北师大版 (2019)必修 第一册3.1 不等式性质导学案

3.1不等式的性质

清丽、优美的芭蕾舞剧《睡美人》序曲奏响了，一名女演员双手抚摸着短裙，眼里闪烁着倔强和自信的目光．只见她踮起脚尖，一个优雅的旋转，轻盈地提着舞裙，飘然来到台上，在追光灯下飘起舞裙，那飘洒翩跹的舞姿，把整个舞台化成一片梦境……她为什么要踮起脚尖呢？因为一般的人，下半身长x与全身长y的比值在0.57～0.6之间．设人的脚尖立起提高了m，则下半身长与全身长度的比由变成了，这个比值非常接近黄金分割值0.618.这便是不等式在实际生活中的应用．

[问题]　你还能列举出不等式在实际生活中的其它例子吗？

知识点一　实数大小比较的基本事实

文字叙述

如果a－b是正数，那么ab；如果a－b等于0，那么ab；如果a－b是负数，那么ab.反过来也成立．

在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？

提示：是．

1．设M＝x2，N＝2x－1，则M与N的大小关系是________．

答案：M≥N

2．如果a＞b，那么c－2a与c－2b中较大的是________．

答案：c－2b

知识点二　不等式的性质

性质1：如果a>b，且b>c，那么a＞c.

性质2：如果a>b，那么a＋cb＋c.

性质3：(1)如果a>b，c＞0，那么acbc；

(2)如果a>b，c＜0，那么acbc.

性质4：如果a>b，c＞d，那么a＋cb＋d.

性质5：(1)如果a>b＞0，c＞d＞0，那么acbd；

(2)如果a>b＞0，c＜d＜0，那么acbd.

特殊地，当a>b>0时，an>bn，其中n∈N＋，n≥2.

性质6：当a>b＞0时，，其中n∈N＋，n≥2.

对不等式性质的七点说明

(1)性质1(即传递性)，在它的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识；

(2)性质2(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据；

(3)性质3(即可乘性)，在使用时要特别注意研究“乘数的符号”；

(4)性质4(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”；

(5)性质5(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式；

(6)性质6(即可开方性)，即均为正数的不等式可两边同时开n次方，得同向不等式；

(7)性质2可双向推导，其他是“单向”推导．　　　　

1．已知a＞b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是(　　)

A．ad＞bc　　　　　　　 B．ac＞bd

C．a－c＞b－d  D．a＋c＞b＋d

解析：选D　令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A、B、C.由不等式的性质4知，D一定成立．

2．下列命题中为真命题的是(　　)

A．0＞a＞b⇒a2＞b2  B．a2＞b2⇒a＞b＞0

C．a＞b⇒＜1  D．a＞b⇒a3＞b3

解析：选D　对于A，由0＞a＞b可知，0＜－a＜－b，则由性质5可知，(－b)2＞(－a)2，即b2＞a2，故A为假命题；对于B，性质5不具有可逆性，故B为假命题；对于C，只有当a＞0且a＞b时，＜1才成立，故C为假命题；对于D，因为a＞b，所以a－b＞0，所以a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)＞0，故a3＞b3，D为真命题．

[例1]　(链接教科书第25页例1)(1)设P＝2a(a－2)＋3，Q＝(a－1)(a－3)，a∈R，则有(　　)

A．P≥Q　　　　　　 B．P＞Q

C．P＜Q  D．P≤Q

(2)已知a＞0，b＞0，M＝＋，N＝，则(　　)

A．M＞N  B．M＝N

C．M＜N  D．不能确定

[解析]　(1)P－Q＝2a(a－2)＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0，∴P≥Q.

(2)易知M＞0，N＞0，∵M2－N2＝(＋)2－()2＝2＞0，∴M＞N.

[答案]　(1)A　(2)A

作差法比较大小的步骤

[提醒]　上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．　　　　

[跟踪训练]

比较下列各式的大小：

(1)当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小；

(2)当x，y，z∈R时，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．

解：(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)

＝3x2(x－1)＋(x－1)

＝(3x2＋1)(x－1)．

因为x≤1，所以x－1≤0，

而3x2＋1＞0，所以(3x2＋1)(x－1)≤0，

所以3x3≤3x2－x＋1.

