北师大版 (2019)必修 第一册3.1 不等式性质课后练习题

不等式的性质

[A级　基础巩固]

1．已知a，b，c满足a＜b＜c，且ac＜0，则下列选项中不恒成立的是(　　)

A.＜　　　　　　　 B.＞0

C.＜0  D.＞

解析：选D　∵a＜b＜c，且ac＜0，∴a＜0＜c，而b与0的大小关系不确定，∴＜，＞0，＜0均恒成立，而与的大小关系不确定．故选D.

2．(2021·北京海淀月考)已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为(　　)

A．p＞q  B．p≥q

C．p＜q  D．p≤q

解析：选C　p－q＝(a－1)(a－3)－(a－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4)＝－1＜0，所以p＜q，故选C.

3．(2021·德州乐陵一中高一学情调研)已知－1＜a＜0，b＜0，则b，ab，a2b的大小关系是(　　)

A．b＜ab＜a2b  B．a2b＜ab＜b

C．a2b＜b＜ab  D．b＜a2b＜ab

解析：选D　因为－1＜a＜0，b＜0，所以ab＞0，a2b＜0，故ab为三者中的最大值．因为－1＜a＜0，所以a2∈(0，1)，所以a2b－b＝(a2－1)b＞0，a2b＞b，所以b＜a2b＜ab.故选D.

4．(多选)已知a，b，c∈R，那么下列命题中不正确的是(　　)

A．若a＞b，则ac2＞bc2

B．若＞，则a＞b

C．若a3＞b3且ab＜0，则＞

D．若a2＞b2且ab＞0，则＜

解析：选ABD　A中，当c＝0时，ac2＞bc2不成立，故A错误；B中，当c<0时，a＜b，故B错误；C中，若a3＞b3，ab＜0，则a>0＞b，∴＞，故C正确；D中，当a＜b＜0时，＜不成立，故D错误．综上所述，故选A、B、D.

5．有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是a，b，c，d.已知a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，a＋c＜b，则这四个小球的质量由大到小的排列顺序是(　　)

A．d＞b＞a＞c  B．b＞c＞d＞a

C．d＞b＞c＞a  D．c＞a＞d＞b

解析：选A　因为a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，所以2a＞2c，即a＞c，因此b＜d.因为a＋c＜b，所以a＜b.综上可得d＞b＞a＞c.故选A.

6．已知a，b，x均为正数，且a＞b，则________.(填“＞”“＜”或“＝”)

解析：－＝＝.

因为a＞0，a＞b，x＞0，所以x＋a＞0，b－a＜0，

所以＜0，所以＜.

答案：＜

7．已知三个不等式：①ab＞0；②＞；③bc＞ad，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成________个正确命题．

解析：由不等式性质，得⇒⇒bc＞ad；⇒＞；⇒⇒ab＞0.

答案：3

8．若－10＜a＜b＜8，则|a|＋b的取值范围是____________．

解析：当a≥0时，0≤a＜8，0＜b＜8，故0＜a＋b＜16，即0＜|a|＋b＜16；当a＜0时，－10＜a＜0，故0＜|a|＝－a＜10，又因为－10＜b＜8，所以－10＜|a|＋b＜18，又a＜b，所以|a|＋b＞0，所以0＜|a|＋b＜18.综上，0＜|a|＋b＜18.

答案：(0，18)

9．已知－6＜a＜8，2＜b＜3，求的取值范围．

解：∵2＜b＜3，∴＜＜.

①当0≤a＜8时，0≤＜4；②当－6＜a＜0时，－3＜＜0.

10．已知a，b，c为三角形的三边长，求证：3(ab＋bc＋ca)≤(a＋b＋c)2＜4(ab＋bc＋ca)．

证明：∵(a＋b＋c)2－3(ab＋bc＋ca)＝(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0(当且仅当a＝b＝c时取等号)，

∴3(ab＋bc＋ca)≤(a＋b＋c)2.

∵4(ab＋bc＋ca)－(a＋b＋c)2＝4ab＋4bc＋4ca－a2－b2－c2－2ab－2bc－2ac＝2ab＋2bc＋2ac－a2－b2－c2＝a(b＋c－a)＋b(a＋c－b)＋c(a＋b－c)＞0，

∴(a＋b＋c)2＜4(ab＋bc＋ca)．

综上所述，3(ab＋bc＋ca)≤(a＋b＋c)2＜4(ab＋bc＋ca)．

[B级　综合运用]

11．设a＜b＜0，则下列不等式中不正确的是(　　)

A.＞  B．ac＜bc

C．|a|＞－b  D.＞

解析：选B　若a＜b＜0，则＞，则选项A正确；当c＞0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不正确；|a|＝－a＞－b，则选项C正确；由－a＞－b＞0，可得＞，则选项D正确，故选B.

12．若实数m，n满足求3m＋4n的取值范围．

解：令3m＋4n＝x(2m＋3n)＋y(m－n)＝(2x＋y)m＋(3x－y)n，则解得因此3m＋4n＝(2m＋3n)＋(m－n)．

由－1≤2m＋3n≤2得－≤(2m＋3n)≤.

由－3＜m－n≤1得－＜(m－n)≤，

所以－－＜3m＋4n≤＋，即－2＜3m＋4n≤3，

即3m＋4n的取值范围为(－2，3]．