数学必修 第一册4.2 一元二次不等式及其解法学案

这是一份数学必修 第一册4.2 一元二次不等式及其解法学案，共8页。


城市人口的急剧增加使车辆日益增多，需要通过修建立交桥和高架道路，以提高车速和通过能力．城市环线和高速公路网的连结也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导，保证交通的畅通．城市立交桥已成为现代化城市的重要标志．为了保证安全，交通部门规定，在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长(单位：m)的积，且车距不得少于半个车身，假定车身长均为l(单位：m)，当车速为60(单位：km/h)时，车距为1.44个车身长．
[问题] 在交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此处的车流量最大？



知识点一 一元二次不等式的概念
1．定义：形如ax2＋bx＋c>0，或ax2＋bx＋c<0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式．
2．解集：使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集．
eq \a\vs4\al()
一元二次不等式概念中的关键词
(1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)；
(2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0.
下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号)
答案：②④
知识点二 一元二次不等式的求解方法
函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与方程ax2＋bx＋c＝0的实数根、不等式ax2＋bx＋c＞0和ax2＋bx＋c＜0的解集之间的关系：
eq \a\vs4\al()
从两个角度看三个“二次”之间的内在联系
(1)函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即一元二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围；
(2)方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
当Δ＝0时，不等式ax2＋bx＋c≥0(a>0)与ax2＋bx＋c≤0(a>0)的解集分别是什么？
提示：R，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(b,2a))))).
1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＞3，或x＜－\f(1,2)))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x≤3))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≥3，或x≤－\f(1,2)))))
D．R
答案：C
2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－1＜x＜\f(1,3))))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＜x＜1))))
C．∅ D．R
答案：D
3．不等式x2－2x－5＞2x的解集是________．
答案：{x|x＞5或x＜－1}
[例1] (链接教科书第37页练习2题)求下列不等式的解集：
(1)2x2＋7x＋3＞0；
(2)－4x2＋18x－eq \f(81,4)≥0；
(3)－2x2＋3x－2＜0.
[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－eq \f(1,2).又一元二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＞－\f(1,2)，或x＜－3)))).
(2)原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(9,2)))eq \s\up12(2)≤0，所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝\f(9,4))))).
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又一元二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.
eq \a\vs4\al()
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正；
(2)判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式；
(3)求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根；
(4)画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；
(5)写解集：根据图象写出不等式的解集．
[跟踪训练]
1．不等式x(x－9)＜x－21的解集为( )
A．(3，7) B．(－∞，3)∪(7，＋∞)
C．(－7，－3) D．(－∞，－7)∪(－3，＋∞)
解析：选A x(x－9)＜x－21，即x2－10x＋21＜0，即(x－3)(x－7)＜0，解得3＜x＜7.故选A.
2．下列四个不等式中解集为R的是( )
A．－x2＋x＋1≥0 B．x2－2eq \r(5)x＋5＞0
C．x2＋6x＋10＞0 D．2x2－3x＋4＜0
解析：选C 利用“Δ”判断，在不等式x2＋6x＋10＞0中，Δ＝62－40＜0，∴不等式x2＋6x＋10＞0的解集为R，其他可类似判断．故选C.
[例2] (链接教科书第37页例4)解关于x的不等式：x2－2ax＋2≤0(a∈R)．
[解] 因为Δ＝4a2－8，当Δ＜0，即－eq \r(2)＜a＜eq \r(2)时，原不等式对应的方程无实根．又一元二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.
当Δ＝0，即a＝±eq \r(2)时，原不等式对应的方程有两个相等实根．
当a＝eq \r(2)时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝\r(2)))；
当a＝－eq \r(2)时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝－\r(2))).
当Δ＞0，即a＞eq \r(2)或a＜－eq \r(2)时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x1＝a－eq \r(a2－2)，x2＝a＋eq \r(a2－2)，且x1＜x2，所以原不等式的解集为{x|a－eq \r(a2－2)≤x≤a＋eq \r(a2－2)}．
综上所述，当－eq \r(2)＜a＜eq \r(2)时，原不等式的解集为∅；
当a＝eq \r(2)时，原不等式的解集为{x|x＝eq \r(2)}；
当a＝－eq \r(2)时，原不等式的解集为{x|x＝－eq \r(2)}；
当a＞eq \r(2)或a＜－eq \r(2)时，原不等式的解集为{x|a－eq \r(a2－2)≤x≤a＋eq \r(a2－2)}．
eq \a\vs4\al()
含参一元二次不等式的解法

