题．
5．（2020·云南红河哈尼族彝族自治州·高三一模（文））2020年11月7日，2020年世界花样滑冰大奖赛中国站双人自由滑的比赛中，中国组合彭程/金杨以223.90分的总成绩排名第一.花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，可能变化的数字特征是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
【答案】BCD
【分析】
根据中位数、平均数、方差以及极差的定义进行分析判断即可．
【详解】
从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，
故中位数是不变的，其它的数字特征均可能发生变化．
故选：BCD．
6．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考（理））为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平.某市抽调三所中学进行中学生体育达标测试，现简称为校、校、校.现对本次测试进行调查统计，得到测试成绩排在前200名学生层次分布的饼状图、校前200名学生的分布条形图，则下列结论不一定正确的是（ ）

A．测试成绩前200名学生中校人数超过校人数的2倍
B．测试成绩前100名学生中校人数超过一半以上
C．测试成绩前151—200名学生中校人数最多33人
D．测试成绩前51—100名学生中校人数多于校人数
【答案】D
【分析】
直接计算判定选项A、B一定正确；计算前1—150名学生中校人数和校最多可能的人数，得到校最少可能的人数，得前151—200名学生中校人数最多可能值，判定选项C一定正确；考虑到这200名学生中校学生总数为68人，至多有可能会有25人在151—200名之间，可以判定选项D不一定正确.
【详解】
前200名学生中校人数人，校人数人，,故A一定正确；
前100名学生中校人数约为人，超过半数的50人，故B一定正确；
成绩前150名以内的学生中校人数约为人，校人数最多全在这个范围，有人,所以校至少有人，又∵成绩前200名学生中校人数为40人，所以校至多有=33人测试成绩前151—200名之间，故C一定正确；
测试成绩前51—100名学生中校人数约为25人，这200名学生中校学生总数为人，有可能也有25人在51—100名之间，故D不一定正确，
故选：D.
【点睛】
本题考查饼图和条形图的应用，涉及最多可能与最少可能的极端思维策略，涉及频率与频数的计算，考查计算能力和逻辑推理能力，属中档题.
7．（2021·全国高三月考（文））一组数据的平均数为，现定义这组数据的平均差.下图是甲、乙两组数据的频率分布折线图

根据折线图，判断甲、乙两组数据的平均差的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】
利用平均差公式知数据越集中于平均值附近，平均差越小，再结合甲乙数据的频率分布折线图即可得到结果.
【详解】
由给定的平均差公式可知：数据越集中于平均值附近，平均差越小.
甲乙两图的纵坐标表示的为频率/组距，即指数据落在此处的概率，甲图中，不同组距区间的概率相差不大，即指数据较为均匀的分布在各区间，而乙图数据较为集中的分布在乙图最高处指代的区间，其他区间分布的比较少，故乙图平均差比较小.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题考查了平均差，解题的关键是理解新定义，弄清楚已知条件折线图的纵坐标表示的是概率，考查学生的转化能力，属于基础题.
8．（2019·湖南长沙市·长沙一中高二月考）已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3,3,5,3,6,11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失数据的所有可能值的和为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．14
【答案】C
【分析】
设丢失的数据为，则这七个数据的平均数为，众数是3,
分,,三种情况,分别求出中位数,进而求出所对应的的值即可.
【详解】
设丢失的数据为，则这七个数据的平均数为，众数是3,
因为这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍,
若，则中位数为3，此时，解得；
若，则中位数为，此时，解得；
若，则中位数为5，此时，解得;
综上可知，丢失数据的所有可能的取值为，4，18，这三数之和为12.
故选:C
【点睛】
本题主要考查样本的数字特征中平均数、众数和中位数的计算;考查学生的运算能力和思维的严密性;分情况讨论是求解本题的关键;属于中档题.