(2)因为5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)

＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1

＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，

所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，

当且仅当x＝y＝且z＝1时取到等号．

[例2]　(多选)对于实数a，b，c，下列结论正确的是(　　)

A．若a＞b>0，则>

B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2

C．若a＞b，＞，则a＞0，b＜0

D．若a＜b＜0，则＞

[解析]　A：由不等式性质6可知该结论正确．

B：由可得a2＞ab.因为所以ab＞b2，从而有a2＞ab＞b2.故该结论正确．

C：由＞，可知－＝＞0.因为a＞b，所以b－a＜0，于是ab＜0.又因为a＞b，所以a＞0，b＜0.故该结论正确．

D：依题意取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，显然＜.故该结论错误．故选A、B、C.

[答案]　ABC

利用不等式的性质判断正误的2种方法

(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可；

(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．　　　　

[跟踪训练]

1．下列命题中，正确的是(　　)

A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd

B．若ac＞bc，则a＜b

C．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d

D．若＜，则a＜b

解析：选D　选项A中，当a＞b＞0，c＞d＞0时，ac＞bd成立，但是当a，c均为负值时不成立，故A不正确；选项B中，当c＜0时，ac＞bc可推出a＜b.当c＞0时，ac＞bc可推出a＞b，故B不正确；选项C中，由a＞b，c＞d，可得a－d＞b－c，故C不正确；选项D中，式子＜成立，显然c≠0，所以c2＞0，根据不等式的性质：不等式两边同乘一个正数，所得的不等式的不等号与原不等式的不等号同向，显然有a＜b成立，故D正确．故选D.

2．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　)

A．ab>bc  B．ac>bc

C．ab>ac  D．a|b|>|b|c

解析：选C　因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以ab>ac.

[例3]　(链接教科书第25页例2)已知c>a>b>0，求证：>.

[证明]　因为a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b.

因为c>a，所以c－a>0.所以0<c－a<c－b.

上式两边同乘，得>>0.

又因为a>b>0，所以>.

利用不等式的性质证明不等式的注意事项

(1)利用不等式的性质可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；

(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．　　　　

[跟踪训练]

1．已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc.

证明：因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，即－ac＜－bc.

又e＞f，即f＜e，所以f－ac＜e－bc.

2．若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤.

证明：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，

∴bc＋bd≥ad＋bd，

即b(c＋d)≥d(a＋b)．

又bd＞0，∴>0，两边同乘得，≤.

[例4]　已知1＜a＜3，2＜b＜5，试求下列各式的取值范围：

(1)3a＋b；

(2)2a－3b＋1.

[解]　(1)∵1＜a＜3，2＜b＜5，∴3＜3a＜9，∴5＜3a＋b＜14，即3a＋b的取值范围为(5，14)．

(2)∵1＜a＜3，∴2＜2a＜6.∵2＜b＜5，∴－15＜－3b＜－6，∴－12＜2a－3b＋1＜1，即2a－3b＋1的取值范围为(－12，1)．

[母题探究]

1．(变设问)在本例条件下，求的取值范围．

解：由2＜b＜5知，＜＜，

而1＜a＜3，∴＜＜，即的取值范围为.

2．(变设问)在本例条件下，求的取值范围．

解：∵1＜a＜3，∴1＜＜.

∵2＜b＜5，∴4＜b2＜25，

∴3＜b2－1＜24，∴＜＜，∴＜＜，

即的取值范围为.

利用不等式的性质求取值范围的策略

(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围；

(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．　　　　

[跟踪训练]

若－1＜a＋b＜3，2＜a－b＜4，求2a＋3b的取值范围．

解：设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b，

则解得

因为－＜(a＋b)＜，－2＜－(a－b)＜－1，

所以－＜(a＋b)－(a－b)＜，

即－＜2a＋3b＜，

所以2a＋3b的取值范围是.

1．设a＞1＞b＞－1，则下列不等式中恒成立的是(　　)

A.＜  B．＞

C．a2＞2b  D．a＞b2

解析：选D　A错，例如a＝2，b＝－时，＝，＝－2，此时，＞；B错，例如a＝2，b＝时，＝，＝2，此时，＜；C错，例如a＝，b＝时，a2＝，2b＝，此时，a2＜2b；由a＞1，b2＜1，得a＞b2.

2．若x∈R，y∈R，则(　　)

A．x2＋y2>2xy－1  B．x2＋y2＝2xy－1

C．x2＋y2<2xy－1  D．x2＋y2≤2xy－1

解析：选A　因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，故选A.

3．已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．

解：因为x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)，所以当a＞b时，x－y＞0，此时x＞y；

当a＝b时，x－y＝0，此时x＝y；

当a＜b时，x－y＜0，此时x＜y.