[跟踪训练]
解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a＜0)．
解：原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，化简为(x＋1)(ax－2)≥0.
∵a＜0，∴(x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,a)))≤0.
当－2＜a＜0时，eq \f(2,a)≤x≤－1；
当a＝－2时，x＝－1；
当a＜－2时，－1≤x≤eq \f(2,a).
综上所述，当－2＜a＜0时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)≤x≤－1))))；
当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；
当a＜－2时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－1≤x≤\f(2,a))))).
[例3] 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
[解] 法一：由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}可知，a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知eq \f(b,a)＝－5，eq \f(c,a)＝6.由a＜0知c＜0，eq \f(b,c)＝eq \f(－5,6)，故不等式cx2＋bx＋a＜0，即x2＋eq \f(b,c)x＋eq \f(a,c)＞0，即x2－eq \f(5,6)x＋eq \f(1,6)＞0，解得x＜eq \f(1,3)或x＞eq \f(1,2)，所以不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＜\f(1,3)，或x＞\f(1,2))))).
法二：由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}可知，a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a＜0，即6ax2－5ax＋a＜0⇒6a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＜0，故原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＜\f(1,3)，或x＞\f(1,2))))).
[母题探究]
1．(变设问)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a＞0的解集．
解：由根与系数的关系知eq \f(b,a)＝－5，eq \f(c,a)＝6且a＜0.
∴c＜0，eq \f(b,c)＝－eq \f(5,6)，故不等式cx2－bx＋a＞0，
即x2－eq \f(b,c)x＋eq \f(a,c)＜0，即x2＋eq \f(5,6)x＋eq \f(1,6)＜0.解得－eq \f(1,2)2．(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}”变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)≤x≤2))))”．求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
解：由ax2＋bx＋c≥0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)≤x≤2))))知a＜0.又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))×2＝eq \f(c,a)＜0，则c＞0.
∵－eq \f(1,3)，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴－eq \f(b,a)＝eq \f(5,3)，∴eq \f(b,a)＝－eq \f(5,3).
又eq \f(c,a)＝－eq \f(2,3)，∴b＝－eq \f(5,3)a，c＝－eq \f(2,3)a，
∴不等式变为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)a))x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)a))x＋a＜0，
即2ax2＋5ax－3a＞0.
∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，解得－3所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－3＜x＜\f(1,2))))).
eq \a\vs4\al()
一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤
(1)求解方法：
由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集．
(2)求解步骤：
第一步：审结论——明确解题方向
如要解ax2＋bx＋c<0，首先确定a的符号，最好能确定a，b，c的值．
第二步：审条件——挖掘题目信息
利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用c表示a，b.
第三步：建联系——找解题突破口
由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用c表示a，b→代入所求不等式→求解ax2＋bx＋c<0的解集．
[跟踪训练]
关于x的不等式ax－b＞0的解集是{x|x＞1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是( )
A．{x|－1＜x＜3} B．{x|1＜x＜3}
C．{x|x＜1或x＞3} D．{x|x＜－1或x＞3}
解析：选D 因为不等式ax－b＞0的解集是{x|x＞1}，所以a＞0，eq \f(b,a)＝1，所以(ax＋b)(x－3)＞0等价于a(x＋1)(x－3)＞0，其解集应为{x|x＞3或x＜－1}，故选D.
1．(多选)下列不等式是一元二次不等式的是( )
A．x2＋eq \r(2)x＜－1 B．x2＋eq \r(x)＋1＜0
C．x2＋eq \f(3,x)＋1＜0 D．x2＋1＜0
解析：选AD 由于x2＋eq \r(x)＋1＜0，x2＋eq \f(3,x)＋1＜0不符合一元二次不等式的定义，只有x2＋eq \r(2)x＜－1，x2＋1＜0是一元二次不等式，故选A、D
2．不等式(x－1)2＜x＋5的解集为( )
A．{x|1＜x＜4} B．{x|－1＜x＜4}
C．{x|－4＜x＜1} D．{x|－1＜x＜3}
解析：选B 原不等式可化为x2－3x－4＜0，即(x＋1)(x－4)＜0，故其解集为{x|－1＜x＜4}．故选B.
3．设m＋n＞0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)＞0的解集是( )
A．(－∞，－n)∪(m，＋∞)
B．(－n，m)
C．(－∞，－m)∪(n，＋∞)
D．(－m，n)
解析：选B 方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n.
∵m＋n＞0，∴m＞－n.结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象(图略)，得原不等式的解集是(－n，m)．故选B.
4．若关于x的不等式mx2＋8mx＋28＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，则实数m的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 因为关于x的不等式mx2＋8mx＋28＜0的解集为{x|－7＜x＜－1}，所以方程mx2＋8mx＋28＝0的两根为－7，－1，且m>0.由根与系数的关系得(－7)×(－1)＝eq \f(28,m)，－7＋(－1)＝－eq \f(8m,m)，解得m＝4，故选D.
5．已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
解：因为x2＋px＋q＜0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，
所以x1＝－eq \f(1,2)与x2＝eq \f(1,3)是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,2)＝－p，,\f(1,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝q，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(p＝\f(1,6)，,q＝－\f(1,6) .))
所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－eq \f(1,6)x2＋eq \f(1,6)x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
新课程标准解读
核心素养
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数
数学抽象、直观想象、逻辑推理
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集
数学抽象、数学运算
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系
直观想象、数学建模
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0的实数根
x1，2＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)(x1x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
无实数根
函数y＝ax2＋bx＋c的图象
不等式ax2＋bx＋c>0的解集
{x|xx2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
eq \a\vs4\al(R)
不等式ax2＋bx＋c<0的解集
{x|x1eq \a\vs4\al(∅)
eq \a\vs4\al(∅)
不含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法
一元二次不等式解集的逆向应用