二、多选题
9．（2021·全国高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．普查是对所有的对象进行调查
B．样本不一定是从总体中抽取的，没有抽取的个体也可能是样本
C．当调查的对象很少时，普查是很好的调查方式，但当调查的对象很多时，普查要耗费大量的人力、物力和财力
D．普查不是在任何情况下都能实现的
【答案】ACD
【分析】
根据普查的概念判定A；根据样本的概念判定B；根据普查和抽查的特点，结合调查对象的属性对C,D作出判定.
【详解】
因为样本必须是从总体中抽取的，没有抽取的个体不是样本，所以B的说法不正确.
其余的都正确：根据普查的概念和特点，可以判定A,C,D都正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题考查普查与抽查的概念和选择，属基础题.
10．（2021·全国高三其他模拟）如图为2011-2019年中国白酒行业各类型专利申请情况．

根据图中数据，下列结论正确的是（ ）
A．2011-2016年中国发明专利量逐年增长
B．2019年中国发明专利量为1458件，比2018年减少了约44.22%
C．2016年之后，中国白酒行业专利申请数量出现下滑，且实用新型专利量、发明专利量、外观专利量也在逐年下滑
D．2011年中国实用新型专利量在三类专利申请总量中约占7.69%
【答案】ABD
【分析】
根据图表信息，可以看到2011-2016年中国发明专利量逐年增长；，2019比2018年减少了约44.22%；2016年之后，三类专利申请总量在逐年下滑，但实用新型专利量和外观专利量却在逐年增长；2011年中国实用新型专利量在三类专利申请总量中的占比为.
【详解】
对于A，2011-2016年中国发明专利量逐年增长，所以A正确；
对于B，2019年中国发明专利量为1458件，比2018年减少了，所以B正确；
对于C，2016年之后，三类专利申请总量在逐年下滑，但实用新型专利量和外观专利量却在逐年增长，所以C不正确；
对于D，2011年中国实用新型专利量在三类专利申请总量中的占比为，所以D正确．
故选：ABD
【点睛】
要能读懂条形图，以及表格中的数据，并根据题意进行计算，逐项判断各项是否正确.
11．（2021·全国高三专题练习）已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图，则下列说法正确的是（ ）

A．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则
B．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则
C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差
D．甲成绩比乙成绩稳定
【答案】ACD
【分析】
根据折线图中的数据，结合平均数的求法、方差的求法及其意义、极差的概念，应用数形结合的方法即可判断各项的正误.
【详解】
由图知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试都高于乙同学，知，A正确；甲同学的成绩比乙同学稳定，故，所以B错误，D正确；极差为数据样本的最大值与最小值的差，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，所以C正确.
故选：ACD．
12．（2021·全国高一课时练习）（多选题）在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，，，，四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（ ）
A．地：中位数为2，极差为5 B．地：总体平均数为2，众数为2
C．地：总体平均数为2，总体方差为3 D．地：总体平均数为1，总体方差大于0．
【答案】AC
【分析】
逐项分析是否一定满足每天新增疑似病例不超过人即可.
【详解】
A．因为中位数为，极差为，所以最大值不会超过，故符合；
B．若B地过去天的疑似病例数为：，满足平均数为，众数为，
但不满足每天新增疑似病例不超过人，故不符合；
C．假设至少有一天的疑似病例超过人，此时方差大于，
这与题设矛盾，所以假设不成立，故符合；
D．若D地过去天的疑似病例数为：，此时平均数为，方差大于，
但不满足每天新增疑似病例不超过人，故不符合；
故选：AC.


三、填空题
13．（2020·辽宁大连市·高三月考（文））已知数据x1，x2，…，xn的平均数＝5，方差s2＝4，则数据3x1＋7，3x2＋7，…，3xn＋7的平均数为________，标准差为________．
【答案】22 6
【分析】
根据平均数、方差的公式推广即可求解.
【详解】
数据3x1＋7，3x2＋7，…，3xn＋7的平均数为3×5＋7＝22，
方差为32×4＝36，则标准差为6.
故答案为：22；6
14．（2021·全国高一课时练习）某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：）：
152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，，174，175，若样本数据的第90百分位数是173，则的值为________.
【答案】172
【分析】
根据百分位数的意义求解.
【详解】
百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，
本题第90百分位数是173，所以，
故答案为:172
【点睛】
本题考查样本数据的第多少百分位数的概念.
15．（2021·福建厦门市·厦门一中高二期末）已知数据，，…，的方差为1，且，则数据，，…，的平均数是________.
【答案】或6.
【分析】
由数据，，…，的方差为1，且，把所给的式子进行整理，两式相减，得到关于数据的平均数的一元二次方程，解方程即可．
【详解】
数据，，…，的方差为1，
，
，
，①
，
，
，②
将②-①得，解得，或，
故答案为：或6.
【点睛】
本题主要考查一组数据的平均数的求法，解题时要熟练掌握方差的计算公式的灵活运用，属于中档题.
16．（2020·北京高一期末）为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.


下面有四个推断：
①这名学生阅读量的平均数可能是本；
②这名学生阅读量的分位数在区间内；
③这名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间内；
④这名学生中的初中生阅读量的分位数可能在区间内.
所有合理推断的序号是________.
【答案】②③④
【分析】
①由学生类别阅读量图表可知；
②计算75%分位数的位置，在区间内查人数即可；
③设在区间内的初中生人数为，则，分别计算为最大值和最小值时的中位数位置即可；
④设在区间内的初中生人数为，则，分别计算为最大值和最小值时的25%分位数位置即可.
【详解】
在①中，由学生类别阅读量中男生和女生人均阅读量知，这200名学生的平均阅读量在区间内，故错误；
在②中，，阅读量在的人数有人，
在的人数有62人，所以这200名学生阅读量的75%分位数在区间内，
故正确；
在③中，设在区间内的初中生人数为，则，
当时，初中生总人数为116人，，
此时区间有25人，区间有36人，所以中位数在内，
当时，初中生总人数为131人，，
区间有人，区间有36人，所以中位数在内，
当区间人数去最小和最大，中位数都在内，
所以这名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间内，故正确；
在④中，设在区间内的初中生人数为，则，
当时，初中生总人数为116人，，
此时区间有25人，区间有36人，所以25%分位数在内，
当时，初中生总人数为131人，，
区间有人，所以25%分位数在内，
所以这名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间内，故正确；
故答案为：②③④
【点睛】
本题主要考查频数分布表、平均数和分位数的计算，考查学生对参数的讨论以及计算能力，属于中档题.

四、解答题
17．（2021·浙江高一单元测试）为了估计一次性木质筷子的用量，2017年从某市共600家高､中､低档饭店中抽取10家进行调查，得到这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为0.6，3.7，2.2，1.5，2.8，1.7，2.1，1.2，3.2，1.0.
（1）通过对样本的计算，估计该市2017年共消耗了多少盒一次性筷子.(每年按350个营业日计算)
（2）2019年又对该市一次性木筷的用量以同样的方式做了抽样调查，调查结果是10家饭店平均每家每天使用一次性筷子2.42盒，求该市2018年，2019年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率.
（3）假如让你统计你所在省一年使用一次性木质筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做？简单地说明你的做法.
【答案】（1）420000(盒)；（2）10%；（3）答案见解析.
【分析】
（1）计算样本平均数，然后就可以估计总体平均数，再估计2017年市600家饭店共消耗了一次性筷子多少盒；
（2）设平均每年增长的百分率为x，依题意有2.42=2×(1+x)2，解得可得答案；
（3）先采用简单随机抽样的方法抽取若干县(市)(作样本)，再从这些县(市)中采用分层抽样的方法抽取若干家饭店相结合的方法.
【详解】
（1）样本平均数为(0.6+3.7+2.2+1.5+2.8+1.7+2.1+1.2+3.2+1.0)==2.
由样本平均数为2估计总体平均数也是2，故2017年估计该市600家饭店共消耗了一次性筷子为2×350×600=420000(盒).
（2）由于2017一次性筷子用量是平均每天2盒，而2019年用量是平均每天2.42盒，设平均每年增长的百分率为x，依题意有2.42=2×(1+x)2，解得x=0.1=10%(x=-2.1舍去)，所以该市2018年，2019年这两年一次性木质筷子的用量平均每年增长10%.
（3）先采用简单随机抽样的方法抽取，再从这些县(市)中采用分层抽样的方法抽取若干家饭店，统计一次性木质筷子用量的平均数，从而估计总体平均数，再进一步计算所消耗的木材总量.
18．（2021·浙江高一单元测试）某包子店每天早晨会提前做好一定量的包子，以保证当天及时供应，该包子店记录了60天包子的日需求量（单位：个，）.按，，，，分组，整理得到如图所示的频率分布直方图，图中.

（1）求包子日需求量平均数的估计值（每组以中点值作为代表）；
（2）若包子店想保证至少的天数能够足量供应，则每天至少要做多少个包子？
【答案】（1）775（2）880个
【分析】
（1）由图可知，各分组的频率分别为，，，，，即可求得答案；
（2）设包子店每天至少做个包子，求得和，即可求得的范围，即可求得答案.
【详解】
（1）由图可知，各分组的频率分别为，，，，.
包子日需求量平均数的估计值为
.
（2）设包子店每天至少做个包子.
，
，
.
由频率分布直方图可知，
令，
解得.
每天至少要做880个包子.
【点睛】
本题考查了频率分布直方图以及用样本估计总体的思想，属于基础题.
19．（2020·全国高一课时练习）某市2020年4月1日~4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物):
61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，
77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45，
（1）完成频率分布表；
（2）作出频率分布直方图；
（3）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优；在51~100之间时，空间质量为良；在101~150之间时，空间质量为轻微污染；在151~200之间时，空间质量为轻度污染.
请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.
【答案】（1）频率分布表见解析；（2）频率分布直方图见解析；（3）该市空气质量有待进一步改善.
【分析】
（1）根据题中所给的数据，完成频率分布表；
（2）根据频率分布表，画出频率分布直方图；
（3）依据所给数据和标准，对该市的空气质量给出一个简短评价，答案不唯一.
【详解】
解（1）频率分布表
分组
频数
频率
分组
频数
频率
[41，51)
2

[81，91)
10

[51，61)
1

[91，101)
5

[61，71)
4

[101，111)
2

[71，81)
6





（2）频率分布直方图

（3）答对下述两条中的一条即可:
①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的；
有26天处于良的水平，占当月天数的；
处于优或良的天数共有28天，占当月天数的.说明该市空气质量基本良好.
②轻微污染有2天，占当月天数的.污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有
15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的，超过50%.
说明该市空气质量有待进一步改善.
【点睛】
本题考查了根据具体数据列频率分布表，绘制频率分布直方图，并对数据作出分析判断，属于中档题.
20．（2021·全国高一课时练习）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.

（1）求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式.
（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如上图所示的频率分布直方图.若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值.
（3）根据（2）中求得的数据计算用电量的75%分位数.
【答案】（1）；（2）a＝0.0015，b＝0.0020；（3）375千瓦时
【分析】
（1）利用分段函数的性质即可得出．
（2）利用（1），结合频率分布直方图的性质即可得出．
（3）设75%分位数为m，判断所在区间，列出不等式解得即可；
【详解】
解：（1）当时，；
当时，，
当时，，
所以与之间的函数解析式为：．
（2）由（1）可知：当时，，则，
结合频率分布直方图可知：，，
，．
（3）设75%分位数为m，
因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，
用电量不超过400千瓦时的占80%，
所以75%分位数为m在[300，400)内，所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，
解得m＝375千瓦时，即用电量的75%分位数为375千瓦时.
【点睛】
本题考查了分段函数的性质、频率分布直方图的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（2020·山东济南市·高一期末）某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于生产其款产品，每条生产线一天能生产200件该产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为等品，低于10分的为等品.厂家将等品售价定为2000元/件，等品售价定为1200元/件.
下面是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的评分：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95


经计算得，，其中为抽取的第件产品的评分，.
该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知对一条生产线增加生产工序每年需花费1500万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品评分均提高0.05.已知该厂现有一笔1500万元的资金.
（1）若厂家用这1500万元改进一条生产线，根据随机抽取的16件产品的评分.
（i）估计改进后该生产线生产的产品中等品所占的比例；
（ii）估计改进后该厂生产的所有产品评分的平均数和方差.
（2）某金融机构向该厂推销一款年收益率为的理财产品，请你利用所学知识分析，将这1500万元用于购买该款理财产品所获得的收益，与通过改进一条生产线使产品评分提高所增加的收益相对比，一年后哪种方案的收益更大？ （一年按365天计算）
【答案】（1）（i）；（ii）9.995，；（2）将这1500万元用于改进一条生产线一年后收益更大.
【分析】
（1）（i）首先求得改进后随机抽取的件产品的评分，由此计算出等品所占的比例.
（ii）首先求得改进后的生产线的产品评分的平均数，由此求得改进一条生产线后该厂生产的所有产品评分的平均数.根据方差的计算公式，计算出改进一条生产线后该厂生产的所有产品评分的方差.
（2）分别计算出改进生产线和投资理财产品的一年收益，由此确定收益更大的方案.
【详解】
（1）（i）改进后，随机抽取的16件产品的评分依次变为：
10.00 10.17 10.01 10.01 10.06 9.97 10.03 10.09
10.31 9.96 10.18 10.07 9.27 10.09 10.10 10.00
其中，等品共有13个，
所以，估计改进后该生产线生产的产品中等品所占的比例为；
（ii）设一条生产线改进前一天生产出的产品评分为，改进后生产出的产品评分为，其中.
由已知得，用样本估计总体可知，
所以，
所以估计改进一条生产线后该厂生产的所有产品评分的平均数为：
，
由已知得，用样本估计总体可知，
所以.
估计改进后该厂生产的所有产品评分的方差为：


因为，所以，
同理，
所以式



.
（2）将这1500万元用于改进一条生产线，一年后因产品评分提高而增加的收益为：
（元）；
将这1500万元购买该款理财产品，一年后的收益为：
（元），
因为，
所以将这1500万元用于改进一条生产线一年后收益更大.
【点睛】
本小题主要考查平均数、方差的计算，考查运算求解能力，属于中档题.
22．（2021·全国高一课时练习）某学校高一名学生参加数学竞赛，成绩均在分到分之间.学生成绩的频率分布直方图如图：

（1）估计这名学生分数的中位数与平均数；（精确到）
（2）某老师抽取了名学生的分数：，已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与标准差.（参考公式：）
（3）该学校有座构造相同教学楼，各教学楼高均为米，东西长均为米，南北宽均为米.其中号教学楼在号教学楼的正南且楼距为米，号教学楼在号教学楼的正东且楼距为米.现有种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为米，每个售价相应依次为元.若屏蔽仪可在地下及地上任意位置安装且每个安装费用均为元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费.（参考数据：）
【答案】（1）中位数为；平均数为；（2）平均数为；标准差为；（3）元.
【分析】
（1）利用频率分布直方图能求出中位数、平均分；
（2）由题意，求出剩余8个分数的平均值，由10个分数的标准差，能求出剩余8个分数的标准差；
（3）求出将3座教学楼完全包裹的球的最小直径、将一座教学楼完全包裹的球的最小直径和将1号教学楼与2号教学楼完全包裹的球的最小直径，由此能求出让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费．
【详解】
（1）因为

所以中位数为满足
由，解得
设平均分为，
则
（2）由题意，剩余个分数的平均值为
因为个分数的标准差
所以
所以剩余个分数的标准差为

（3）将座教学楼完全包裹的球的最小直径为：

因此若用一个覆盖半径为米的屏蔽仪则总费用为元；
将一座教学楼完全包裹的球的最小直径为
因此若用个覆盖半径为米的屏蔽仪则总费用为元；
将号教学楼与号教学楼完全包裹的球的最小直径为：

又因为
因此若用个覆盖半径为米和个覆盖半径为米的屏蔽仪则总费用为元；
所以，让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费为元.
【点睛】
本题考查中位数、平均数、标准差、最小费用的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．